定义 2.1.1（复变函数）：设 $D$ 是复平面 $\mathbb{C}$ 上的一个点集，若对 $D$ 中每一个复数 $z$，按照某种对应法则 $f$，有唯一确定的复数 $w$ 与之对应，则称 $f$ 为 $D$ 上的复变函数，记为： $$w = f(z), \quad z \in D$$

其中：

• $D$ 称为函数 $f$ 的定义域
• $f(D) = \{f(z) : z \in D\}$ 称为函数 $f$ 的值域

定义 2.1.2：

• 若对每个 $z \in D$，$f(z)$ 的值唯一确定，称 $f$ 为单值函数
• 若对每个 $z \in D$，$f(z)$ 有多个值与之对应，称 $f$ 为多值函数

本章主要研究单值函数，多值函数将在后续章节讨论。

设 $z = x + iy$，$w = u + iv$，则复变函数 $w = f(z)$ 可以表示为： $$u + iv = f(x + iy)$$

即： $$u = u(x, y), \quad v = v(x, y)$$

其中 $u(x, y)$ 称为 $f(z)$ 的实部，$v(x, y)$ 称为 $f(z)$ 的虚部。

例 2.1.1：设 $f(z) = z^2$，求实部和虚部

解： $$f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$$

所以： $$u(x, y) = x^2 - y^2, \quad v(x, y) = 2xy$$

例 2.1.2：设 $f(z) = |z|^2$，分析其性质

解： $$f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2$$

所以 $u(x, y) = x^2 + y^2$，$v(x, y) = 0$。

定义 2.2.1（极限）：设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的去心邻域内有定义，若存在复数 $A$，使得对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时，有： $$|f(z) - A| < \varepsilon$$

则称 $A$ 为 $f(z)$ 当 $z \to z_0$ 时的极限，记为： $$\lim_{z \to z_0} f(z) = A \quad \text{或} \quad f(z) \to A \ (z \to z_0)$$

定理 2.2.1：设 $\lim_{z \to z_0} f(z) = A$，$\lim_{z \to z_0} g(z) = B$，则：

• 线性性：$\lim_{z \to z_0}[\alpha f(z) + \beta g(z)] = \alpha A + \beta B$（$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$）
• 乘法：$\lim_{z \to z_0}[f(z) \cdot g(z)] = A \cdot B$
• 除法：$\lim_{z \to z_0}\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{A}{B}$（$B \neq 0$）

定理 2.2.2：$\lim_{z \to z_0} f(z) = A = a + ib$ 的充要条件是： $$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x,y) = a, \quad \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x,y) = b$$

其中 $z_0 = x_0 + iy_0$，$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$。

证明：

必要性：设 $\lim_{z \to z_0} f(z) = A$，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时： $$|f(z) - A| < \varepsilon$$

由于 $|u(x,y) - a| \leq |f(z) - A|$ 且 $|v(x,y) - b| \leq |f(z) - A|$，所以： $$|u(x,y) - a| < \varepsilon, \quad |v(x,y) - b| < \varepsilon$$

充分性：设两个实极限成立，则对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$ 时： $$|u(x,y) - a| < \frac{\varepsilon}{2}, \quad |v(x,y) - b| < \frac{\varepsilon}{2}$$

于是： $$|f(z) - A| = \sqrt{(u-a)^2 + (v-b)^2} < \sqrt{\frac{\varepsilon^2}{4} + \frac{\varepsilon^2}{4}} = \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}} < \varepsilon$$

定理 2.2.3：$\lim_{z \to z_0} f(z)$ 存在当且仅当 $z$ 沿任意路径趋于 $z_0$ 时，$f(z)$ 的极限都存在且相等。

注意：这与实函数不同。在复平面上，$z \to z_0$ 可以从任意方向、沿任意曲线进行。

例 2.2.1：证明 $\lim_{z \to 0} \frac{\bar{z}}{z}$ 不存在

证明：设 $z = x + iy$，则： $$\frac{\bar{z}}{z} = \frac{x - iy}{x + iy}$$

• 沿实轴（$y = 0$）：$\frac{x}{x} = 1 \to 1$（当 $x \to 0$）
• 沿虚轴（$x = 0$）：$\frac{-iy}{iy} = -1 \to -1$（当 $y \to 0$）

沿不同路径极限不同，故极限不存在。

例 2.2.2：求 $\lim_{z \to i} \frac{z^2 + 1}{z - i}$

解： $$\frac{z^2 + 1}{z - i} = \frac{(z + i)(z - i)}{z - i} = z + i \to 2i \quad (z \to i)$$

