波动方程是描述波动现象的基本方程，广泛应用于声学、电磁学、弹性力学等领域。作为最典型的双曲型方程，波动方程展示了有限传播速度、能量守恒等双曲型方程的典型特征。

考虑一根长度为 $L$ 的均匀弹性弦，在张力作用下紧绷在 $x$ 轴上。设：

• $\rho$：弦的线密度（单位长度的质量）
• $T$：弦的张力（假设为常数）
• $u(x, t)$：位置 $x$ 处、时刻 $t$ 时弦的横向位移

假设：

• 振动是微小的（$|u_x| \ll 1$）
• 弦是完全柔软的（只承受张力，不承受弯矩）
• 张力远大于重力

考虑弦上区间 $[x, x + \Delta x]$ 的微元：

水平方向：张力在 $x$ 处为 $\mathbf{T}(x)$，在 $x + \Delta x$ 处为 $\mathbf{T}(x + \Delta x)$

设弦的切线与水平方向的夹角为 $\theta$，则：

$$T \cos\theta(x + \Delta x) - T \cos\theta(x) = 0$$

对于小振动，$\cos\theta \approx 1$，水平方向近似平衡。

垂直方向：由牛顿第二定律

$$\rho \Delta x \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = T \sin\theta(x + \Delta x) - T \sin\theta(x)$$

对于小振动，$\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{\partial u}{\partial x}$

因此： $$\rho \Delta x \cdot u_{tt} = T \left[\frac{\partial u}{\partial x}(x + \Delta x) - \frac{\partial u}{\partial x}(x)\right]$$

令 $\Delta x \to 0$： $$\rho u_{tt} = T u_{xx}$$

即： $$u_{tt} = c^2 u_{xx}, \quad c^2 = \frac{T}{\rho}$$

其中 $c$ 是波在弦上的传播速度。

考虑无界弦的自由振动：

$$\begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx}, & x \in \mathbb{R}, t > 0
u(x, 0) = \varphi(x), & u_t(x, 0) = \psi(x) \end{cases}$$

定理 3.1 (达朗贝尔) 上述 Cauchy 问题的解为：

$$u(x, t) = \frac{\varphi(x + ct) + \varphi(x - ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x - ct}^{x + ct} \psi(s) \, ds$$

这就是著名的达朗贝尔公式。

步骤 1：因式分解

波动方程可写成：$\left(\frac{\partial}{\partial t} + c \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t} - c \frac{\partial}{\partial x}\right) u = 0$

步骤 2：变量替换

令 $\xi = x + ct$，$\eta = x - ct$，则： $$\frac{\partial}{\partial t} = c \frac{\partial}{\partial \xi} - c \frac{\partial}{\partial \eta}, \quad \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}$$

代入方程： $$u_{tt} - c^2 u_{xx} = c^2 (u_{\xi\xi} - 2 u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) - c^2 (u_{\xi\xi} + 2 u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) = -4c^2 u_{\xi\eta} = 0$$

故 $u_{\xi\eta} = 0$

步骤 3：求解

对 $\eta$ 积分：$u_\xi = f(\xi)$（$f$ 为任意函数）

对 $\xi$ 积分：$u = F(\xi) + G(\eta) = F(x + ct) + G(x - ct)$

步骤 4：利用初值确定 $F$ 和 $G$

由 $u(x, 0) = F(x) + G(x) = \varphi(x)$ … (1)

由 $u_t(x, 0) = cF'(x) - cG'(x) = \psi(x)$ … (2)

对 (2) 积分：$F(x) - G(x) = \frac{1}{c} \int_0^x \psi(s) \, ds + C$ … (3)

由 (1) 和 (3)： $$F(x) = \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2c} \int_0^x \psi(s) \, ds + \frac{C}{2}$$ $$G(x) = \frac{\varphi(x)}{2} - \frac{1}{2c} \int_0^x \psi(s) \, ds - \frac{C}{2}$$

代入通解形式： $$u(x, t) = \frac{\varphi(x + ct) + \varphi(x - ct)}{2} + \frac{1}{2c} \left[\int_0^{x+ct} \psi(s) \, ds - \int_0^{x-ct} \psi(s) \, ds\right]$$ $$= \frac{\varphi(x + ct) + \varphi(x - ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s) \, ds$$

