热传导方程是最典型的抛物型偏微分方程，描述热量传导、物质扩散等过程。与波动方程不同，热传导方程具有无限传播速度、解的平滑性、极值原理等独特性质。

考虑三维空间中的热传导问题。设：

• $u(x, y, z, t)$：温度分布
• $\mathbf{q}(x, y, z, t)$：热流密度向量（单位时间通过单位面积的热量）
• $k$：热传导系数
• $\rho$：密度
• $c$：比热容
• $f(x, y, z, t)$：热源强度

傅里叶定律：热流与温度梯度成正比，方向相反：

$$\mathbf{q} = -k \nabla u$$

考虑区域 $\Omega$ 内的能量变化：

能量增加率 = 净流入热量 + 热源产生的热量

$$\frac{d}{dt} \int_\Omega \rho c u \, dx = -\int_{\partial \Omega} \mathbf{q} \cdot \mathbf{n} \, dS + \int_\Omega f \, dx$$

利用散度定理： $$\int_\Omega \rho c \frac{\partial u}{\partial t} \, dx = \int_\Omega (k \Delta u + f) \, dx$$

由于 $\Omega$ 任意，得： $$\rho c \frac{\partial u}{\partial t} = k \Delta u + f$$

即： $$\frac{\partial u}{\partial t} = a^2 \Delta u + \frac{f}{\rho c}$$

其中 $a^2 = \frac{k}{\rho c}$ 称为温度传导系数或扩散系数。

标准热传导方程（无热源）： $$u_t = a^2 \Delta u$$

定义 4.1 热传导方程的基本解（或热核、格林函数）$K(x, t; \xi)$ 满足：

$$\begin{cases} K_t = a^2 K_{xx}, & x \in \mathbb{R}, t > 0
K(x, 0; \xi) = \delta(x - \xi) \end{cases}$$

其中 $\delta$ 是 Dirac delta 函数。

物理意义：初始时刻在原点放置单位热量，随后温度如何演化。

定理 4.1 一维热传导方程的基本解为：

$$K(x, t; \xi) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \exp\left(-\frac{(x - \xi)^2}{4a^2 t}\right), \quad t > 0$$

证明：设 $K(x, t)$ 具有自相似形式 $K(x, t) = \frac{1}{\sqrt{t}} f\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)$

令 $\eta = \frac{x}{\sqrt{t}}$，设 $K = t^{-\alpha} f(\eta)$，代入方程：

$$-\alpha t^{-\alpha-1} f - \frac{1}{2} t^{-\alpha-1} \eta f' = a^2 t^{-\alpha-1} f$$ 取 $\alpha = \frac{1}{2}$，得常微分方程： $$f + \frac{\eta}{2a^2} f' + \frac{1}{2a^2} f = 0$$

设 $f = e^{-\eta^2/4a^2} g(\eta)$，可解得： $$f(\eta) = C e^{-\eta^2/4a^2}$$

由 $\int_{-\infty}^{\infty} K(x, t) \, dx = 1$（单位热量），确定 $C = \frac{1}{2a\sqrt{\pi}}$。

性质 1：正性 $K(x, t; \xi) > 0$ 对所有 $x, t > 0$ 成立

性质 2：归一性 $\int_{-\infty}^{\infty} K(x, t; \xi) \, dx = 1$

性质 3：对称性 $K(x, t; \xi) = K(\xi, t; x)$

性质 4：半群性质 $K(x, t+s; \xi) = \int_{-\infty}^{\infty} K(x, t; y) K(y, s; \xi) \, dy$

性质 5：光滑性 对 $t > 0$，$K$ 关于 $x$ 是无穷次可微的

三维热核： $$K(x, y, z, t; \xi, \eta, \zeta) = \frac{1}{(4\pi a^2 t)^{3/2}} \exp\left(-\frac{(x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2}{4a^2 t}\right)$$

n维热核： $$K(\mathbf{x}, t; \boldsymbol{\xi}) = \frac{1}{(4\pi a^2 t)^{n/2}} \exp\left(-\frac{|\mathbf{x} - \boldsymbol{\xi}|^2}{4a^2 t}\right)$$

定理 4.2 一维热传导方程的 Cauchy 问题： $$\begin{cases} u_t = a^2 u_{xx}, & x \in \mathbb{R}, t > 0
u(x, 0) = \varphi(x) \end{cases}$$

的解为（Poisson公式）： $$u(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} K(x, t; \xi) \varphi(\xi) \, d\xi = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2 t}\right) \varphi(\xi) \, d\xi$$

验证满足方程：

由于 $K$ 满足 $K_t = a^2 K_{xx}$，且积分与微分可交换： $$u_t = \int K_t \varphi \, d\xi = \int a^2 K_{xx} \varphi \, d\xi = a^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \int K \varphi \, d\xi = a^2 u_{xx}$$

验证满足初值（形式验证）：

当 $t \to 0^+$ 时，$K(x, t; \xi) \to \delta(x - \xi)$，故： $$u(x, t) \to \int \delta(x - \xi) \varphi(\xi) \, d\xi = \varphi(x)$$

