定义 5.1 设 $\{f_k\}$ 是可测集 $E$ 上的可测函数列，$f$ 是 $E$ 上的可测函数。若 $$m\left(\{x \in E \mid f_k(x) \not\to f(x)\}\right) = 0$$ 则称 $\{f_k\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f$，记作 $f_k \to f$ a.e.。

定理 5.1 几乎处处收敛的极限在几乎处处意义下唯一。

即若 $f_k \to f$ a.e. 且 $f_k \to g$ a.e.，则 $f = g$ a.e.。

证明 设 $A = \{f_k \not\to f\}$，$B = \{f_k \not\to g\}$，$m(A) = m(B) = 0$。

在 $E \setminus (A \cup B)$ 上，$f_k \to f$ 且 $f_k \to g$，故 $f = g$。 而 $m(A \cup B) \leq m(A) + m(B) = 0$。 $\square$

定理 5.2 若 $f_k \to f$ a.e.，$g_k = f_k$ a.e.，$g = f$ a.e.，则 $g_k \to g$ a.e.。

几乎处处收敛要求函数列在除了零测集外的每点都收敛，这是一个很强的条件。在实际应用中，一个较弱的收敛概念——依测度收敛——往往更有用。

定义 5.2 设 $\{f_k\}$ 是可测集 $E$ 上的可测函数列，$f$ 是 $E$ 上的可测函数。若对任意 $\varepsilon > 0$： $$\lim_{k \to \infty} m\left(\{x \in E \mid |f_k(x) - f(x)| \geq \varepsilon\}\right) = 0$$ 则称 $\{f_k\}$ 在 $E$ 上依测度收敛于 $f$，记作 $f_k \xrightarrow{m} f$。

定理 5.3 依测度收敛的极限在几乎处处意义下唯一。

即若 $f_k \xrightarrow{m} f$ 且 $f_k \xrightarrow{m} g$，则 $f = g$ a.e.。

证明 对任意 $\varepsilon > 0$： $$\{|f - g| \geq \varepsilon\} \subset \{|f_k - f| \geq \varepsilon/2\} \cup \{|f_k - g| \geq \varepsilon/2\}$$

令 $k \to \infty$，得 $\{|f - g| \geq \varepsilon\}) = 0$。

故 $$\{f \neq g\}) = m\left(\bigcup_{n=1}^\infty \{|f - g| \geq 1/n\}\right) = 0$$ $\square$

定理 5.4 若 $f_k \xrightarrow{m} f$，$g_k \xrightarrow{m} g$，则：

(1) $f_k + g_k \xrightarrow{m} f + g$

(2) 对任意常数 $c$，$cf_k \xrightarrow{m} cf$

(3) 若 $m(E) < \infty$，则 $f_k g_k \xrightarrow{m} fg$

证明 (1) 由 $$\{|f_k + g_k - f - g| \geq \varepsilon\} \subset \{|f_k - f| \geq \varepsilon/2\} \cup \{|g_k - g| \geq \varepsilon/2\}$$ $\square$

定理 5.5 设 $m(E) < \infty$，$f_k \to f$ a.e.，则 $f_k \xrightarrow{m} f$。

证明 对任意 $\varepsilon > 0$，令 $$A_k(\varepsilon) = \bigcup_{n=k}^\infty \{x \in E \mid |f_n(x) - f(x)| \geq \varepsilon\}$$

则 $A_k(\varepsilon) \downarrow \bigcap_k A_k(\varepsilon) \subset \{f_k \not\to f\}$，故 $m\left(\bigcap_k A_k(\varepsilon)\right) = 0$。

由 $m(E) < \infty$，$m(A_k(\varepsilon)) \to 0$。

因 $\{|f_k - f| \geq \varepsilon\} \subset A_k(\varepsilon)$，得证。 $\square$

注意: 条件 $m(E) < \infty$ 不可去掉。

反例 在 $\mathbb{R}$ 上，设 $f_k = \chi_{[k, k+1]}$，则 $f_k \to 0$ 处处，但 $$\{|f_k| \geq 1/2\}) = 1 \not\to 0$$