达朗贝尔公式揭示了一维波动的基本特性：

• $\frac{\varphi(x + ct) + \varphi(x - ct)}{2}$：初始位移 $\varphi$ 分解为向左和向右传播的两个波，速度均为 $c$
• $\frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s) \, ds$：初始速度 $\psi$ 的影响，来自依赖区间 $[x - ct, x + ct]$ 内的贡献
• 有限传播速度：点 $(x, t)$ 的解只依赖于区间 $[x - ct, x + ct]$ 上的初值，此区间称为依赖区间

对于一维波动方程，定义能量：

$$E(t) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \left(u_t^2 + c^2 u_x^2\right) \, dx$$

物理意义：

• $\frac{1}{2} u_t^2$：单位质量的动能
• $\frac{1}{2} c^2 u_x^2$：单位长度的势能

定理 3.2 (能量守恒) 对于一维波动方程的解，若当 $|x| \to \infty$ 时 $u_x, u_t \to 0$ 足够快，则：

$$\frac{dE}{dt} = 0$$

即能量守恒。

证明： $$\frac{dE}{dt} = \int_{-\infty}^{\infty} \left(u_t u_{tt} + c^2 u_x u_{xt}\right) \, dx$$

利用 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$： $$= \int_{-\infty}^{\infty} \left(c^2 u_t u_{xx} + c^2 u_x u_{xt}\right) \, dx$$ $$= c^2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial x}(u_t u_x) \, dx$$ $$= c^2 \left[u_t u_x\right]_{-\infty}^{\infty} = 0$$

（由边界条件）

定理 3.3 (唯一性) Cauchy 问题的解是唯一的。

证明：设 $u_1$ 和 $u_2$ 都是解，令 $w = u_1 - u_2$，则 $w$ 满足： $$\begin{cases} w_{tt} = c^2 w_{xx}
w(x, 0) = 0, \quad w_t(x, 0) = 0 \end{cases}$$

能量：$E_w(t) = \frac{1}{2} \int (w_t^2 + c^2 w_x^2) \, dx$

初始时刻：$E_w(0) = 0$

由能量守恒：$E_w(t) = E_w(0) = 0$

故 $w_t = w_x = 0$，即 $w = \text{常数} = 0$（由初值）

因此 $u_1 = u_2$。

定理 3.4 (稳定性) 解连续依赖于初值。

具体地，若 $u$ 和 $\tilde{u}$ 分别对应初值 $(\varphi, \psi)$ 和 $(\tilde{\varphi}, \tilde{\psi})$，则：

$$\int [(u_t - \tilde{u}_t)^2 + c^2 (u_x - \tilde{u}_x)^2] \, dx = \int [(\psi - \tilde{\psi})^2 + c^2 (\varphi' - \tilde{\varphi}')^2] \, dx$$

考虑 $x > 0$ 的半无限弦，边界 $x = 0$ 固定：

$$\begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx}, & x > 0, t > 0
u(0, t) = 0 & \text{(固定端)}
u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x), & x > 0 \end{cases}$$

将初值函数奇延拓到全实轴： $$\varphi_{odd}(x) = \begin{cases} \varphi(x), & x > 0
-\varphi(-x), & x < 0 \end{cases}$$ $$\psi_{odd}(x) = \begin{cases} \psi(x), & x > 0
-\psi(-x), & x < 0 \end{cases}$$

对延拓后的初值使用达朗贝尔公式，可验证：

• $u(0, t) = \frac{\varphi_{odd}(ct) + \varphi_{odd}(-ct)}{2} + \cdots = 0$（满足边界条件）

物理解释：

• 当 $t < \frac{x}{c}$ 时，解就是无界弦的解（边界尚未影响到点 $(x, t)$）
• 当 $t > \frac{x}{c}$ 时，边界效应到达，相当于一个来自 $x < 0$ 区域的“虚像”波与实波叠加
• 固定端产生反相反射：入射波与反射波符号相反

若边界 $x = 0$ 自由（无外力），则边界条件为： $$u_x(0, t) = 0$$

此时使用偶延拓，可得到：自由端产生同相反射。

$$\begin{cases} u_{tt} = c^2 \Delta u = c^2 (u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}), & (x, y, z) \in \mathbb{R}^3, t > 0
u|_{t=0} = \varphi(x, y, z), \quad u_t|_{t=0} = \psi(x, y, z) \end{cases}$$