定义 2.3.1（连续）：设 $f(z)$ 在 $z_0$ 的邻域内有定义，若： $$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$$

则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都连续，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内连续，记为 $f \in C(D)$。

定理 2.3.1：$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在 $z_0 = x_0 + iy_0$ 处连续的充要条件是 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 都在 $(x_0, y_0)$ 处连续。

定理 2.3.2：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续。

定理 2.3.3：连续函数的复合函数仍连续。

定理 2.3.4（有界性）：若 $f(z)$ 在有界闭集 $E$ 上连续，则 $f(z)$ 在 $E$ 上有界，即存在 $M > 0$ 使得 $|f(z)| \leq M$ 对所有 $z \in E$ 成立。

定理 2.3.5（最值性）：若 $f(z)$ 在有界闭集 $E$ 上连续，则 $|f(z)|$ 在 $E$ 上能取得最大值和最小值。

定理 2.3.6（一致连续性）：若 $f(z)$ 在有界闭集 $E$ 上连续，则 $f(z)$ 在 $E$ 上一致连续。

定义 2.4.1（导数）：设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的邻域内有定义，若极限： $$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$

存在，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导（或可微），该极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数，记为 $f'(z_0)$ 或 $\frac{df}{dz}(z_0)$。

等价地，令 $\Delta z = z - z_0$： $$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

定理 2.4.1：若 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。

证明： $$\lim_{z \to z_0} [f(z) - f(z_0)] = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \cdot (z - z_0) = f'(z_0) \cdot 0 = 0$$

定理 2.4.2（求导法则）：设 $f(z)$，$g(z)$ 在 $z$ 处可导，则：

• 线性性：$(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$（$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$）
• 乘法：$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$
• 除法：$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$（$g \neq 0$）
• 链式法则：$[f(g(z))]' = f'(g(z)) \cdot g'(z)$

定理 2.4.3：

• $(z^n)' = nz^{n-1}$（$n \in \mathbb{Z}$，$z \neq 0$ 当 $n < 0$）
• $©' = 0$（$c$ 为常数）

定理 2.4.4：$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在 $z = x + iy$ 处可导的充要条件是：

• $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处可微
• 满足 Cauchy-Riemann 条件（简称 C-R 条件）：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

当条件满足时： $$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}$$

证明：

设 $f(z)$ 在 $z$ 处可导，导数为 $f'(z) = a + ib$。由可导定义： $$f(z + \Delta z) - f(z) = f'(z)\Delta z + o(|\Delta z|)$$

即： $$\Delta u + i\Delta v = (a + ib)(\Delta x + i\Delta y) + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$ $$= (a\Delta x - b\Delta y) + i(b\Delta x + a\Delta y) + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$

比较实部、虚部： $$\Delta u = a\Delta x - b\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$ $$\Delta v = b\Delta x + a\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$

这说明 $u, v$ 可微，且： $$\frac{\partial u}{\partial x} = a, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -b, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = b, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = a$$

于是得到 C-R 条件。

反之，若 $u, v$ 可微且满足 C-R 条件，则： $$\Delta u = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y + o(|\Delta z|)$$ $$\Delta v = \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y + o(|\Delta z|)$$

由 C-R 条件： $$\Delta u + i\Delta v = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x - \frac{\partial v}{\partial x}\Delta y + i\left(\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial x}\Delta y\right) + o(|\Delta z|)$$ $$= \left(\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}\right)(\Delta x + i\Delta y) + o(|\Delta z|)$$

所以： $$\frac{\Delta f}{\Delta z} = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{o(|\Delta z|)}{\Delta z} \to \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$

即 $f(z)$ 可导。

定义 2.5.1（解析函数）：若函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析（或全纯、正则）。

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析（或全纯）。

注：

• “解析” 是区域性质，“可导” 是点性质
• 在区域 $D$ 内：解析 $\Leftrightarrow$ 处处可导
• 在一点处：解析要求在该点及其邻域内可导

定义 2.5.2（奇点）：若 $f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析，但在 $z_0$ 的任意去心邻域内有解析点，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点。

定理 2.5.1：$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件是：

• $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $D$ 内可微
• $u, v$ 在 $D$ 内满足 C-R 条件

推论：若 $u, v$ 的一阶偏导数在 $D$ 内连续且满足 C-R 条件，则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。

