定义 1.1（矩阵）
由 $m \times n$ 个数 $a_{ij}$（$i = 1, 2, \ldots, m$；$j = 1, 2, \ldots, n$）排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表
$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$
称为 $m \times n$ 矩阵，简记为 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 或 $A_{m \times n}$。
特殊矩阵： - 方阵：$m = n$ 时，称为 $n$ 阶方阵 - 行矩阵（行向量）：$m = 1$，即 $1 \times n$ 矩阵 - 列矩阵（列向量）：$n = 1$，即 $m \times 1$ 矩阵 - 零矩阵：所有元素为零的矩阵，记为 $O$ - 单位矩阵：主对角线元素为 1，其余为 0 的方阵，记为 $E$ 或 $I$
$$E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$
1. 矩阵的加法
设 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{m \times n}$，则 $$A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}$$
性质： - 交换律：$A + B = B + A$ - 结合律：$(A + B) + C = A + (B + C)$ - 零矩阵：$A + O = A$ - 负矩阵：$A + (-A) = O$
2. 数与矩阵的乘法
设 $k$ 是数，$A = (a_{ij})_{m \times n}$，则 $$kA = (ka_{ij})_{m \times n}$$
性质： - $(kl)A = k(lA)$ - $(k + l)A = kA + lA$ - $k(A + B) = kA + kB$
定义 1.2（矩阵乘法） 设 $A = (a_{ij})_{m \times s}$，$B = (b_{ij})_{s \times n}$，则 $A$ 与 $B$ 的乘积 $C = AB$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，其中 $$c_{ij} = \sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} \quad (i = 1, 2, \ldots, m; j = 1, 2, \ldots, n)$$
注： 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，才能相乘。
例 1.1
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3
4 & 5 & 6 \end{pmatrix}_{2 \times 3}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0
0 & 1
1 & 1 \end{pmatrix}_{3 \times 2}$$
$$AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1
4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot 1 & 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5
10 & 11 \end{pmatrix}$$
矩阵乘法的性质： - 结合律：$(AB)C = A(BC)$ - 分配律：$A(B + C) = AB + AC$，$(A + B)C = AC + BC$ - 数乘结合：$k(AB) = (kA)B = A(kB)$ - 单位矩阵：$AE = EA = A$
注意： 矩阵乘法不满足交换律！一般 $AB \neq BA$。
例 1.2 设 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1
0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0
1 & 0 \end{pmatrix}$
$$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0
0 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 0
0 & 1 \end{pmatrix}$$
显然 $AB \neq BA$。
例 1.3 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1
-1 & -1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & -1
-1 & 1 \end{pmatrix}$
$$AB = \begin{pmatrix} 0 & 0
0 & 0 \end{pmatrix} = O$$
这说明：$A \neq O, B \neq O$，但 $AB = O$（非零矩阵的乘积可以为零）。
定义 1.3（转置） 将矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^T$ 或 $A'$。
若 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，则 $A^T = (a_{ji})_{n \times m}$。
性质： - $(A^T)^T = A$ - $(A + B)^T = A^T + B^T$ - $(kA)^T = kA^T$ - $(AB)^T = B^T A^T$ - 对称矩阵：$A^T = A$ - 反对称矩阵：$A^T = -A$
定义 1.4（$n$ 阶行列式）
$n$ 阶行列式是由 $n^2$ 个数排成的 $n$ 行 $n$ 列的数表所确定的一个数：
$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$$
其中求和遍历 $1, 2, \ldots, n$ 的所有排列 $j_1 j_2 \cdots j_n$，$\tau(j_1 j_2 \cdots j_n)$ 是该排列的逆序数。
低阶行列式：
二阶行列式：
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}
a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$
三阶行列式（对角线法则）：
$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}
a_{21} & a_{22} & a_{23}
a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$$
性质 1： 行列式与它的转置行列式相等，即 $D = D^T$。
性质 2： 互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论： 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。
性质 3： 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以数 $k$，等于用 $k$ 乘此行列式。
$$\begin{vmatrix} ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{vmatrix}$$
推论： 若行列式有两行（列）元素成比例，则行列式为零。
性质 4： 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可拆成两个行列式之和。
$$\begin{vmatrix} \vdots
a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in}
\vdots \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vdots
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}
\vdots \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \vdots
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in}
\vdots \end{vmatrix}$$
性质 5： 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。
定义 1.5（余子式与代数余子式） 在 $n$ 阶行列式中，把元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$。称 $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式。
定理 1.1（行列式展开定理） 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和： $$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \quad (i = 1, 2, \ldots, n)$$ 或 $$D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \quad (j = 1, 2, \ldots, n)$$
推论： 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零： $$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{in}A_{jn} = 0 \quad (i \neq j)$$
例 1.4 计算行列式 $D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3
4 & 0 & 2
1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
解： 按第二行展开：
$$\begin{aligned}
D &= 4 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 3