定理 3.5 (Kirchhoff-Poisson) 三维波动方程 Cauchy 问题的解为：

$$u(x, y, z, t) = \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{1}{4\pi c^2 t} \iint_{S_{ct}(M)} \varphi \, dS\right] + \frac{1}{4\pi c^2 t} \iint_{S_{ct}(M)} \psi \, dS$$

其中 $S_{ct}(M)$ 是以 $M = (x, y, z)$ 为中心、$ct$ 为半径的球面。

物理意义（Huygens原理）：

• 三维波动具有清晰的波前
• 点 $(x, y, z)$ 在时刻 $t$ 的状态仅依赖于球面 $S_{ct}$ 上的初值，而非球内
• 波传播后不留“后效”

二维波动方程： $$u_{tt} = c^2 (u_{xx} + u_{yy})$$

利用降维法（将二维问题看作三维问题的特例，$z$ 无关），得到Poisson公式：

$$u(x, y, t) = \frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{1}{2\pi c} \iint_{D_{ct}} \frac{\varphi(\xi, \eta)}{\sqrt{c^2 t^2 - r^2}} \, d\xi d\eta\right] + \frac{1}{2\pi c} \iint_{D_{ct}} \frac{\psi(\xi, \eta)}{\sqrt{c^2 t^2 - r^2}} \, d\xi d\eta$$

其中 $D_{ct}$ 是以 $(x, y)$ 为中心、$ct$ 为半径的圆盘，$r^2 = (\xi - x)^2 + (\eta - y)^2$。

物理意义（波的弥散）：

• 二维波动没有清晰的波前
• 波通过后留下持续的影响（“后效”）
• 这是由于依赖区域是圆盘而非圆周

考虑有限弦 $[0, L]$，两端固定：

$$\begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx}, & 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = u(L, t) = 0
u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x) \end{cases}$$

设 $u(x, t) = X(x) T(t)$，代入方程： $$X T = c^2 X T$$ $$\frac{T}{c^2 T} = \frac{X}{X} = -\lambda$$

得到两个常微分方程： $$X + \lambda X = 0, \quad T + \lambda c^2 T = 0$$

边界条件 $X(0) = X(L) = 0$ 给出：

• $\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$，$n = 1, 2, 3, \ldots$
• $X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

对应的时间函数： $$T_n(t) = A_n \cos\left(\frac{n\pi c t}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{n\pi c t}{L}\right)$$

通解： $$u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[A_n \cos\left(\frac{n\pi c t}{L}\right) + B_n \sin\left(\frac{n\pi c t}{L}\right)\right] \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

由初值条件： $$A_n = \frac{2}{L} \int_0^L \varphi(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx$$ $$B_n = \frac{2}{n\pi c} \int_0^L \psi(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx$$

• 基频：$\omega_1 = \frac{\pi c}{L}$，对应频率 $f_1 = \frac{c}{2L}$
• 谐波：$f_n = \frac{nc}{2L} = n f_1$
• 驻波：每个模式 $u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t)$ 在空间中形成不动的波形（节点和腹点）

例 3.1 用达朗贝尔公式求解： $$\begin{cases} u_{tt} = 4 u_{xx}, & x \in \mathbb{R}, t > 0
u(x, 0) = \sin x, \quad u_t(x, 0) = \cos x \end{cases}$$

解：$c = 2$，$\varphi(x) = \sin x$，$\psi(x) = \cos x$

$$u(x, t) = \frac{\sin(x + 2t) + \sin(x - 2t)}{2} + \frac{1}{4} \int_{x-2t}^{x+2t} \cos s \, ds$$

$$= \sin x \cos 2t + \frac{1}{4} [\sin s]_{x-2t}^{x+2t}$$

$$= \sin x \cos 2t + \frac{1}{4} [\sin(x + 2t) - \sin(x - 2t)]$$

$$= \sin x \cos 2t + \frac{1}{2} \cos x \sin 2t$$

—

例 3.2 求解半无限弦问题： $$\begin{cases} u_{tt} = c^2 u_{xx}, & x > 0, t > 0
u(0, t) = 0
u(x, 0) = e^{-x}, \quad u_t(x, 0) = 0 \end{cases}$$

