偏微分方程是描述自然界中各种连续变化现象的重要数学工具。与常微分方程不同，偏微分方程涉及多元未知函数及其偏导数。在物理学、工程学、经济学、生物学等领域，许多现象都需要用偏微分方程来描述。

定义 1.1 设 $u = u(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 是 $n$ 个自变量的未知函数。偏微分方程是包含 $u$ 及其偏导数的函数方程，其一般形式为：

$$F\left(x_1, x_2, \ldots, x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}, \ldots\right) = 0$$

其中 $F$ 是已知函数。

定义 1.2 如果函数 $u$ 在某区域内具有方程中出现的各阶连续偏导数，且代入方程后使之成为恒等式，则称 $u$ 为该偏微分方程的解或古典解。

以下是几个著名的偏微分方程：

(1) 波动方程 (Wave Equation)

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \Delta u = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)$$

描述弦振动、电磁波传播等现象。其中 $c$ 是波速，$\Delta$ 是拉普拉斯算子。

推导：考虑一根紧绷的弦，设 $u(x,t)$ 表示位置 $x$ 处、时刻 $t$ 时弦的横向位移。根据牛顿第二定律，弦的微元满足：

$$\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中 $\rho$ 是线密度，$T$ 是张力。令 $c^2 = T/\rho$，即得波动方程。

(2) 热传导方程 (Heat Equation)

$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \Delta u = k \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)$$

描述热量传导、扩散过程。其中 $k$ 是扩散系数，$u$ 表示温度。

推导：根据傅里叶热传导定律，热流密度与温度梯度成正比：$\mathbf{q} = -k \nabla u$。结合能量守恒，得到热传导方程。

(3) 拉普拉斯方程 (Laplace Equation)

$$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0$$

描述稳态温度分布、静电势、不可压缩无旋流动等。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。

(4) Poisson方程

$$-\Delta u = f$$

其中 $f$ 是已知函数，表示源项。

(5) 输运方程 (Transport Equation)

$$\frac{\partial u}{\partial t} + c \cdot \nabla u = 0$$

描述物质的对流输运，其中 $c$ 是常速度向量。

(6) Burgers方程

$$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

是非线性偏微分方程，用于研究激波和湍流。

定义 1.3 偏微分方程的阶是指方程中出现的最高阶偏导数的阶数。

• 一阶偏微分方程：只含有一阶偏导数，如输运方程
• 二阶偏微分方程：最高阶为二阶，如波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程
• 高阶偏微分方程：阶数大于二，如双调和方程 $\Delta^2 u = 0$（四阶）

定义 1.4 设偏微分方程可以写成：

$$L[u] = f$$

其中 $L$ 是微分算子，$f$ 是已知函数。

• 如果 $L$ 是线性算子，即满足：

$$L[\alpha u + \beta v] = \alpha L[u] + \beta L[v]$$

  对任意常数 $\alpha, \beta$ 和函数 $u, v$ 成立，则称方程为**线性偏微分方程**。

* 如果 $L$ 不是线性算子，则称方程为**非线性偏微分方程**。

线性偏微分方程的进一步分类：

• 齐次方程：$f \equiv 0$
• 非齐次方程：$f \not\equiv 0$
• 常系数方程：$L$ 的系数为常数
• 变系数方程：$L$ 的系数依赖于自变量

例 1.1 以下方程的分类：

非线性偏微分方程可分为：

• 拟线性方程 (Quasilinear)：最高阶导数项是线性的，但系数可能依赖于未知函数及其低阶导数。

例：$a(x, u, \nabla u) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \cdots = f(x, u, \nabla u)$

• 半线性方程 (Semilinear)：最高阶导数项是线性的且系数仅依赖于自变量。

例：$\Delta u = f(x, u, \nabla u)$

• 完全非线性方程 (Fully Nonlinear)：最高阶导数以非线性方式出现。

例：$\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)^2 + \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)^2 = 1$

对于两个自变量的二阶线性偏微分方程：

$$a(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c(x,y) \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \cdots = 0$$