例 5.1 在 $[0,1]$ 上构造移动鼓包：

将 $[0,1]$ 分为 $2^k$ 等份，令第 $k$ 组函数为 $$f_{k,j} = \chi_{[\frac{j-1}{2^k}, \frac{j}{2^k}]}, \quad j = 1, 2, \ldots, 2^k$$

按 $f_{1,1}, f_{1,2}, f_{2,1}, f_{2,2}, f_{2,3}, f_{2,4}, \ldots$ 排列为 $\{g_n\}$。

性质:

1. $g_n \xrightarrow{m} 0$（因 $\{g_n \geq \varepsilon\}) \leq 1/2^k \to 0$）
2. 但 $g_n$ 处处不收敛（对任意 $x$，$g_n(x)$ 无穷次取0和1）

定理 5.6 (Riesz) 若 $f_k \xrightarrow{m} f$，则存在子列 $\{f_{k_j}\}$ 使 $f_{k_j} \to f$ a.e.。

证明 对每个 $j$，取 $k_j$ 使 $$m\left(\{|f_{k_j} - f| \geq 1/j\}\right) < \frac{1}{2^j}$$

可要求 $k_j$ 严格递增。

令 $E_j = \{|f_{k_j} - f| \geq 1/j\}$，$A_n = \bigcup_{j=n}^\infty E_j$。

则 $m(A_n) \leq \sum_{j=n}^\infty 1/2^j = 1/2^{n-1} \to 0$。

对 $x \in E \setminus A_n$，当 $j \geq n$ 时 $|f_{k_j}(x) - f(x)| < 1/j$。

故在 $E \setminus \bigcap_n A_n$ 上，$f_{k_j} \to f$。 而 $m\left(\bigcap_n A_n\right) = 0$。 $\square$

定义 5.3 称 $\{f_k\}$ 为依测度Cauchy列，若对任意 $\varepsilon > 0$： $$\lim_{k,j \to \infty} m\left(\{|f_k - f_j| \geq \varepsilon\}\right) = 0$$

定理 5.7 $\{f_k\}$ 依测度收敛当且仅当它是依测度Cauchy列。

证明 必要性：若 $f_k \xrightarrow{m} f$，则 $$\{|f_k - f_j| \geq \varepsilon\} \subset \{|f_k - f| \geq \varepsilon/2\} \cup \{|f_j - f| \geq \varepsilon/2\}$$ $

充分性：由Cauchy条件，取子列 $\{f_{k_j}\}$ 使 $$m\left(\{|f_{k_{j+1}} - f_{k_j}| \geq 1/2^j\}\right) < 1/2^j$$

令 $g_j = f_{k_j}$，可证 $g_j$ 几乎处处收敛于某 $f$，从而依测度收敛于 $f$。 再由Cauchy条件，$f_k \xrightarrow{m} f$。 $\square$

定义 5.4 设 $1 \leq p < \infty$，若 $$\lim_{k \to \infty} \int_E |f_k - f|^p \, dx = 0$$ 称 $f_k$ $L^p$收敛于 $f$，记作 $f_k \xrightarrow{L^p} f$。

定理 5.8 $L^p$收敛蕴含依测度收敛。

证明 由 Chebyshev 不等式： $$\{|f_k - f| \geq \varepsilon\}) \leq \frac{1}{\varepsilon^p} \int_E |f_k - f|^p \to 0$$ $\square$

定义 5.5 设 $1 < p < \infty$，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。若对任意 $g \in L^q(E)$： $$\lim_{k \to \infty} \int_E f_k g \, dx = \int_E f g \, dx$$ 称 $f_k$ 弱收敛于 $f$，记作 $f_k \rightharpoonup f$。

