本章介绍复变函数的导数概念，研究解析函数的性质，包括柯西-黎曼条件、调和函数以及初等复变函数。

定义 2.1（导数） 设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内有定义，若极限： $$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}$$

存在且有限，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导（或可微），该极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数。

等价地，令 $\Delta z = z - z_0$，则： $$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

定理 2.1 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。

证明：由可导的定义，存在有限极限 $f'(z_0)$，于是： $$\lim_{z \to z_0}[f(z) - f(z_0)] = \lim_{z \to z_0}\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \cdot (z - z_0) = f'(z_0) \cdot 0 = 0$$

即 $\lim_{z \to z_0}f(z) = f(z_0)$，故连续。

注意：连续不一定可导，这与实函数情况相同。复变函数中不可导的情况更加普遍。

例2.1 证明 $f(z) = \bar{z}$ 在复平面上处处连续但处处不可导。

证明：连续性显然。考虑导数： $$\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \frac{\overline{z + \Delta z} - \bar{z}}{\Delta z} = \frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$$

令 $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$：

• 当 $\Delta z$ 沿实轴趋于0（$\Delta y = 0$，$\Delta x \to 0$）：极限为 $1$
• 当 $\Delta z$ 沿虚轴趋于0（$\Delta x = 0$，$\Delta y \to 0$）：极限为 $-1$

由于沿不同路径极限不同，故极限不存在，$f(z) = \bar{z}$ 处处不可导。

复变函数的求导法则与实函数类似：

• $©' = 0$（$c$ 为常数）
• $(z^n)' = nz^{n-1}$（$n$ 为正整数）
• $(cf(z))' = cf'(z)$
• $(f \pm g)' = f' \pm g'$
• $(fg)' = f'g + fg'$
• $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$（$g \neq 0$）
• 链式法则：$\frac{d}{dz}f(g(z)) = f'(g(z)) \cdot g'(z)$

定义 2.2（解析函数） 若函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析（或全纯、正则）。

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。

定义 2.3（奇点） 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点。

重要区别：

• 可导：在某一点有导数
• 解析：在某点的邻域内处处可导

解析是比可导更强的条件。

定理 2.2

• 解析函数的和、差、积、商（分母不为零处）仍解析
• 解析函数的复合函数仍解析

定理 2.3（柯西-黎曼条件的必要性） 设 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在 $z = x + iy$ 处可导，则在该点必满足： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

这四个方程称为柯西-黎曼方程（简称C-R方程或C-R条件）。

证明：设 $f(z)$ 在 $z$ 处可导，则导数： $$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$$

应与 $\Delta z \to 0$ 的路径无关。

(1) 令 $\Delta z = \Delta x \to 0$（沿实轴）： $$f'(z) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{u(x+\Delta x, y) - u(x,y)}{\Delta x} + i\lim_{\Delta x \to 0}\frac{v(x+\Delta x, y) - v(x,y)}{\Delta x}$$ $$= \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$

(2) 令 $\Delta z = i\Delta y \to 0$（沿虚轴）： $$f'(z) = \lim_{\Delta y \to 0}\frac{u(x, y+\Delta y) - u(x,y)}{i\Delta y} + i\lim_{\Delta y \to 0}\frac{v(x, y+\Delta y) - v(x,y)}{i\Delta y}$$ $$= -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y}$$

比较两式，得C-R条件。

定理 2.4（C-R条件的充分性） 设 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，若 $u, v$ 的一阶偏导数在点 $(x, y)$ 处连续且满足C-R条件，则 $f(z)$ 在该点可导。

定理 2.5（解析的充要条件） $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件是：

• $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 在 $D$ 内具有一阶连续偏导数
• $u$ 和 $v$ 在 $D$ 内满足C-R条件

若 $z = re^{i\theta}$，$f(z) = u(r, \theta) + iv(r, \theta)$，则C-R条件为： $$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \quad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$$

若 $f(z)$ 可导，则： $$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}$$

例2.2 判断 $f(z) = e^x(\cos y + i\sin y)$ 是否解析，若解析求其导数。

解：$u = e^x\cos y$，$v = e^x\sin y$

计算偏导数： $$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y$$ $$\frac{\partial v}{\partial x} = e^x\sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x\cos y$$

验证C-R条件： $$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x\cos y = \frac{\partial v}{\partial y}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x\sin y = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

满足C-R条件，且偏导数连续，故 $f(z)$ 在全平面解析。

导数： $$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = e^x\cos y + ie^x\sin y = f(z)$$

这正是复指数函数 $e^z$。

定义 2.4（调和函数） 若二元实函数 $\varphi(x, y)$ 在区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且满足Laplace方程： $$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0$$

