定义9.1.1（格林函数）

对于线性微分算子 $L$，边值问题的格林函数 $G(x, y)$ 满足： $$LG(x, y) = \delta(x-y)$$

并满足齐次边界条件。

解的表示： $$u(x) = \int G(x,y)f(y)dy$$

对称性：自伴算子的格林函数满足 $G(x,y) = G(y,x)$。

问题：$Lu = -(p(x)u')' + q(x)u = f(x)$，$a < x < b$

边界条件：$B_1u = B_2u = 0$

构造方法：

设 $u_1, u_2$ 分别是满足左、右边界条件的解，且 $Lu_1 = Lu_2 = 0$。

Wronskian：$W = p(x)(u_1u_2' - u_1'u_2) = \text{const}$

格林函数： $$G(x,y) = \begin{cases}\frac{u_1(x)u_2(y)}{W}, & a \leq x \leq y
\frac{u_1(y)u_2(x)}{W}, & y \leq x \leq b\end{cases}$$

例9.1：$u = f$，$u(0) = u(1) = 0$ - $u_1 = x$（满足 $u(0) = 0$） - $u_2 = 1-x$（满足 $u(1) = 0$） - $W = 1$ $$G(x,y) = \begin{cases}x(1-y), & x \leq y
y(1-x), & x \geq y\end{cases}$$ ===== 9.3 偏微分方程的格林函数 ===== 9.3.1 Laplace方程 见第五章。三维基本解：$\Phi(x,y) = \frac{1}{4\pi|x-y|}$ 9.3.2 Helmholtz方程 $$-\Delta u - k^2u = f$$ 基本解（三维）：$\Phi(x,y) = \frac{e^{ik|x-y|}}{4\pi|x-y|}$ 9.3.3 热传导方程 $$u_t - \Delta u = f$$ 基本解（热核）： $$\Phi(x,t; y,\tau) = \frac{1}{[4\pi(t-\tau)]^{n/2}}\exp\left(-\frac{|x-y|^2}{4(t-\tau)}\right)H(t-\tau)$$ 解的表示： $$u(x,t) = \int_0^t\int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x,t;y,\tau)f(y,\tau)dyd\tau + \int_{\mathbb{R}^n} \Phi(x,t;y,0)\varphi(y)dy$$ 9.3.4 波动方程 $$u_{tt} - c^2\Delta u = f$$ 基本解（三维）： $$\Phi(x,t;y,\tau) = \frac{\delta(t-\tau-|x-y|/c)}{4\pi c|x-y|}$$ ===== 9.4 格林函数的变分刻画 ===== 对于自伴正算子 $L$，格林函数使能量泛函极小： $$J[G] = \iint \left[\frac{1}{2}(\nabla_x G)^2 - G\delta(x-y)\right]dx$$ ===== 9.5 特征函数展开法 ===== 若 $\{\varphi_n\}$ 是 $L$ 的特征函数系，$L\varphi_n = \lambda_n\varphi_n$，则： $$G(x,y) = \sum_n \frac{\varphi_n(x)\varphi_n(y)}{\lambda_n}$$ 例9.2：弦振动算子 $Lu = -u$，$u(0) = u(\pi) = 0$

特征函数：$\varphi_n = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin(nx)$，$\lambda_n = n^2$

$$G(x,y) = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)\sin(ny)}{n^2}$$

习题9.1：求算子 $Lu = -u + u$，$u(0) = u(1) = 0$ 的格林函数。 习题9.2：用格林函数法求解 $u = x$，$u(0) = u(1) = 0$。

习题9.3：验证热核满足 $(\partial_t - \Delta_x)\Phi = \delta(x-y)\delta(t)$。

习题9.4：证明三维Laplace方程格林函数的对称性 $G(x,y) = G(y,x)$。

习题9.5：用特征函数展开求圆盘上Laplace算子的格林函数。

习题9.6：设 $G_\lambda$ 是算子 $L-\lambda I$ 的格林函数，分析其奇点与特征值的关系。