复数的产生源于求解代数方程的需要。在实数范围内，方程 $x^2 + 1 = 0$ 无解。为了使得这类方程有解，数学家引入了虚数单位 $i$，满足 $i^2 = -1$。

定义 1.1.1（复数）：形如 $z = x + iy$ 的数称为复数，其中 $x, y \in \mathbb{R}$，$i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。

• $x$ 称为复数 $z$ 的实部，记为 $\text{Re}(z)$ 或 $\text{Re}\,z$
• $y$ 称为复数 $z$ 的虚部，记为 $\text{Im}(z)$ 或 $\text{Im}\,z$

当 $y = 0$ 时，$z = x$ 为实数；当 $x = 0$ 且 $y \neq 0$ 时，$z = iy$ 称为纯虚数。

复数全体构成的集合记为 $\mathbb{C}$，即： $$\mathbb{C} = \{x + iy : x, y \in \mathbb{R}, i^2 = -1\}$$

设 $z_1 = x_1 + iy_1$，$z_2 = x_2 + iy_2$，则：

加法： $$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)$$

减法： $$z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)$$

复数的加法满足：

• 交换律：$z_1 + z_2 = z_2 + z_1$
• 结合律：$(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$
• 零元：$z + 0 = z$，其中 $0 = 0 + i0$
• 负元：$z + (-z) = 0$，其中 $-z = -x - iy$

$$z_1 \cdot z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$$

复数乘法满足：

• 交换律：$z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$
• 结合律：$(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$
• 分配律：$z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$
• 单位元：$z \cdot 1 = z$，其中 $1 = 1 + i0$

例 1.2.1：计算 $(2 + 3i)(1 - 2i)$

解： $$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-2i)$$ $$= 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i + 6 = 8 - i$$

对于 $z_2 \neq 0$，定义： $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2} = \frac{(x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2)}{(x_2 + iy_2)(x_2 - iy_2)} = \frac{(x_1x_2 + y_1y_2) + i(x_2y_1 - x_1y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$$

例 1.2.2：计算 $\frac{1 + 2i}{3 - 4i}$

解： $$\frac{1 + 2i}{3 - 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)} = \frac{3 + 4i + 6i + 8i^2}{9 + 16} = \frac{-5 + 10i}{25} = -\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$$

定义 1.3.1（共轭复数）：设 $z = x + iy$，称 $\bar{z} = x - iy$ 为 $z$ 的共轭复数。

性质：

• $\overline{\bar{z}} = z$
• $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2$
• $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$
• $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2}$（$z_2 \neq 0$）
• $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$，$z - \bar{z} = 2i\text{Im}(z)$
• $z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2 = |z|^2$

定义 1.3.2（模）：设 $z = x + iy$，称 $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 为 $z$ 的模（或绝对值）。

性质：

• $|z| \geq 0$，且 $|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0$
• $|z| = |\bar{z}| = |-z|$
• $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
• $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$（$z_2 \neq 0$）
• 三角不等式：$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$
• 反向三角不等式：$||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 - z_2|$

定理 1.3.1（三角不等式的证明）：

$$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\bar{z}_1 + \bar{z}_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\bar{z}_2 + \bar{z}_1 z_2$$ $$= |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2)$$

由于 $\text{Re}(z_1\bar{z}_2) \leq |z_1\bar{z}_2| = |z_1||z_2|$，所以： $$|z_1 + z_2|^2 \leq |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| = (|z_1| + |z_2|)^2$$

两边开方即得 $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$。

例 1.3.1：证明 $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$（平行四边形法则）

证明： $$|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2)$$ $$|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2)$$

两式相加即得结论。

复数 $z = x + iy$ 可以用平面直角坐标系中的点 $(x, y)$ 表示。这样的平面称为复平面（或Argand平面、Gauss平面）：

• 横轴（$x$轴）称为实轴
• 纵轴（$y$轴）称为虚轴

复数 $z$ 也可以用从原点到点 $(x, y)$ 的向量表示。

设 $z = x + iy \neq 0$，则： $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$

其中：

• $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是模
• $\theta$ 称为 $z$ 的辐角，记为 $\text{Arg}\,z$

定义 1.4.1（辐角）：对于 $z \neq 0$，满足 $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ 的角 $\theta$ 称为 $z$ 的辐角。

辐角是多值的，相差 $2\pi$ 的整数倍。称区间 $(-\pi, \pi]$ 内的辐角值为主值，记为 $\arg z$。

$$\text{Arg}\,z = \arg z + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

例 1.4.1：求 $z = -1 + i\sqrt{3}$ 的模和主辐角

解： $$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$

$z$ 在第二象限，所以： $$\arg z = \pi - \arctan\sqrt{3} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