则称 $\varphi(x, y)$ 为 $D$ 内的调和函数。

算子 $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ 称为Laplace算子。

定理 2.6 设 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ 在区域 $D$ 内解析，则 $u$ 和 $v$ 都是 $D$ 内的调和函数。

证明：由C-R条件： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

对第一式关于 $x$ 求偏导，第二式关于 $y$ 求偏导： $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$$

相加： $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} - \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = 0$$

（假设混合偏导数连续，则二者相等）

同理可证 $v$ 也是调和函数。

定义 2.5（共轭调和函数） 设 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 都是区域 $D$ 内的调和函数，且满足C-R条件，则称 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数，$u$ 是 $v$ 的共轭调和函数。

注意：共轭调和函数的关系不是对称的。若 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数，则 $-u$ 是 $v$ 的共轭调和函数（而非 $u$ 是 $v$ 的共轭调和函数）。

已知 $u$ 求 $v$ 的方法：

由C-R条件： $$dv = \frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy = -\frac{\partial u}{\partial y}dx + \frac{\partial u}{\partial x}dy$$

这是全微分，可沿任意路径积分求得 $v$。

例2.3 已知 $u(x, y) = x^2 - y^2$，求其共轭调和函数 $v(x, y)$，并构造解析函数 $f(z) = u + iv$。

解：首先验证 $u$ 是调和函数： $$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y$$ $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 2, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -2$$

$\nabla^2 u = 2 - 2 = 0$，故 $u$ 调和。

由C-R条件： $$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \Rightarrow v = 2xy + g(x)$$

$$\frac{\partial v}{\partial x} = 2y + g'(x) = -\frac{\partial u}{\partial y} = 2y$$

所以 $g'(x) = 0$，$g(x) = C$（常数）。

取 $C = 0$，得 $v = 2xy$。

解析函数： $$f(z) = u + iv = x^2 - y^2 + 2ixy = (x + iy)^2 = z^2$$

定义 2.6（复指数函数） $$e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y)$$

性质：

• $|e^z| = e^x > 0$，故 $e^z \neq 0$
• $\arg(e^z) = y$
• $e^{z_1} \cdot e^{z_2} = e^{z_1+z_2}$
• $\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}} = e^{z_1-z_2}$
• $(e^z)^n = e^{nz}$（$n \in \mathbb{Z}$）
• $e^{z+2\pi i} = e^z$（周期性，周期为 $2\pi i$）
• $\frac{d}{dz}e^z = e^z$

注意：$e^z$ 是周期函数，这与实指数函数不同！

定义 2.7（复对数函数） 满足 $e^w = z$（$z \neq 0$）的 $w$ 称为 $z$ 的对数，记作 $w = \text{Ln } z$。

设 $z = re^{i\theta}$，$w = u + iv$，则： $$e^{u+iv} = e^u \cdot e^{iv} = re^{i\theta}$$

得：$e^u = r$，即 $u = \ln r = \ln|z|$，$v = \theta + 2k\pi = \text{Arg } z$（$k \in \mathbb{Z}$）。

所以： $$\text{Ln } z = \ln|z| + i\text{Arg } z = \ln|z| + i(\arg z + 2k\pi)$$

主值： $$\ln z = \ln|z| + i\arg z \quad (-\pi < \arg z \leq \pi)$$

性质：

• 多值函数，有无穷多个分支
• $\text{Ln}(z_1 z_2) = \text{Ln } z_1 + \text{Ln } z_2$（集合意义下）
• $\text{Ln}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \text{Ln } z_1 - \text{Ln } z_2$
• $\frac{d}{dz}\ln z = \frac{1}{z}$（在单值分支内）

定义 2.8（复幂函数） $$z^a = e^{a \cdot \text{Ln } z} = e^{a(\ln|z| + i\arg z + 2k\pi i)}$$

其中 $a$ 为复常数，$z \neq 0$。

特殊情形：

• $a = n \in \mathbb{Z}$：单值函数
• $a = \frac{1}{n}$：$n$ 个值（$n$ 次方根）
• $a$ 为无理数或虚数：无穷多值

例：$i^i = e^{i\text{Ln } i} = e^{i \cdot i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}$

主值为 $e^{-\pi/2}$（实数！）。

定义 2.9（复三角函数） $$\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}, \quad \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$$

性质：

• 周期性：周期为 $2\pi$
• 奇偶性：$\sin(-z) = -\sin z$，$\cos(-z) = \cos z$
• 恒等式：$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$ 仍成立
• 加法公式成立
• 无界性：$|\sin z|$ 和 $|\cos z|$ 可以任意大

