Dirichlet原理：求 $u$ 使泛函 $$J(v) = \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla v|^2 dx - \int_\Omega fv dx$$

在 $v|_{\partial\Omega} = g$ 条件下极小，则 $u$ 满足 $-\Delta u = f$。

Euler-Lagrange方程：泛函极值的必要条件。

泛函：$J: X \to \mathbb{R}$，$X$ 为函数空间。

Gâteaux导数： $$\langle J'(u), v \rangle = \lim_{t \to 0}\frac{J(u+tv) - J(u)}{t}$$

临界点是弱解：若 $u$ 是 $J$ 的临界点，则满足Euler-Lagrange方程的弱形式。

定义12.3.1（椭圆方程弱解）

考虑边值问题： $$\begin{cases}-\nabla \cdot (a(x)\nabla u) + c(x)u = f, & \Omega
u = 0, & \partial\Omega\end{cases}$$

其中 $a(x) \geq a_0 > 0$，$c(x) \geq 0$。

弱解：$u \in H_0^1(\Omega)$，使得对任意 $v \in H_0^1(\Omega)$： $$\int_\Omega (a\nabla u \cdot \nabla v + cuv)dx = \int_\Omega fv dx$$

定理12.4.1（Lax-Milgram）

设 $H$ 是Hilbert空间，$a: H \times H \to \mathbb{R}$ 是双线性形式，满足： 1. 有界性：$|a(u,v)| \leq C\|u\|\|v\|$ 2. 强制性（椭圆性）：$a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2$，$\alpha > 0$

则对任意 $f \in H^*$，存在唯一 $u \in H$ 使得 $a(u,v) = \langle f, v \rangle$ 对所有 $v \in H$ 成立，且 $\|u\| \leq \frac{1}{\alpha}\|f\|$。

应用：取 $H = H_0^1(\Omega)$，$a(u,v) = \int(a\nabla u \cdot \nabla v + cuv)dx$，则椭圆边值问题有唯一弱解。

能量泛函： $$E(u) = \frac{1}{2}a(u,u) - \langle f, u \rangle$$

定理12.5.1

$u$ 是变分问题的解当且仅当 $u$ 是能量泛函的极小点。

近似求解：取有限维子空间 $V_N \subset H$，求 $u_N \in V_N$ 使得 $$a(u_N, v) = \langle f, v \rangle, \quad \forall v \in V_N$$

基函数展开：$u_N = \sum_{i=1}^N c_i \varphi_i$，得到线性方程组 $Ac = F$。

收敛性：若 $V_N$ 在 $H$ 中稠密，则 $u_N \to u$。

例：$-\Delta u = f(u)$ 的弱解。

方法： 1. 不动点方法 2. 拓扑度理论 3. 临界点理论（Morse理论、Minimax方法）

Mountain Pass定理：设 $J \in C^1(X,\mathbb{R})$，$J(0) = 0$，存在 $\rho, \alpha > 0$ 使得 $J|_{\partial B_\rho} \geq \alpha$，且存在 $e \notin B_\rho$ 使 $J(e) \leq 0$。则 $J$ 有临界点。

Neumann问题：$-\Delta u = f$，$\frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial\Omega} = 0$

相容性条件：$\int_\Omega f dx = 0$

弱形式空间：$H^1(\Omega)$（而非 $H_0^1$）

习题12.1：推导 $-\Delta u + u = f$ 的弱形式，并用Lax-Milgram定理证明解的存在唯一性。

习题12.2：设 $\Omega = (0,1)$，$a(u,v) = \int_0^1 u'v' dx$，验证其有界性和强制性。

习题12.3：用Galerkin方法近似求解 $-u'' = 1$，$u(0) = u(1) = 0$，取基函数 $\varphi_n = \sin(n\pi x)$。

习题12.4：证明变分问题的解唯一。

习题12.5：对于双调和方程 $\Delta^2 u = f$，给出适当的弱形式和能量空间。

习题12.6：设 $J(u) = \frac{1}{2}\int|\nabla u|^2 - \frac{1}{p}\int|u|^p$，$p > 2$，分析其临界点的存在性。