对于非齐次方程： $$\begin{cases} u_t = a^2 u_{xx} + f(x, t)
u(x, 0) = 0 \end{cases}$$

由 Duhamel 原理，解为： $$u(x, t) = \int_0^t \int_{-\infty}^{\infty} K(x, t-s; \xi) f(\xi, s) \, d\xi ds$$

定理 4.3 (弱最大值原理) 设 $u$ 在区域 $\Omega \times (0, T]$ 上满足 $u_t - a^2 \Delta u \leq 0$（即 $u$ 是热下解），则：

$$\max_{\overline{\Omega} \times [0, T]} u = \max_{\Gamma_T} u$$

其中 $\Gamma_T = (\Omega \times \{0\}) \cup (\partial \Omega \times [0, T])$ 称为抛物边界。

推论（强最大值原理）：若 $u$ 满足热传导方程且在内部达到最大值，则 $u$ 为常数。

引理：设 $u_t - a^2 u_{xx} < 0$，则 $u$ 不能在内部达到最大值。

证明：假设在 $(x_0, t_0)$ 处 $u$ 达到最大值，$0 < x_0 < L$，$0 < t_0 \leq T$，则：

• $u_t(x_0, t_0) \geq 0$（若 $t_0 < T$，则 $u_t = 0$；若 $t_0 = T$，则 $u_t \geq 0$）
• $u_{xx}(x_0, t_0) \leq 0$（极大值的二阶条件）

因此：$u_t - a^2 u_{xx} \geq 0$，与假设矛盾！

主定理证明：对 $v = u - \epsilon t$ 应用引理，再令 $\epsilon \to 0$。

• 热量从高温流向低温
• 内部温度不超过初始和边界的最高温度
• 体现了热传导的不可逆性

定理 4.4 (唯一性) 热传导方程的初边值问题的解是唯一的。

证明：设 $u_1, u_2$ 都是解，令 $w = u_1 - u_2$，则： $$\begin{cases} w_t = a^2 w_{xx}
w|_{t=0} = 0, \quad w|_{\partial \Omega} = 0 \end{cases}$$

由最大值原理：$\max w = \min w = 0$，故 $w \equiv 0$。

定理 4.5 (稳定性) 解连续依赖于初值和边值。

具体地，若 $|u_1 - u_2| \leq \epsilon$ 在抛物边界上成立，则 $|u_1 - u_2| \leq \epsilon$ 在整个区域上成立。

证明：直接应用最大值原理。

对于热传导方程，定义能量： $$E(t) = \frac{1}{2} \int_\Omega u^2(x, t) \, dx$$

（注意：这不是物理能量，而是 $L^2$ 范数）

定理 4.6 对于满足 Dirichlet 边界条件 $u|_{\partial \Omega} = 0$ 的解：

$$\frac{dE}{dt} \leq 0$$

即能量（$L^2$ 范数）随时间衰减。

证明： $$\frac{dE}{dt} = \int_\Omega u u_t \, dx = \int_\Omega u \cdot a^2 \Delta u \, dx$$

$$= a^2 \int_\Omega u \Delta u \, dx = a^2 \left[\int_{\partial \Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS - \int_\Omega |\nabla u|^2 \, dx\right]$$

$$= -a^2 \int_\Omega |\nabla u|^2 \, dx \leq 0$$

（边界项为零由 $u|_{\partial \Omega} = 0$）

设 $w$ 满足齐次方程和零边值、零初值，则： $$E(0) = 0, \quad \frac{dE}{dt} \leq 0 \Rightarrow E(t) \leq 0$$

又 $E(t) \geq 0$，故 $E(t) = 0$，即 $w \equiv 0$。

定理 4.7 对于 $[0, L]$ 上的热传导方程，Dirichlet 边界条件：

$$u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-\left(\frac{n\pi a}{L}\right)^2 t} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

当 $t \to \infty$ 时： $$|u(x, t)| \leq C e^{-\left(\frac{\pi a}{L}\right)^2 t} \to 0$$

即温度趋于零（环境温度）。

当 $t \to \infty$ 时，$u_t \to 0$，方程趋于： $$\Delta u = 0$$

即稳态温度分布满足拉普拉斯方程。

例 4.1 用分离变量法求解： $$\begin{cases} u_t = u_{xx}, & 0 < x < \pi, t > 0
u(0, t) = u(\pi, t) = 0
u(x, 0) = \sin x \end{cases}$$

解：设 $u(x, t) = X(x) T(t)$，得： $$X'' + \lambda X = 0, \quad T' + \lambda T = 0$$

边界条件 $X(0) = X(\pi) = 0$ 给出 $\lambda_n = n^2$，$X_n(x) = \sin(nx)$

时间部分：$T_n(t) = e^{-n^2 t}$

通解：$u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-n^2 t} \sin(nx)$

由初值：$u(x, 0) = \sum A_n \sin(nx) = \sin x$

故 $A_1 = 1$，$A_n = 0$（$n \geq 2$）

解为：$u(x, t) = e^{-t} \sin x$

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例 4.2 用 Poisson 公式求解： $$\begin{cases} u_t = u_{xx}, & x \in \mathbb{R}, t > 0
u(x, 0) = e^{-x^2} \end{cases}$$