总结各种收敛的关系（设 $m(E) < \infty$）：

$$ \begin{array}{ccccc} \text{一致收敛} & \Rightarrow & \text{几乎处处收敛} & &
\Downarrow & & \Downarrow & \searrow &
L^p \text{收敛} & \Rightarrow & \text{依测度收敛} & \Leftarrow & \text{几乎处处收敛}
\Downarrow & & & &
\text{弱收敛} & & & & \end{array} $$

注意:

1. $L^p$收敛与几乎处处收敛互不蕴含
2. 弱收敛与几乎处处收敛互不蕴含
3. 依测度收敛最弱，但蕴含子列几乎处处收敛

例 5.2 设 $f_k \xrightarrow{m} f$，$g$ 一致连续，证明 $g \circ f_k \xrightarrow{m} g \circ f$。

证明 对任意 $\varepsilon > 0$，由一致连续性，存在 $\delta > 0$ 使 $|x - y| < \delta \Rightarrow |g(x) - g(y)| < \varepsilon$。

故 $$\{|g \circ f_k - g \circ f| \geq \varepsilon\} \subset \{|f_k - f| \geq \delta\}$$

右边测度趋于0，得证。 $\square$

例 5.3 设 $f_k \xrightarrow{m} f$，$|f_k| \leq M$ a.e.，证明 $|f| \leq M$ a.e.。

证明 对任意 $\varepsilon > 0$： $$\{|f| > M + \varepsilon\} \subset \{|f_k - f| > \varepsilon\} \cup \{|f_k| > M\}$$

右边测度趋于0，故 $\{|f| > M + \varepsilon\}) = 0$。 令 $\varepsilon \to 0$，得 $\{|f| > M\}) = 0$。 $\square$

例 5.4 设 $m(E) < \infty$，$f_k \to f$ a.e.，$|f_k| \leq g$ a.e.，$g \in L^1(E)$。证明 $f_k \xrightarrow{m} f$。

证明 由控制收敛定理，$\int |f_k - f| \to 0$，故 $f_k \xrightarrow{L^1} f$，从而依测度收敛。 $\square$

习题 5.1 设 $f_k \xrightarrow{m} f$，$f_k \leq g$ a.e.，证明 $f \leq g$ a.e.。

习题 5.2 设 $m(E) < \infty$，$f_k \xrightarrow{m} f$，$g$ 可测。证明 $f_k g \xrightarrow{m} fg$ 是否成立？若 $g$ 有界呢？

习题 5.3 设 $\{f_k\}$ 是 $[0,1]$ 上的递增函数列，$f_k \xrightarrow{m} 0$，证明 $f_k \to 0$ a.e.。

习题 5.4 设 $f_k \xrightarrow{m} f$，$g_k \xrightarrow{m} g$。证明 $\max\{f_k, g_k\} \xrightarrow{m} \max\{f, g\}$。

习题 5.5 构造 $[0,1]$ 上的函数列 $f_k$ 满足：$f_k \xrightarrow{m} 0$ 但 $\int_0^1 f_k \not\to 0$。

习题 5.6 设 $m(E) < \infty$，$f_k \to f$ a.e.，$g$ 连续。证明 $g \circ f_k \to g \circ f$ a.e.。

习题 5.7 设 $\{f_k\}$ 依测度Cauchy，证明存在子列 $\{f_{k_j}\}$ 使 $$\sum_{j=1}^\infty m\left(\{|f_{k_{j+1}} - f_{k_j}| \geq 1/2^j\}\right) < \infty$$

习题 5.8 设 $f_k \xrightarrow{m} f$，$g_k \xrightarrow{m} g$，$m(E) < \infty$。证明 $f_k g_k \xrightarrow{m} fg$。

习题 5.9 设 $f_k \xrightarrow{m} f$，$\varphi$ 是Lipschitz函数。证明 $\varphi \circ f_k \xrightarrow{m} \varphi \circ f$。

习题 5.10 设 $m(E) < \infty$，$\{f_k\}$ 可测。证明 $f_k \to 0$ a.e. 当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$： $$m\left(\varlimsup_{k \to \infty} \{|f_k| \geq \varepsilon\}\right) = 0$$