第十章 动量定理

质点动力学从牛顿第二定律出发，建立了单个质点的运动与受力之间的关系。但对于质点系（由多个相互联系的质点组成的系统），直接对每个质点列写运动微分方程往往十分繁琐。为此，需要建立描述质点系整体运动特征的物理量及其变化规律。

动量定理、动量矩定理和动能定理（统称动力学普遍定理）从不同角度揭示了质点系整体运动与作用力之间的关系。本章首先介绍动量定理，包括质点的动量定理、质点系的动量定理以及质心运动定理。

定义：质点的质量与其速度的乘积称为质点的动量（Momentum）。

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

动量是矢量，方向与速度方向相同，单位为 kg·m/s。

物理意义：动量是物体机械运动强弱的一种度量。

定义：质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。

$$\vec{p} = \sum m_i\vec{v}_i$$

质心：质点系质量的中心，位置矢量为：

$$\vec{r}_C = \frac{\sum m_i\vec{r}_i}{\sum m_i} = \frac{\sum m_i\vec{r}_i}{m}$$

其中 $m = \sum m_i$ 为质点系的总质量。

质点系动量与质心速度的关系：

$$\vec{p} = \sum m_i\vec{v}_i = \sum m_i\frac{d\vec{r}_i}{dt} = \frac{d}{dt}\sum m_i\vec{r}_i = \frac{d}{dt}(m\vec{r}_C) = m\vec{v}_C$$

结论：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积。

定义：作用力与作用时间的乘积称为冲量（Impulse）。

常力的冲量： $$\vec{I} = \vec{F}t$$

变力在时间 $t_1$ 到 $t_2$ 内的冲量：

$$\vec{I} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt$$

在微小时段 $dt$ 内的冲量（元冲量）：

$$d\vec{I} = \vec{F}dt$$

微分形式：

由牛顿第二定律： $$\frac{d}{dt}(m\vec{v}) = \vec{F}$$

或 $$d(m\vec{v}) = \vec{F}dt = d\vec{I}$$

积分形式：

$$m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1 = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = \vec{I}$$

物理意义：质点动量的变化等于作用于质点的冲量。

内力与外力的区分：

• 内力：质点系内各质点间的相互作用力
• 外力：质点系外的物体对质点系内质点的作用力

内力的特点：内力成对出现，大小相等、方向相反，故内力的主矢为零。

质点系的动量定理：

微分形式： $$\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F}_i^{(e)}$$

或 $$d\vec{p} = \sum \vec{F}_i^{(e)}dt$$

积分形式： $$\vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \sum \vec{I}_i^{(e)}$$

结论：质点系动量的变化等于作用于质点系的外力主矢的冲量。

若 $\sum \vec{F}_i^{(e)} = 0$，则： $$\vec{p} = \text{常矢量}$$

即：若作用于质点系的外力主矢为零，则质点系的动量守恒。

投影形式：

若 $\sum F_x^{(e)} = 0$，则 $p_x = \text{常量}$

由动量定理和 $\vec{p} = m\vec{v}_C$：

$$m\frac{d\vec{v}_C}{dt} = \sum \vec{F}_i^{(e)}$$

或 $$m\vec{a}_C = \sum \vec{F}_i^{(e)}$$

质心运动定理：质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系的外力主矢。

• 质心的运动如同一个质点的运动，该质点集中了整个质点系的质量和所有外力
• 内力不影响质心的运动
• 质心运动定理与牛顿第二定律形式相同

若 $\sum \vec{F}_i^{(e)} = 0$，则 $\vec{a}_C = 0$，$\vec{v}_C = \text{常矢量}$

若初始静止，则质心位置保持不变。

质量为 $M$ 的木块静止于光滑水平面上，质量为 $m$ 的子弹以速度 $v_0$ 水平射入木块后嵌入其中。求子弹射入后系统的共同速度和木块获得的冲量。

解答：

分析：将子弹和木块视为质点系。水平方向无外力，动量守恒。

动量守恒方程： $$mv_0 = (m + M)v$$

求解： $$v = \frac{mv_0}{m + M}$$

木块获得的冲量（用动量定理）： $$I = Mv - 0 = \frac{Mmv_0}{m + M}$$

质量为 $M$、长为 $L$ 的小船静止于静水中，质量为 $m$ 的人从船头走到船尾。不计水的阻力，求人相对岸移动的距离和船移动的距离。

解答：

分析：系统（人+船）水平方向无外力，质心水平位置不变。

初始状态：设船中心为坐标原点，人位于船头，坐标为 $x_{人0} = L/2$，船中心 $x_{C0} = 0$。

质心坐标： $$x_{C} = \frac{m \cdot \frac{L}{2} + M \cdot 0}{m + M} = \frac{mL}{2(m + M)}$$