定义判别式 $D = b^2 - ac$：

• $D < 0$：椭圆型 (Elliptic)，如拉普拉斯方程
• $D = 0$：抛物型 (Parabolic)，如热传导方程
• $D > 0$：双曲型 (Hyperbolic)，如波动方程

这个分类对应于二次曲线 $ax^2 + 2bxy + cy^2 = 1$ 的分类。

高维推广：对于多个自变量，根据特征曲面的性质分类。

偏微分方程的解通常不唯一。例如，$u(x,y) = x^2 - y^2$、$u(x,y) = xy$、$u(x,y) = e^x \cos y$ 都满足 $\Delta u = 0$。为了得到唯一解，需要附加定解条件。

对于含时间变量 $t$ 的演化方程，需要给定初始时刻的状态。

初值条件 (Initial Condition)：

$$u(x, 0) = \varphi(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \psi(x) \quad \text{(对波动方程)}$$

其中 $\varphi$ 和 $\psi$ 是已知函数，分别表示初始位移和初始速度。

对于空间区域 $\Omega$ 上的问题，需要在边界 $\partial \Omega$ 上给定条件。

常见边值条件：

(1) Dirichlet边界条件（第一边值条件）：

$$u|_{\partial \Omega} = g$$

给定边界上的函数值。物理意义：边界温度、边界电势等。

(2) Neumann边界条件（第二边值条件）：

$$\frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{\partial \Omega} = g$$

其中 $\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \mathbf{n}$ 是外法向导数。物理意义：边界热流、边界法向速度等。

(3) Robin边界条件（第三边值条件）：

$$\left(\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u\right)\bigg|_{\partial \Omega} = g$$

其中 $\sigma > 0$ 是常数。这是Dirichlet和Neumann条件的组合。

(4) 混合边界条件：

在不同边界部分给定不同类型的条件。

根据方程类型和定解条件的组合，常见的定解问题有：

(1) Cauchy问题（初值问题）：

给定全空间上的初值，求 $t > 0$ 时的解。

例： $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, & x \in \mathbb{R}, t > 0
u(x, 0) = \varphi(x), & x \in \mathbb{R} \end{cases}$$

(2) 初边值问题：

在有界区域上，同时给定初值和边值。

例： $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = k \Delta u, & x \in \Omega, t > 0
u(x, 0) = \varphi(x), & x \in \Omega
u|_{\partial \Omega} = g, & t > 0 \end{cases}$$

(3) 边值问题：

对椭圆型方程（无时间变量），只给定边值条件。

• Dirichlet问题：给定 $u|_{\partial \Omega} = g$
• Neumann问题：给定 $\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial \Omega} = g$
• Robin问题：给定混合条件

定义 1.5 (Hadamard, 1902) 一个定解问题称为适定的 (Well-posed)，如果：

1. 存在性：问题至少有一个解
2. 唯一性：问题的解是唯一的
3. 稳定性：解连续依赖于定解条件（即定解条件的微小变化只引起解的微小变化）

如果上述任一条件不满足，则称问题为不适定的 (Ill-posed)。

说明：

• 存在性和唯一性保证了问题的数学确定性
• 稳定性保证了问题在实际计算中的可行性（实际测量总有误差）

(1) 解不唯一的例子

对于Neumann问题： $$\begin{cases} -\Delta u = 0, & \text{在 } \Omega \text{ 内}
\frac{\partial u}{\partial n} = 0, & \text{在 } \partial \Omega \text{ 上} \end{cases}$$

$u \equiv C$（常数）都是解，故解不唯一。

修正：附加条件 $\int_\Omega u \, dx = 0$ 可保证唯一性。

(2) 解不存在的例子

对于： $$\begin{cases} -\Delta u = 0, & \text{在 } \Omega \text{ 内}
\frac{\partial u}{\partial n} = 1, & \text{在 } \partial \Omega \text{ 上} \end{cases}$$

由散度定理： $$0 = \int_\Omega \Delta u \, dx = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = |\partial\Omega| \neq 0$$