定理 2.5.2：解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍解析。

定理 2.5.3：解析函数的复合函数仍解析。

定理 2.5.4：多项式函数在整个复平面上解析。

定理 2.5.5：有理函数在分母不为零的点处解析。

例 2.6.1：讨论 $f(z) = |z|^2$ 的可导性和解析性

解：$f(z) = x^2 + y^2$，所以 $u = x^2 + y^2$，$v = 0$。

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$

C-R 条件： $$2x = 0, \quad 2y = 0$$

仅在 $z = 0$ 处满足。但 $f(z)$ 仅在一点可导，不满足邻域可导，故 $f(z)$ 在 $z = 0$ 处不解析，在整个复平面上不解析。

例 2.6.2：证明 $f(z) = e^x(\cos y + i\sin y)$ 在整个复平面上解析，并求 $f'(z)$

解：$u = e^x\cos y$，$v = e^x\sin y$

$$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y$$ $$\frac{\partial v}{\partial x} = e^x\sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x\cos y$$

C-R 条件： $$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

处处满足，且偏导数连续，故 $f(z)$ 处处解析。

$$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = e^x\cos y + ie^x\sin y = f(z)$$

这实际上是复指数函数 $e^z$。

例 2.6.3：确定函数 $f(z) = x^2 + axy + by^2 + i(cx^2 + dxy + y^2)$ 的解析性条件

解：C-R 条件： $$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + ay = \frac{\partial v}{\partial y} = dx + 2y$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = ax + 2by = -\frac{\partial v}{\partial x} = -2cx - dy$$

比较系数： $$a = 2, \quad d = 2, \quad a = -2c, \quad 2b = -d$$

解得：$a = 2, d = 2, c = -1, b = -1$

例 2.6.4：设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $|f(z)|$ 为常数，证明 $f(z)$ 为常数

证明：设 $|f(z)| = c$。若 $c = 0$，则 $f(z) = 0$。

若 $c \neq 0$，则 $f(z)\overline{f(z)} = c^2$，所以 $\overline{f(z)} = \frac{c^2}{f(z)}$。

由于 $f(z)$ 解析且不为零，$\overline{f(z)}$ 也解析。

设 $f = u + iv$，则 $\overline{f} = u - iv$ 解析，满足 C-R 条件： $$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$$

与 $f$ 的 C-R 条件联立： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial y} \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x} \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial x} = 0$$

同理 $u$ 的偏导数也为零，故 $f$ 为常数。

基础练习：

1. 将下列函数表示为 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 的形式：

 a) $f(z) = z^3$
 b) $f(z) = \frac{1}{z}$（$z \neq 0$）
 c) $f(z) = z + \frac{1}{z}$（$z \neq 0$）

2. 求下列极限：

 a) $\lim_{z \to 1} \frac{z^2 - 1}{z - 1}$
 b) $\lim_{z \to 0} \frac{\text{Re}(z)}{z}$
 c) $\lim_{z \to i} \frac{z^2 + 1}{|z|^2 + 1}$

3. 讨论下列函数的连续性：

 a) $f(z) = \begin{cases} \frac{z\text{Re}(z)}{|z|}, & z \neq 0 \\ 0, & z = 0 \end{cases}$
 b) $f(z) = \frac{z}{\bar{z}}$（$z \neq 0$）

4. 验证 C-R 条件，并求导数（若存在）：

 a) $f(z) = z^2 + z$
 b) $f(z) = x^2 - iy^2$
 c) $f(z) = 2x + 3iy$

进阶练习：

5. 设 $f(z) = u + iv$ 在区域 $D$ 内解析，证明：

 $$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)|f(z)|^2 = 4|f'(z)|^2$$

6. 证明：若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $\text{Re}(f(z))$ 为常数，则 $f(z)$ 为常数。

7. 设 $f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta)$，其中 $z = re^{i\theta}$，推导极坐标下的 C-R 条件：

 $$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$$

8. 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $f'(z) = 0$ 对所有 $z \in D$ 成立，证明 $f(z)$ 为常数。

9. 讨论 $f(z) = \sqrt{|xy|}$（$z = x + iy$）在 $z = 0$ 处的可导性。

10. 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $\overline{f(z)}$ 也在 $D$ 内解析，证明 $f(z)$ 为常数。

思考题：

11. 设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，证明 $f(z)$ 的实部 $u$ 和虚部 $v$ 都是调和函数，即满足 Laplace 方程：

  $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0, \quad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0$$

12. 设 $f(z)$ 在 $z = 0$ 处连续，且当 $z \to 0$ 时 $f(2z) - f(z) = O(z)$，证明 $f(z)$ 在 $z = 0$ 处可导。

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