解：奇延拓 $\varphi_{odd}(x) = \text{sgn}(x) e^{-|x|}$

对 $x > ct$（未受边界影响）： $$u(x, t) = \frac{e^{-(x+ct)} + e^{-(x-ct)}}{2} = e^{-x} \cosh(ct)$$

对 $0 < x < ct$（已受边界影响）： $$u(x, t) = \frac{e^{-(x+ct)} - e^{-(ct-x)}}{2} = -e^{-ct} \sinh(x)$$

—

例 3.3 证明波动方程的解满足： $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial}{\partial t} + c \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t} - c \frac{\partial}{\partial x}\right) u$$

并利用此因式分解给出通解 $u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)$ 的另一种推导。

证明：展开右边： $$\left(\partial_t + c \partial_x\right)\left(u_t - c u_x\right) = u_{tt} - c u_{xt} + c u_{tx} - c^2 u_{xx} = u_{tt} - c^2 u_{xx}$$

令 $v = u_t - c u_x$，则方程变为 $v_t + c v_x = 0$，解得 $v = h(x - ct)$

再解 $u_t - c u_x = h(x - ct)$，令 $\xi = x + ct$，$\eta = x - ct$，得： $$-2c u_\eta = h(\eta) \Rightarrow u = F(\xi) + G(\eta) = F(x+ct) + G(x-ct)$$

一、达朗贝尔公式

1. 用达朗贝尔公式求解下列 Cauchy 问题：

 (a) $u_{tt} = u_{xx}$，$u(x, 0) = x^2$，$u_t(x, 0) = x$
 (b) $u_{tt} = 9 u_{xx}$，$u(x, 0) = \sin x$，$u_t(x, 0) = 3 \cos x$
 (c) $u_{tt} = 4 u_{xx}$，$u(x, 0) = 0$，$u_t(x, 0) = \frac{1}{1 + x^2}$

2. 设 $u$ 满足 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$，初值 $u(x, 0) = \varphi(x)$，$u_t(x, 0) = 0$。

 (a) 证明 $u(x, t) = \frac{1}{2}[\varphi(x+ct) + \varphi(x-ct)]$
 (b) 当 $\varphi(x) = |x|$（$|x| \leq 1$，否则为 0），画出 $u(x, t)$ 在不同时刻的波形

二、能量方法

3. 对于有限弦 $[0, L]$，两端固定，证明能量 $E(t) = \frac{1}{2} \int_0^L (u_t^2 + c^2 u_x^2) \, dx$ 守恒。

4. 考虑带阻尼的波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx} - 2\gamma u_t$（$\gamma > 0$）。

 (a) 定义能量并计算 $\frac{dE}{dt}$
 (b) 证明能量随时间衰减

三、分离变量法

5. 用分离变量法求解：

 $$\begin{cases}
 u_{tt} = u_{xx}, & 0 < x < \pi, t > 0 \\
 u(0, t) = u(\pi, t) = 0 \\
 u(x, 0) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x, \quad u_t(x, 0) = 0
 \end{cases}$$

6. 求解 Neumann 边值问题：

 $$\begin{cases}
 u_{tt} = c^2 u_{xx}, & 0 < x < L, t > 0 \\
 u_x(0, t) = u_x(L, t) = 0 \\
 u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x)
 \end{cases}$$

四、高维问题

7. 用球平均法推导三维波动方程的 Kirchhoff 公式。

8. 解释为什么二维波动有后效而三维没有（Huygens 原理）。

五、综合题

9. 考虑非齐次波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx} + f(x, t)$。

 (a) 用 Duhamel 原理推导解的公式
 (b) 求解 $f(x, t) = \sin x \cos t$，初值为零的问题

10. 波的干涉：设 $u_1$ 和 $u_2$ 是两个满足相同波动方程的解。证明它们的叠加 $u = u_1 + u_2$ 也是解，并讨论干涉现象。

• 一维波动方程 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ 描述弦振动和波传播
• 达朗贝尔公式给出 Cauchy 问题的显式解
• 能量守恒保证了解的唯一性和稳定性
• 有限弦问题可用分离变量法求解，得到驻波解
• 高维波动方程显示不同维数波传播的差异（Huygens 原理）

• Strauss, W.A., “Partial Differential Equations”, Chapter 4.
• Evans, L.C., “Partial Differential Equations”, Chapter 2.