矛盾！故解不存在。

修正：需要相容性条件 $\int_{\partial \Omega} g \, dS = 0$。

(3) 不适定的经典例子：反向热传导

$$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, & t > 0
u(x, 0) = \varphi(x) \end{cases}$$

这是热传导方程的时间反向。可以证明，即使初值 $\varphi$ 有微小变化，解也可能产生巨大变化，不满足稳定性。

Hadamard的适定性概念虽然有其局限性（某些实际问题确实是不适定的），但为偏微分方程的研究提供了基本框架：

• 对于适定问题，可以建立系统的求解理论
• 对于不适定问题，需要发展特殊的处理方法（正则化方法）
• 大多数物理问题在正确建模后都是适定的

定理 1.1 (叠加原理) 设 $u_1$ 和 $u_2$ 分别是线性方程 $L[u] = f_1$ 和 $L[u] = f_2$ 的解，则对任意常数 $\alpha, \beta$，函数 $u = \alpha u_1 + \beta u_2$ 是方程 $L[u] = \alpha f_1 + \beta f_2$ 的解。

推论：

• 若 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 都是齐次方程 $L[u] = 0$ 的解，则它们的任意线性组合也是解
• 若 $u^*$ 是非齐次方程 $L[u] = f$ 的特解，$u_h$ 是相应齐次方程的通解，则 $u = u^* + u_h$ 是非齐次方程的通解

意义：叠加原理将复杂问题分解为简单问题的组合，是分离变量法、格林函数法等方法的数学基础。

对于非齐次演化方程，Duhamel原理将问题转化为齐次方程的叠加。

定理 1.2 (Duhamel原理) 考虑非齐次热传导方程： $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = k \Delta u + f(x, t), & t > 0
u(x, 0) = 0 \end{cases}$$

设 $v(x, t; s)$ 是以下齐次问题的解： $$\begin{cases} \frac{\partial v}{\partial t} = k \Delta v, & t > s
v(x, s; s) = f(x, s) \end{cases}$$

则原问题的解为： $$u(x, t) = \int_0^t v(x, t; s) \, ds$$

例 1.2 验证 $u(x, y) = e^x \sin y$ 满足拉普拉斯方程 $\Delta u = 0$。

解：计算各阶偏导数： $$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \sin y, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = e^x \sin y$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -e^x \sin y$$

因此： $$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = e^x \sin y - e^x \sin y = 0$$

验证完毕。

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例 1.3 判断方程 $x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$ 的类型。

解：比较标准形式 $a u_{xx} + 2b u_{xy} + c u_{yy} = 0$，有： $$a = x^2, \quad b = xy, \quad c = y^2$$

判别式： $$D = b^2 - ac = (xy)^2 - x^2 y^2 = 0$$

因此，该方程在 $(x, y) \neq (0, 0)$ 时是抛物型的。

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例 1.4 验证 $u(x, t) = \sin(x - ct)$ 满足一维波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$。

解：计算偏导数： $$\frac{\partial u}{\partial t} = -c \cos(x - ct), \quad \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -c^2 \sin(x - ct)$$ $$\frac{\partial u}{\partial x} = \cos(x - ct), \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = -\sin(x - ct)$$

因此： $$u_{tt} = -c^2 \sin(x - ct) = c^2 (-\sin(x - ct)) = c^2 u_{xx}$$

验证完毕。

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例 1.5 设 $u(x, t)$ 满足热传导方程 $u_t = k u_{xx}$，证明 $v(x, t) = u(\lambda x, \lambda^2 t)$ 也是解（对任意常数 $\lambda$）。

解：计算偏导数： $$\frac{\partial v}{\partial t} = u_t(\lambda x, \lambda^2 t) \cdot \lambda^2$$ $$\frac{\partial v}{\partial x} = u_x(\lambda x, \lambda^2 t) \cdot \lambda$$ $$\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = u_{xx}(\lambda x, \lambda^2 t) \cdot \lambda^2$$