解： $$u(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{(x-\xi)^2}{4t}\right) e^{-\xi^2} \, d\xi$$

配方： $$-\frac{(x-\xi)^2}{4t} - \xi^2 = -\frac{1}{4t}\left[(x-\xi)^2 + 4t\xi^2\right]$$ $$= -\frac{1}{4t}\left[x^2 - 2x\xi + \xi^2 + 4t\xi^2\right]$$ $$= -\frac{1}{4t}\left[x^2 - 2x\xi + (1+4t)\xi^2\right]$$

令 $\alpha = 1 + 4t$，配方： $$= -\frac{\alpha}{4t}\left[\xi^2 - \frac{2x}{\alpha}\xi + \frac{x^2}{\alpha^2}\right] - \frac{x^2}{4t}\left(1 - \frac{1}{\alpha}\right)$$ $$= -\frac{\alpha}{4t}\left(\xi - \frac{x}{\alpha}\right)^2 - \frac{x^2}{1+4t}$$

积分得： $$u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{1+4t}} \exp\left(-\frac{x^2}{1+4t}\right)$$

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例 4.3 证明热核满足半群性质。

证明：需证： $$K(x, t+s) = \int_{-\infty}^{\infty} K(x-y, t) K(y, s) \, dy$$

右边： $$\frac{1}{4\pi\sqrt{ts}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4t} - \frac{y^2}{4s}\right) \, dy$$

配方： $$\frac{(x-y)^2}{t} + \frac{y^2}{s} = \frac{s(x-y)^2 + ty^2}{ts}$$ $$= \frac{sx^2 - 2sxy + (s+t)y^2}{ts}$$

令 $\beta = s + t$，配方： $$= \frac{\beta}{ts}\left(y - \frac{sx}{\beta}\right)^2 + \frac{x^2}{\beta}$$

积分得： $$\frac{1}{4\pi\sqrt{ts}} \cdot \sqrt{\frac{4\pi ts}{\beta}} \exp\left(-\frac{x^2}{4\beta}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\pi\beta}} \exp\left(-\frac{x^2}{4\beta}\right) = K(x, t+s)$$

一、基本解与热核

1. 验证一维热核 $K(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} e^{-x^2/4t}$ 满足：

 (a) $K_t = K_{xx}$
 (b) $\int_{-\infty}^{\infty} K(x, t) \, dx = 1$
 (c) 当 $t \to 0^+$ 时，$K(x, t) \to \delta(x)$

2. 用 Poisson 公式求解：

 (a) $u_t = u_{xx}$，$u(x, 0) = \sin x$
 (b) $u_t = u_{xx}$，$u(x, 0) = \begin{cases} 1, & |x| < 1 \\ 0, & |x| > 1 \end{cases}$

二、最大值原理

3. 设 $u$ 满足 $u_t = u_{xx}$ 在 $[0, 1] \times [0, T]$ 上，且 $u(0, t) = u(1, t) = 0$，$u(x, 0) = \sin(\pi x)$。证明 $|u(x, t)| \leq 1$。

4. 利用最大值原理证明热传导方程 Cauchy 问题的唯一性。

三、分离变量法

5. 求解：

 $$\begin{cases}
 u_t = u_{xx}, & 0 < x < 1, t > 0 \\
 u_x(0, t) = u_x(1, t) = 0 \\
 u(x, 0) = x
 \end{cases}$$

6. 求解二维热传导方程在单位圆盘上的第一边值问题。

四、能量方法

7. 设 $u$ 满足 $u_t = \Delta u$ 在 $\Omega \times (0, T]$ 上，$u|_{\partial \Omega} = 0$。

 (a) 证明 $\frac{d}{dt} \int_\Omega u^2 \, dx \leq -2 \int_\Omega |\nabla u|^2 \, dx$
 (b) 利用 Poincaré 不等式证明指数衰减

8. 考虑 Robin 边界条件 $\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u = 0$（$\sigma > 0$）。证明能量衰减。

五、综合题

9. 反向热传导：讨论问题 $u_t + u_{xx} = 0$（$t > 0$）的不适定性。说明为什么测量温度历史是“不适定问题”。

10. 非线性扩散：考虑 $u_t = (u^m)_{xx}$（多孔介质方程，$m > 1$）。

  (a) 寻找自相似解 $u(x, t) = t^{-\alpha} f(x t^{-\beta})$
  (b) 讨论解的有限传播速度性质（与线性热传导对比）

• 热传导方程 $u_t = a^2 \Delta u$ 描述热量传导和扩散过程
• 热核 $K(x, t) = \frac{1}{(4\pi a^2 t)^{n/2}} \exp\left(-\frac{|x|^2}{4a^2 t}\right)$ 是基本解
• Poisson 公式给出 Cauchy 问题的显式解
• 最大值原理保证了唯一性和稳定性
• 解随时间趋于无穷而衰减（Dirichlet 情形）或趋于稳态

• John, F., “Partial Differential Equations”, Chapter 7.
• Evans, L.C., “Partial Differential Equations”, Chapter 2.