随机过程

随机过程（Stochastic Process）是概率论的重要分支，研究随时间演变的随机现象。它不仅是现代概率论的核心内容，也是金融工程、信号处理、排队论、生物统计等领域的重要数学工具。

本课程系统介绍随机过程的基本理论与方法，涵盖泊松过程、马尔可夫链、鞅论、布朗运动、随机微分方程等核心内容，并探讨其在金融与工程中的应用。

完成本课程学习后，学生将能够：

• 理解随机过程的数学定义与分类方法
• 掌握泊松过程、更新过程的基本性质与应用
• 熟练运用马尔可夫链分析随机系统的演化规律
• 理解鞅论的基本概念及其在概率论中的重要作用
• 掌握布朗运动的性质与随机积分理论
• 建立随机微分方程并求解常见问题
• 应用随机过程理论解决金融与工程实际问题

学习本课程需要具备以下数学基础：

• 概率论：概率空间、随机变量、分布函数、期望与方差
• 数理统计：参数估计、假设检验
• 数学分析：极限理论、级数、微积分
• 线性代数：矩阵运算、特征值与特征向量
• 常微分方程：基本解法、存在唯一性定理

本课程共分为四大部分，十五章：

1. 第一章_随机过程的基本概念 - 定义、有限维分布、数字特征、分类
2. 第二章_泊松过程 - 定义与性质、到达时间间隔、等待时间、复合泊松过程
3. 第三章_更新过程 - 更新函数、更新方程、极限定理

1. 第四章_离散时间马尔可夫链 - 转移概率、Chapman-Kolmogorov方程、遍历性
2. 第五章_状态的分类与极限分布 - 常返与非常返、周期、平稳分布
3. 第六章_连续时间马尔可夫链 - 转移速率、Kolmogorov方程、生灭过程

1. 第七章_条件期望与鞅 - 条件期望、鞅的定义、停时
2. 第八章_鞅的收敛定理 - Doob分解、上穿不等式、鞅收敛

1. 第九章_布朗运动 - 定义与性质、二次变差、最大值分布
2. 第十章_随机积分 - Ito积分、Ito公式、随机微分方程
3. 第十一章_随机微分方程 - 存在唯一性、强解与弱解、线性SDE

1. 第十二章_平稳过程 - 宽平稳、谱分解、遍历性
2. 第十三章_时间序列分析 - ARMA模型、预测、估计

1. 第十四章_随机过程在金融中的应用 - Black-Scholes模型、期权定价
2. 第十五章_随机过程在工程中的应用 - 排队论、可靠性、信号处理

• Ross, S. M. (2014). Introduction to Probability Models (11th ed.). Academic Press.
• Karlin, S. & Taylor, H. M. (1975). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press.
• Øksendal, B. (2003). Stochastic Differential Equations (6th ed.). Springer.
• Shreve, S. E. (2004). Stochastic Calculus for Finance I & II. Springer.
• 何书元 (2008). 随机过程. 北京大学出版社.
• 张波、商豪 (2013). 应用随机过程. 清华大学出版社.
• 林元烈 (2002). 应用随机过程. 清华大学出版社.

• 理论联系实际：每个概念都要思考其实际背景与应用场景
• 重视推导过程：自己动手推导重要定理，加深理解
• 多做习题：通过习题巩固所学知识，培养解决问题的能力
• 编程实践：使用Python/MATLAB进行数值模拟，直观理解随机过程
• 阅读文献：关注随机过程在金融、工程领域的最新应用

• 概率论基础：概率论
• 数学分析：数学分析
• 线性代数：线性代数
• 常微分方程：常微分方程

最后更新：2024年

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