最终状态：人走到船尾，设船向右移动了 $s$（人相对岸向左移动）。

人相对岸位置：$x_{人} = -\frac{L}{2} + s$（相对于初始船中心） 实际上设船向右移动 $d$，则人相对岸移动 $L - d$ 向左。

重新定义：设船向右移动距离为 $d$，则人相对岸向左移动 $L - d$。

质心位置不变： $$\frac{-\frac{L}{2} + d) + M \cdot d}{m + M} = \frac{mL}{2(m + M)}$$

解得： $$d = \frac{mL}{m + M}$$（船向右移动）

人相对岸移动： $$L - d = \frac{ML}{m + M}$$（向左）

电动机外壳（包括定子）质量为 $M$，转子质量为 $m$，偏心距为 $e$，转子以匀角速度 $\omega$ 转动。求电动机对地面的压力和基础对电动机的水平约束力。

解答：

质心运动：

设转子中心在竖直方向运动，外壳固定。

系统质心在竖直方向的位置： $$y_C = \frac{M \cdot 0 + m \cdot e\sin\omega t}{M + m} = \frac{me}{M + m}\sin\omega t$$

加速度： $$\ddot{y}_C = -\frac{me\omega^2}{M + m}\sin\omega t$$

质心运动定理（竖直方向）： $$(M + m)\ddot{y}_C = F_N - (M + m)g$$

$$F_N = (M + m)g - me\omega^2\sin\omega t$$

讨论：

• 当 $\sin\omega t = -1$（转子在最低点）时，$F_N$ 最大
• 当 $\omega$ 足够大时，可能出现 $F_N < 0$（跳起）

水平方向： $$x_C = \frac{me}{M + m}\cos\omega t$$ $$(M + m)\ddot{x}_C = F_x$$

$$F_x = -me\omega^2\cos\omega t$$

习题 10.1 质量为 $m = 0.5 \text{ kg}$ 的球以速度 $v_1 = 10 \text{ m/s}$ 垂直击中墙面，以速度 $v_2 = 8 \text{ m/s}$ 反弹。球与墙接触时间 $\Delta t = 0.01 \text{ s}$。求墙对球的平均作用力。

习题 10.2 静止于水平光滑轨道上的炮车质量为 $M$，发射一质量为 $m$ 的炮弹，炮弹相对炮口速度为 $v_r$，发射角为 $\alpha$。求炮车的反冲速度和炮弹的绝对速度。

习题 10.3 质量为 $m$ 的人站在质量为 $M$、长度为 $L$ 的小船中心，船静止于静水。人以相对船速度 $u$ 走向船头。求人走到船头时船移动的距离。

习题 10.4 质量为 $M$ 的楔形块放在光滑水平面上，斜面倾角 $\alpha$。质量为 $m$ 的小物体从斜面顶端无摩擦滑下。求楔形块的加速度和物体相对楔形块的加速度。

习题 10.5 链条长 $L$，线密度 $\rho$，放在光滑桌面上，有长度 $a$ 垂于桌边。初始静止，释放后链条下滑。求链条完全离开桌面时的速度。

习题 10.6 质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两物体用跨过滑轮的轻绳连接，放在水平面上。$m_1$ 受到水平力 $F$ 作用。求系统的加速度和绳的张力。

习题 10.7 证明：变质量质点的运动微分方程（密歇尔斯基方程）： $$m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F} + \vec{v}_r\frac{dm}{dt}$$ 其中 $\vec{v}_r$ 为并入（或放出）质量相对主体的速度。

习题 10.8 火箭总质量为 $M_0$（包括燃料质量 $M_f$），喷气相对火箭速度为 $v_r$（常数），燃料消耗率为常数 $\mu$。求火箭速度随时间的变化和最终能达到的最大速度（齐奥尔科夫斯基公式）。

习题 10.9 两个质量分别为 $m_1$、$m_2$ 的小球用弹簧（刚度 $k$，原长 $l_0$）连接，放在光滑水平面上。给 $m_1$ 一初速度 $v_0$（沿两球连线方向）。求系统的运动和质心轨迹。

习题 10.10 设计一个验证动量守恒定律的实验。要求：

• 基于碰撞实验
• 测量碰撞前后物体的速度
• 验证动量守恒
• 分析实验误差

本章主要内容：

• 动量：
  1. 质点：$\vec{p} = m\vec{v}$
  2. 质点系：$\vec{p} = \sum m_i\vec{v}_i = m\vec{v}_C$

• 冲量：
  1. 元冲量：$d\vec{I} = \vec{F}dt$
  2. 冲量：$\vec{I} = \int \vec{F}dt$

• 动量定理：
  1. 微分形式：$\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F}^{(e)}$
  2. 积分形式：$\vec{p}_2 - \vec{p}_1 = \sum \vec{I}^{(e)}$

• 动量守恒：
  1. 若 $\sum \vec{F}^{(e)} = 0$，则 $\vec{p} = \text{常矢量}$

• 质心运动定理：
  1. $m\vec{a}_C = \sum \vec{F}^{(e)}$
  2. 内力不影响质心运动

应用要点：

• 动量定理适用于碰撞、冲击等瞬时力问题
• 质心运动定理适用于求约束力或整体运动
• 注意区分内力和外力

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