2 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 3
1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 1
1 & 2 \end{vmatrix}
&= -4(1 - 6) + 0 - 2(4 - 1)
&= -4(-5) - 2(3)
&= 20 - 6 = 14
\end{aligned}$$
定义 1.6（逆矩阵） 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$ 使得 $$AB = BA = E$$ 则称 $A$ 是可逆的，$B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{-1}$。
定理 1.2（逆矩阵的唯一性） 若 $A$ 可逆，则其逆矩阵唯一。
证明： 设 $B, C$ 都是 $A$ 的逆矩阵，则： $$B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C$$
定义 1.7（伴随矩阵）
设 $A = (a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵，$A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则矩阵
$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$$
称为 $A$ 的伴随矩阵（注意：$A_{ij}$ 位于第 $j$ 行第 $i$ 列）。
重要性质： $$AA^* = A^*A = |A|E$$
证明： 由行列式展开定理，$AA^*$ 的 $(i, j)$ 元为：
$$(AA^*)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk} = \begin{cases} |A|, & i = j
0, & i \neq j \end{cases} = |A|\delta_{ij}$$
定理 1.3 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $|A| \neq 0$，且 $$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$$
证明： - 必要性： 若 $A$ 可逆，则 $AA^{-1} = E$，取行列式得 $|A||A^{-1}| = 1$，故 $|A| \neq 0$。 - 充分性： 若 $|A| \neq 0$，由 $AA^* = |A|E$，得 $A \cdot \frac{A^*}{|A|} = E$，故 $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$。
例 1.5 求 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2
3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。
解： $|A| = 4 - 6 = -2 \neq 0$，$A$ 可逆。
$A_{11} = 4, A_{12} = -3, A_{21} = -2, A_{22} = 1$
$$A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2
-3 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2
-3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
验证： $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2
3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0
0 & 1 \end{pmatrix} = E$ ✓
逆矩阵的性质： - $(A^{-1})^{-1} = A$ - $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$（$k \neq 0$） - $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ - $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ - $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
定义 1.8（初等变换） 矩阵的以下三种变换称为初等行（列）变换： 1. 互换两行（列）的位置 2. 用非零数乘某一行（列） 3. 把某一行（列）的倍数加到另一行（列）上
定义 1.9（初等矩阵） 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
定义 1.10（矩阵的秩） 矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为 $A$ 的秩，记为 $R(A)$ 或 $rank(A)$。
性质： - $0 \leq R(A_{m \times n}) \leq \min\{m, n\}$ - $R(A) = R(A^T)$ - 初等变换不改变矩阵的秩 - 若 $A$ 可逆，则 $R(AB) = R(B)$，$R(CA) = R(C)$
例 1.6 求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3
2 & 4 & 5
3 & 6 & 8 \end{pmatrix}$ 的秩。
解： 用初等行变换：
$$A \xrightarrow{r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3
0 & 0 & -1
0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3 - r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3
0 & 0 & -1
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
非零行有 2 行，故 $R(A) = 2$。
例题 1.1 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0
\lambda & 1 \end{pmatrix}$，求 $A^n$。
解：
$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0
\lambda & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0
\lambda & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0
2\lambda & 1 \end{pmatrix}$$
猜测 $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0
n\lambda & 1 \end{pmatrix}$，用数学归纳法证明。
例题 1.2 计算 $n$ 阶行列式 $D_n = \begin{vmatrix} x & a & a & \cdots & a
a & x & a & \cdots & a
a & a & x & \cdots & a
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
a & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}$
解： 各列加到第一列：
$$D_n = [x + (n-1)a] \begin{vmatrix} 1 & a & a & \cdots & a
1 & x & a & \cdots & a
1 & a & x & \cdots & a
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
1 & a & a & \cdots & x \end{vmatrix}$$
各行减去第一行：
$$= [x + (n-1)a] \begin{vmatrix} 1 & a & a & \cdots & a
0 & x-a & 0 & \cdots & 0
0 & 0 & x-a & \cdots & 0
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{vmatrix} = [x + (n-1)a](x-a)^{n-1}$$
基础题
1. 设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2
3 & 4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 1
1 & 0 \end{pmatrix}$，计算 $AB$ 和 $BA$。
2. 计算下列行列式：
(a) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$
(b) $\begin{vmatrix} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{vmatrix}$
提高题 3. 证明：若 $A$ 是对称矩阵，则 $A^2$ 也是对称矩阵。
4. 设 $A^2 = A$，证明 $E + A$ 可逆，并求 $(E + A)^{-1}$。
挑战题 5. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^* = A^T$，$|A| \neq 0$。证明 $|A| = \pm 1$。
6. 证明 Vandermonde 行列式：
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1
x_1 & x_2 & \cdots & x_n
x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i)$$
<html> <script type=“text/javascript” async
src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js">
</script> </html>