线性代数 (Linear Algebra)

线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换以及线性方程组等内容。它是现代科学和工程的基础工具，在物理学、计算机科学、经济学、统计学等领域有广泛应用。

本课程系统地介绍线性代数的核心概念和方法，从矩阵和行列式的基础知识出发，逐步深入到向量空间、线性变换、特征值理论以及内积空间等高级主题。

完成本课程后，你将能够：

• 熟练进行矩阵运算和行列式计算
• 理解向量空间的抽象结构
• 掌握线性方程组的求解方法
• 理解线性变换的几何意义
• 应用特征值和特征向量解决实际问题
• 在内积空间中进行正交分解
• 分析和化简二次型

1. 第一章 矩阵与行列式
   • 矩阵的概念与运算
   • 行列式的定义与性质
   • 逆矩阵与伴随矩阵
   • 矩阵的秩
   • 分块矩阵

1. 第二章 向量空间
   • 向量与向量运算
   • 向量空间的定义
   • 子空间
   • 线性相关与线性无关
   • 基与维数
   • 坐标与坐标变换

1. 第三章 线性方程组
   • 高斯消元法
   • 齐次线性方程组
   • 非齐次线性方程组
   • 解的结构理论
   • 克拉默法则

1. 第四章 线性变换
   • 线性变换的定义
   • 线性变换的矩阵表示
   • 核与像
   • 维数公式
   • 同构

1. 第五章 特征值与特征向量
   • 特征值与特征向量的定义
   • 特征多项式
   • 相似矩阵
   • 对角化
   • 约当标准形简介

1. 第六章 内积空间
   • 内积的定义
   • 正交性
   • 正交基与正交矩阵
   • 正交投影
   • 格拉姆-施密特正交化
   • 最小二乘法

1. 第七章 二次型
   • 二次型的定义
   • 标准形与规范形
   • 正交变换法
   • 配方法
   • 正定性判定
   • 惯性定理

学习本课程需要具备以下基础知识：

• 高中数学（特别是代数和平面解析几何）
• 基本的集合论知识
• 逻辑推理能力

• 《线性代数》 - 同济大学数学系
• 《Linear Algebra and Its Applications》 - Gilbert Strang
• 《Linear Algebra Done Right》 - Sheldon Axler
• 《高等代数》 - 北京大学数学系

• $\mathbb{R}$：实数集
• $\mathbb{C}$：复数集
• $\mathbb{R}^n$：n维实向量空间
• $\mathbb{C}^n$：n维复向量空间
• $A^T$：矩阵A的转置
• $A^{-1}$：矩阵A的逆
• $\det(A)$ 或 $|A|$：矩阵A的行列式
• $\text{rank}(A)$：矩阵A的秩
• $\text{tr}(A)$：矩阵A的迹（对角线元素之和）
• $\dim(V)$：向量空间V的维数
• $\text{span}\{v_1, v_2, …, v_n\}$：由向量生成的子空间
• $\text{ker}(T)$：线性变换T的核
• $\text{Im}(T)$：线性变换T的像

1. 理解概念比记忆公式更重要
2. 多做练习，尤其是证明题
3. 尝试从几何角度理解代数概念
4. 利用计算机软件（如MATLAB、Python）验证计算结果
5. 建立知识点之间的联系，形成知识网络

• 2024年：创建课程框架和首批章节

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