因此： $$v_t = \lambda^2 u_t = \lambda^2 k u_{xx} = k v_{xx}$$

故 $v$ 也是热传导方程的解。

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例 1.6 判断以下问题的适定性： $$\begin{cases} u_{xx} + u_{yy} = 0, & 0 < x < 1, 0 < y < 1
u(0, y) = u(1, y) = 0
u(x, 0) = 0, \quad u(x, 1) = \sin(\pi x) \end{cases}$$

解：这是一个Dirichlet边值问题。对于拉普拉斯方程在有界区域上的Dirichlet问题，可以证明：

• 解存在（由Perron方法或变分方法）
• 解唯一（由极值原理）
• 解稳定（解连续依赖于边值数据）

因此，该问题是适定的。

一、基础练习

1. 验证下列函数是否是对应方程的解：

 (a) $u(x, t) = e^{-k t} \sin x$，方程 $u_t = k u_{xx}$
 (b) $u(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$，方程 $\Delta u = 0$（$x^2 + y^2 \neq 0$）
 (c) $u(x, t) = f(x - ct)$（$f$ 是任意可微函数），方程 $u_t + c u_x = 0$

2. 判断下列方程的阶数、线性/非线性类型：

 (a) $u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = e^u$
 (b) $u_t = u u_{xx} + u_x^2$
 (c) $\Delta^2 u = f(x, y)$
 (d) $\sqrt{1 + u_x^2} + \sqrt{1 + u_y^2} = 1$

二、分类练习

3. 判断下列二阶方程的类型（椭圆型/抛物型/双曲型）：

 (a) $u_{xx} + 2 u_{xy} + u_{yy} = 0$
 (b) $u_{xx} - 3 u_{xy} + 2 u_{yy} = 0$
 (c) $y u_{xx} + u_{yy} = 0$
 (d) $u_{xx} + x u_{yy} = 0$

4. 对于方程 $a(x, y) u_{xx} + 2b(x, y) u_{xy} + c(x, y) u_{yy} = 0$，证明判别式 $D = b^2 - ac$ 在自变量变换下保持符号不变。

三、定解问题

5. 写出下列问题的定解条件类型：

 (a) 弦振动问题：给定弦的初始位移和初始速度，两端固定
 (b) 热传导问题：给定初始温度分布，边界绝热
 (c) 静电场问题：给定边界电势

6. 证明：对于Neumann问题

 $$\begin{cases}
 -\Delta u = f, & \text{在 } \Omega \text{ 内} \\
 \frac{\partial u}{\partial n} = g, & \text{在 } \partial \Omega \text{ 上}
 \end{cases}$$
 存在解的必要条件是 $\int_\Omega f \, dx + \int_{\partial \Omega} g \, dS = 0$。

四、综合题

7. 设 $u$ 满足波动方程 $u_{tt} = c^2 \Delta u$，定义能量：

 $$E(t) = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^n} (u_t^2 + c^2 |\nabla u|^2) \, dx$$
 证明 $\frac{dE}{dt} = 0$（能量守恒）。

8. 利用叠加原理，求非齐次热传导方程的通解形式：

 $$u_t = k u_{xx} + f(x, t)$$
 已知相应齐次方程有基本解族 $\{u_n(x, t)\}$。

五、思考题

9. 讨论：为什么椭圆型方程（如拉普拉斯方程）通常只提边值问题，而双曲型方程（如波动方程）需要同时提初值和边值问题？

10. 研究方程 $u_t + u u_x = 0$（Burgers方程无粘情形）。验证 $u(x, t) = \varphi(x - ut)$ 是隐式解。讨论解在何时会产生奇异性（激波形成）。

• 偏微分方程是包含多元未知函数及其偏导数的方程
• 可按阶数、线性性质、方程类型（椭圆/抛物/双曲）分类
• 定解条件包括初值条件和边值条件（Dirichlet/Neumann/Robin）

* Hadamard适定性要求存在性、唯一性、稳定性

• 叠加原理是线性偏微分方程的重要性质

• Courant, R. and Hilbert, D., “Methods of Mathematical Physics”, Vol. 2, Wiley, 1989.
• John, F., “Partial Differential Equations”, Springer, 1991.