例如：$\cos(iy) = \frac{e^{-y} + e^{y}}{2} = \cosh y \to \infty$（当 $y \to \infty$）

其他三角函数： $$\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}, \quad \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}$$

定义 2.10（复双曲函数） $$\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}, \quad \cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}$$

与三角函数的关系： $$\sinh(iz) = i\sin z, \quad \cosh(iz) = \cos z$$ $$\sin(iz) = i\sinh z, \quad \cos(iz) = \cosh z$$

反三角函数： $$\text{Arcsin } z = -i\text{Ln}(iz + \sqrt{1-z^2})$$ $$\text{Arccos } z = -i\text{Ln}(z + \sqrt{z^2-1})$$ $$\text{Arctan } z = \frac{i}{2}\text{Ln}\frac{i+z}{i-z}$$

例2.4 证明若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析且 $|f(z)|$ 为常数，则 $f(z)$ 为常数。

证明：设 $|f(z)|^2 = u^2 + v^2 = C$（常数）。

若 $C = 0$，则 $f(z) = 0$。

若 $C \neq 0$，对 $x$ 和 $y$ 求偏导： $$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad u\frac{\partial u}{\partial y} + v\frac{\partial v}{\partial y} = 0$$

利用C-R条件 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$，$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x}$： $$u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial x} = 0$$ $$-u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$

这是关于 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial x}$ 的齐次线性方程组，系数行列式为： $$\begin{vmatrix} u & v
v & -u \end{vmatrix} = -u^2 - v^2 = -C \neq 0$$

故有唯一零解：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial x} = 0$。

由C-R条件，$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} = 0$。

所以 $u, v$ 均为常数，$f(z)$ 为常数。

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例2.5 研究 $f(z) = \sqrt{|\text{Im}(z^2)|}$ 在 $z = 0$ 处的可导性。

解：设 $z = x + iy$，则 $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$，$\text{Im}(z^2) = 2xy$。

$$f(z) = \sqrt{|2xy|}$$

在 $z = 0$（即 $x = y = 0$）处： $$\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(0,0)} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{0} - 0}{x} = 0$$

同理 $\frac{\partial f}{\partial y}|_{(0,0)} = 0$。

C-R条件在形式上满足（都是0）。

但考察： $$\lim_{z \to 0}\frac{f(z) - f(0)}{z} = \lim_{z \to 0}\frac{\sqrt{|2xy|}}{x+iy}$$

沿 $y = x$ 路径： $$= \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{2x^2}}{x(1+i)} = \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{2}|x|}{x(1+i)}$$

此极限不存在（左右极限符号不同），故 $f(z)$ 在 $z = 0$ 不可导。

一、基础练习

1. 用导数定义求 $f(z) = z^2$ 的导数。

2. 判断下列函数在何处可导、何处解析：

 (a) $f(z) = x^2 + iy^2$
 (b) $f(z) = 2xy + i(x^2 - y^2)$
 (c) $f(z) = |z|^2$

3. 验证 $u(x, y) = e^x\cos y$ 是调和函数，并求其共轭调和函数。

4. 证明 $f(z) = \sqrt{|xy|}$ 在 $z = 0$ 处满足C-R条件但不可导。

二、思考题

5. 若 $f(z)$ 解析，证明 $\overline{f(\bar{z})}$ 也解析。

6. 设 $f(z) = u + iv$ 解析，且 $u^2 + v^2$ 为常数，证明 $f(z)$ 为常数。

7. 证明：若 $f(z)$ 在上半平面解析，则 $\overline{f(\bar{z})}$ 在下半平面解析。

8. 求所有的整函数（在全平面解析的函数）$f(z)$，使得 $|f(z)| \leq M|z|^n$ 对某个 $n \geq 0$ 成立。

三、计算题

9. 计算：

 (a) $\text{Ln}(1+i)$
 (b) $(-1)^{\sqrt{2}}$
 (c) $\cos(1+i)$

10. 确定下列多值函数的单值分支：

  (a) $\sqrt{z(z-1)}$ 在 $|z| > 1$
  (b) $\text{Ln}\frac{z-1}{z+1}$ 在沿 $[-1, 1]$ 割开的平面

• 复变函数可导要求比实函数更严格（路径无关）
• 解析函数在其定义域内无限次可导（后续证明）
• C-R条件是解析的充要条件
• 解析函数的实部和虚部是共轭调和函数
• 初等复变函数推广了实函数，但具有新的性质（如周期性、多值性）

下章预告：第三章将介绍复变函数的积分理论，这是复变函数最核心的内容之一。