三角形式： $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$

指数形式（欧拉公式）： $$z = re^{i\theta}$$

其中欧拉公式为： $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

推论： $$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$

设 $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$，$z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$，则：

乘法： $$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

几何意义：模相乘，辐角相加。

除法： $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$

几何意义：模相除，辐角相减。

乘幂（de Moivre公式）： $$z^n = r^n e^{in\theta} = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$$

当 $|z| = 1$ 时： $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$

$n$次方根：设 $w^n = z = re^{i\theta}$，则： $$w_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$$

这 $n$ 个根在复平面上均匀分布在以原点为圆心、$\sqrt[n]{r}$ 为半径的圆周上。

例 1.4.2：求 $1$ 的三次方根

解：$1 = e^{i \cdot 0}$，所以： $$w_k = e^{i\frac{2k\pi}{3}}, \quad k = 0, 1, 2$$

即： $$w_0 = 1, \quad w_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad w_2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$$

设 $z_0 \in \mathbb{C}$，$r > 0$：

定义 1.5.1：

• $r$邻域：$N(z_0, r) = \{z : |z - z_0| < r\}$（开圆盘）
• 去心邻域：$N^\circ(z_0, r) = \{z : 0 < |z - z_0| < r\}$
• 闭圆盘：$\overline{N}(z_0, r) = \{z : |z - z_0| \leq r\}$

定义 1.5.2：

• 点集 $E$ 称为开集，如果对任意 $z \in E$，存在 $r > 0$ 使得 $N(z, r) \subset E$
• 点集 $E$ 称为闭集，如果其补集 $\mathbb{C} \setminus E$ 是开集

定义 1.5.3（聚点与闭包）：

• $z_0$ 称为 $E$ 的聚点（极限点），如果对任意 $r > 0$，$N^\circ(z_0, r) \cap E \neq \emptyset$
• $E$ 的闭包 $\bar{E} = E \cup E'$，其中 $E'$ 为 $E$ 的所有聚点组成的集合

定理 1.5.1：$E$ 是闭集当且仅当 $E = \bar{E}$（即 $E$ 包含其所有聚点）。

定义 1.5.4：

• 连通集：$E$ 称为连通的，如果不能分解为两个非空不交开集的并
• 区域：连通的开集称为区域（域）
• 闭区域：区域的闭包称为闭区域

定义 1.5.5（曲线连通）：

• $E$ 称为曲线连通的，如果对任意 $z_1, z_2 \in E$，存在连续曲线 $\gamma \subset E$ 连接 $z_1$ 和 $z_2$
• 在 $\mathbb{C}$ 中，开集连通等价于曲线连通

定义 1.5.6（单连通与多连通）：

• 单连通区域：区域内任意简单闭曲线可以在区域内连续收缩为一点
• 多连通区域：不是单连通的区域

直观地说，单连通区域没有“洞”，而多连通区域有“洞”。

例 1.5.1：

• $\{z : |z| < 1\}$ 是单连通区域
• $\{z : 1 < |z| < 2\}$ 是二连通区域（环形区域）
• $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ 是多连通区域

考虑三维空间中的单位球面： $$S^2 = \{(x, y, u) : x^2 + y^2 + u^2 = 1\}$$

设 $N = (0, 0, 1)$ 为球面的北极点。对于复平面上的点 $z = x + iy$，连接 $N$ 和 $(x, y, 0)$ 的直线与球面的另一交点记为 $(x', y', u')$，称为 $z$ 的球极投影。

球极投影公式：

设 $z = x + iy$，对应的球面点为 $(X, Y, Z)$，则： $$X = \frac{2x}{|z|^2 + 1}, \quad Y = \frac{2y}{|z|^2 + 1}, \quad Z = \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1}$$

逆变换： $$x = \frac{X}{1-Z}, \quad y = \frac{Y}{1-Z}$$

定义 1.6.1：在复平面上添加一个无穷远点 $\infty$，记： $$\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$$

称为扩充复平面（或Riemann球面）。

在球极投影下，北极 $N$ 对应于 $\infty$。

扩充复平面的性质：

• $|\infty| = +\infty$
• 对于 $a \in \mathbb{C}$：$a + \infty = \infty + a = \infty$，$\frac{a}{\infty} = 0$
• 对于 $a \neq 0$：$a \cdot \infty = \infty \cdot a = \infty$，$\frac{a}{0} = \infty$
• $\infty \pm \infty$，$0 \cdot \infty$，$\frac{\infty}{\infty}$，$\frac{0}{0}$ 无定义

定义 1.6.2：

• 无穷远点的邻域：$N(\infty, R) = \{z : |z| > R\} \cup \{\infty\}$
• 无穷远点的去心邻域：$N^\circ(\infty, R) = \{z : |z| > R\}$

