复变函数论是数学分析的重要分支，研究复数域上的函数理论。它以复数作为自变量，研究复值函数的解析性质、积分理论、级数展开、留数计算及其应用。

本课程是数学与应用数学专业的核心课程，也是物理学、工程学、信号处理等领域的重要数学工具。

通过本课程的学习，学生将能够：

• 掌握复数运算和复平面的几何性质
• 理解解析函数的概念及其基本性质
• 熟练运用复积分理论和Cauchy积分公式
• 掌握幂级数、Laurent级数的展开方法
• 运用留数定理计算实积分和复积分
• 理解保角映射的理论和应用
• 了解调和函数、整函数、亚纯函数等高级专题
• 初步了解Riemann曲面的基本概念

学习本课程需要具备以下基础：

• 数学分析（微积分）：极限、连续性、微分、积分
• 线性代数：向量空间、矩阵运算
• 实变函数（有助于理解，但非必需）

1. 第一章 复数与复平面
   • 复数的代数表示与运算
   • 复数的几何表示
   • 复平面的拓扑结构
   • 球极投影与扩充复平面

1. 第二章 复变函数
   • 复变函数的定义与表示
   • 极限与连续性
   • 可导性与解析性
   • Cauchy-Riemann条件

1. 第三章 初等解析函数
   • 指数函数与对数函数
   • 幂函数与根式函数
   • 三角函数与双曲函数
   • 反三角函数

1. 第四章 复变函数的积分
   • 复积分的定义与性质
   • 原函数与不定积分
   • Cauchy积分定理
   • Cauchy积分公式与高阶导数公式

1. 第五章 复数项级数
   • 复数序列与级数
   • 收敛性与绝对收敛
   • 一致收敛性
   • Weierstrass判别法

1. 第六章 幂级数
   • 幂级数的收敛半径
   • 收敛圆与收敛性质
   • 幂级数的解析性
   • Taylor展开定理

1. 第七章 Laurent级数
   • 双边幂级数与Laurent级数
   • Laurent展开定理
   • 孤立奇点的分类
   • 解析延拓初步

1. 第八章 留数
   • 留数的定义与计算
   • 留数定理
   • 利用留数计算实积分
   • 辐角原理的应用

1. 第九章 辐角原理与Rouché定理
   • 对数留数与辐角原理
   • Rouché定理
   • 零点与极点的分布
   • 代数基本定理的证明

1. 第十章 保角映射的基本概念
   • 解析函数的映射性质
   • 保角性的几何意义
   • 伸缩率与旋转角
   • 单叶解析函数

1. 第十一章 分式线性变换
   • 分式线性变换的定义
   • 分式线性变换的性质
   • 圆周与直线的像
   • 对称点的保持

1. 第十二章 初等函数的映射
   • 幂函数与根式函数的映射
   • 指数函数与对数函数的映射
   • Joukowsky变换
   • 共形映射的构造

1. 第十三章 保角映射的应用
   • 边值问题的转换
   • 静电学中的应用
   • 流体力学中的应用
   • 热传导问题

1. 第十四章 调和函数
   • 调和函数的定义与性质
   • 调和函数与解析函数的关系
   • 平均值性质
   • 极值原理

1. 第十五章 Dirichlet问题
   • Dirichlet问题的提法
   • 圆盘上的Dirichlet问题
   • Poisson积分公式
   • Schwarz积分公式

1. 第十六章 整函数
   • 无穷乘积
   • Weierstrass分解定理
   • 整函数的级与型
   • Hadamard分解定理

1. 第十七章 亚纯函数
   • 亚纯函数的定义
   • 部分分式展开
   • Mittag-Leffler定理
   • 椭圆函数简介

1. 第十八章 Riemann曲面简介
   • 多值函数与分支
   • Riemann曲面的概念
   • 代数函数与代数曲线
   • 亏格与Riemann-Roch定理简介

中文教材：

• 钟玉泉，《复变函数论》（第四版），高等教育出版社
• 余家荣，《复变函数》（第五版），高等教育出版社
• 龚昇，《简明复分析》，北京大学出版社

外文教材：

• L. V. Ahlfors, *Complex Analysis* (3rd ed.), McGraw-Hill
• J. B. Conway, *Functions of One Complex Variable*, Springer
• E. C. Titchmarsh, *The Theory of Functions*, Oxford University Press
• S. Lang, *Complex Analysis*, Springer

• 理论与实践结合：在理解定理证明的同时，多做习题巩固
• 几何直观：复变函数有很强的几何意义，建议画图辅助理解
• 联系实分析：对比复分析与实分析的异同，加深理解
• 应用导向：关注复变函数在物理、工程中的应用

欧拉公式： $$e^{iz} = \cos z + i\sin z$$

Cauchy积分公式： $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz$$

留数定理： $$\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)$$

Taylor展开： $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$$

Poisson积分公式： $$u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos(\theta-\phi)+r^2} u(Re^{i\phi}) d\phi$$

本课程内容由 OpenClaw 自动生成，仅供学习参考。

最后更新：2025年