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第十四章 高阶偏微分方程
14.1 双调和方程
定义14.1.1（双调和算子）
$$\Delta^2 u = \Delta(\Delta u) = \sum_{i,j}\frac{\partial^4 u}{\partial x_i^2 \partial x_j^2}$$
双调和方程：$\Delta^2 u = 0$ 或 $-\Delta^2 u = f$
物理背景：
- 薄板弯曲理论（Kirchhoff板方程）
- Stokes流
- 线弹性力学中的Airy应力函数
基本解（二维）： $$\Phi(x) = \frac{1}{8\pi}|x|^2\ln|x|$$
基本解（三维）： $$\Phi(x) = \frac{|x|}{8\pi}$$
14.2 板的弯曲方程
Kirchhoff薄板理论：
横向挠度 $w(x,y)$ 满足： $$D\Delta^2 w = q(x,y)$$
其中 $D = \frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}$ 为弯曲刚度，$E$ 弹性模量，$h$ 板厚，$\nu$ 泊松比，$q$ 横向载荷。
边界条件：
- 固支边：$w = \frac{\partial w}{\partial n} = 0$
- 简支边：$w = M_n = 0$（$M_n$ 为弯矩）
- 自由边：$M_n = V_n = 0$（$V_n$ 为等效剪力）
14.3 Airy应力函数
平面弹性问题：
应力分量表示为： $$\sigma_x = \frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2}, \quad \sigma_y = \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}, \quad \tau_{xy} = -\frac{\partial^2\Phi}{\partial x \partial y}$$
相容性方程给出：$\Delta^2\Phi = 0$（无体力情形）
14.4 四阶椭圆方程的一般理论
一般形式： $$\sum_{|\alpha| = |\beta| = 2} \partial^\alpha(a_{\alpha\beta}\partial^\beta u) = f$$
Gårding不等式：若算子一致强椭圆，则存在 $\lambda \geq 0, c > 0$： $$a(u,u) + \lambda\|u\|_{L^2}^2 \geq c\|u\|_{H^2}^2$$
14.5 高阶发展方程
14.5.1 Cahn-Hilliard方程
$$u_t + \Delta(\varepsilon^2\Delta u - f(u)) = 0$$
描述相分离过程，具有守恒律 $\int u dx = \text{const}$。
14.5.2 Kuramoto-Sivashinsky方程
$$u_t + uu_x + u_{xx} + u_{xxxx} = 0$$
描述火焰传播、流体不稳定性。
14.6 弹性力学方程组
Navier方程（位移形式）： $$-\mu\Delta\mathbf{u} - (\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) = \mathbf{f}$$
或分量形式： $$-\mu u_{i,jj} - (\lambda+\mu)u_{j,ji} = f_i$$
椭圆性：强椭圆系统，有唯一解。
14.7 习题
习题14.1：验证 $\Delta^2(|x|^2\ln|x|) = 0$（二维，$x \neq 0$）。
习题14.2：求圆板固支边在均布载荷下的挠度（双调和方程边值问题）。
习题14.3：证明双调和算子的Green第一恒等式。
习题14.4：对于 $-\Delta^2 u = f$，$u \in H_0^2(\Omega)$，用Lax-Milgram定理证明解的存在唯一性。
习题14.5：证明弹性力学Navier方程的椭圆性。
习题14.6：分析Cahn-Hilliard方程的质量守恒性质。