定理 1.6.1：在扩充复平面上，$\hat{\mathbb{C}}$ 是紧集（有界闭集）。

定理 1.7.1：设 $|z| = r < 1$，则： $$\frac{1}{1+r} \leq \left|\frac{1}{1+z}\right| \leq \frac{1}{1-r}$$

证明：由三角不等式： $$1 - |z| \leq |1 + z| \leq 1 + |z|$$

取倒数即得结论。

定理 1.7.2：对于任意复数 $z_1, z_2, \ldots, z_n$： $$|z_1 + z_2 + \cdots + z_n| \leq |z_1| + |z_2| + \cdots + |z_n|$$

定理 1.7.3（Cauchy-Schwarz不等式）： $$\left|\sum_{k=1}^n z_k w_k\right|^2 \leq \left(\sum_{k=1}^n |z_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^n |w_k|^2\right)$$

例 1.8.1：设 $|z| = 1$，证明 $\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right| = 1$（其中 $|a| \neq 1$）

证明： $$\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2 = \frac{(z-a)(\bar{z}-\bar{a})}{(1-\bar{a}z)(1-a\bar{z})} = \frac{|z|^2 - z\bar{a} - a\bar{z} + |a|^2}{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + |a|^2|z|^2}$$

由于 $|z| = 1$，即 $|z|^2 = 1$： $$= \frac{1 - z\bar{a} - a\bar{z} + |a|^2}{1 - a\bar{z} - \bar{a}z + |a|^2} = 1$$

例 1.8.2：求满足 $|z - i| = |z + i|$ 的点集

解：设 $z = x + iy$，则： $$|z - i|^2 = x^2 + (y-1)^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$$ $$|z + i|^2 = x^2 + (y+1)^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1$$

两式相等： $$-2y = 2y \Rightarrow y = 0$$

所以点集为实轴。

几何意义：到点 $i$ 和 $-i$ 距离相等的点的轨迹是两点连线的垂直平分线，即实轴。

例 1.8.3：证明复平面上三点 $z_1, z_2, z_3$ 共线的充要条件是 $\frac{z_1 - z_2}{z_1 - z_3} \in \mathbb{R}$

证明：三点共线等价于向量 $z_1 - z_2$ 与 $z_1 - z_3$ 平行，即它们的辐角相等或相差 $\pi$，这等价于它们的比值是实数。

基础练习：

1. 计算：

 a) $(3 - 2i) + (5 + 4i)$
 b) $(2 + i)(3 - 2i)$
 c) $\frac{2 - i}{3 + 4i}$

2. 求下列复数的模和主辐角：

 a) $z = -3 + 4i$
 b) $z = 1 - i\sqrt{3}$
 c) $z = -2 - 2i$

3. 将下列复数化为指数形式：

 a) $z = 1 + i$
 b) $z = -\sqrt{3} + i$
 c) $z = -5$

4. 求 $-8i$ 的三次方根。

5. 证明：$|z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2\text{Re}(z_1\bar{z}_2)$

进阶练习：

6. 设 $|z| < 1$，证明 $\text{Re}\left(\frac{1}{1-z}\right) > \frac{1}{2}$

7. 求满足下列条件的点集，并说明其几何意义：

 a) $|z - 1| + |z + 1| = 4$
 b) $|z - 1| - |z + 1| = 1$
 c) $\text{Re}(z^2) = 1$

8. 证明：若 $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ 且 $z_1 + z_2 + z_3 = 0$，则 $z_1, z_2, z_3$ 是单位圆内接正三角形的顶点。

9. 设 $z_1, z_2, \ldots, z_n$ 是单位根 $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$（其中 $\omega = e^{2\pi i/n}$），证明：

 $$\sum_{k=0}^{n-1} z_k^m = \begin{cases} n, & n \mid m \\ 0, & n \nmid m \end{cases}$$

10. 证明 Lagrange 恒等式：

  $$\left|\sum_{k=1}^n z_k w_k\right|^2 = \left(\sum_{k=1}^n |z_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^n |w_k|^2\right) - \sum_{1 \leq j < k \leq n} |z_j\bar{w}_k - z_k\bar{w}_j|^2$$

思考题：

11. 研究映射 $w = z^2$ 下，下列曲线的像：

  a) 射线 $\arg z = \theta_0$
  b) 圆周 $|z| = r_0$
  c) 直线 $\text{Re}(z) = a$

12. 设 $z = e^{i\theta}$，利用 de Moivre 公式推导 $\cos n\theta$ 和 $\sin n\theta$ 关于 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的表达式（$n = 3, 4$）。

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