格林函数（Green's function）是求解线性微分方程边值问题的重要工具。它将微分方程的解表示为积分形式，把微分运算转化为积分运算。格林函数方法在数学物理、量子力学、电磁学等领域有广泛应用。

考虑线性微分算子 $L$ 作用于函数 $u$ 的方程： $$Lu(x) = f(x) \quad (13.1)$$

定义 13.1 算子 $L$ 在给定边界条件下的格林函数 $G(x, \xi)$ 满足： $$LG(x, \xi) = \delta(x - \xi) \quad (13.2)$$

其中 $\delta(x - \xi)$ 是Dirac delta函数，满足： $$\delta(x - \xi) = \begin{cases} 0, & x \neq \xi
\infty, & x = \xi \end{cases}, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x - \xi) dx = 1 \quad (13.3)$$

定理 13.1 如果 $G(x, \xi)$ 是格林函数，则方程 $(13.1)$ 的解可表示为： $$u(x) = \int G(x, \xi) f(\xi) d\xi \quad (13.4)$$

证明： $$Lu(x) = L\int G(x, \xi) f(\xi) d\xi = \int LG(x, \xi) f(\xi) d\xi = \int \delta(x - \xi) f(\xi) d\xi = f(x)$$

考虑Sturm-Liouville问题： $$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y = -f(x) \quad (13.5)$$ $$\alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0, \quad \beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0 \quad (13.6)$$

定理 13.2 设 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 分别是齐次方程满足左、右边界条件的解，且它们在 $[a, b]$ 上线性无关（即朗斯基行列式 $W \neq 0$）。则格林函数为： $$G(x, \xi) = \begin{cases} \frac{y_1(x)y_2(\xi)}{p(\xi)W(\xi)}, & a \leq x \leq \xi
\frac{y_1(\xi)y_2(x)}{p(\xi)W(\xi)}, & \xi \leq x \leq b \end{cases} \quad (13.7)$$

其中 $W(\xi) = y_1(\xi)y_2'(\xi) - y_1'(\xi)y_2(\xi)$ 是朗斯基行列式。

性质 1：对称性 $$G(x, \xi) = G(\xi, x) \quad (13.8)$$ （对于自伴算子）

性质 2：连续性 $G(x, \xi)$ 在 $x = \xi$ 处连续。

性质 3：导数跃变 $$\left.\frac{\partial G}{\partial x}\right|_{x=\xi^+} - \left.\frac{\partial G}{\partial x}\right|_{x=\xi^-} = \frac{1}{p(\xi)} \quad (13.9)$$

例 13.1 求边值问题 $y = -f(x)$，$y(0) = y(1) = 0$ 的格林函数。 解： 齐次方程 $y = 0$ 的通解为 $y = c_1 + c_2 x$。

满足 $y(0) = 0$ 的解：$y_1(x) = x$

满足 $y(1) = 0$ 的解：$y_2(x) = 1 - x$

朗斯基行列式： $$W = \begin{vmatrix} x & 1-x
1 & -1 \end{vmatrix} = -x - (1-x) = -1$$

$p(x) = 1$，所以： $$G(x, \xi) = \begin{cases} x(1-\xi), & 0 \leq x \leq \xi
\xi(1-x), & \xi \leq x \leq 1 \end{cases}$$

例 13.2 求 $y + k^2 y = -f(x)$，$y(0) = y(L) = 0$ 的格林函数（$k \neq \frac{n\pi}{L}$）。 解： 齐次解：$y = c_1 \cos kx + c_2 \sin kx$ $y_1(x)$ 满足 $y(0) = 0$：$y_1(x) = \sin kx$ $y_2(x)$ 满足 $y(L) = 0$：$y_2(x) = \sin k(L-x)$ 朗斯基行列式： $$W = \begin{vmatrix} \sin kx & \sin k(L-x)
k\cos kx & -k\cos k(L-x) \end{vmatrix} = -k\sin kx \cos k(L-x) - k\cos kx \sin k(L-x)$$ $$= -k\sin(kx + k(L-x)) = -k\sin kL$$ 格林函数： $$G(x, \xi) = \begin{cases} \frac{\sin kx \cdot \sin k(L-\xi)}{k\sin kL}, & x \leq \xi
\frac{\sin k\xi \cdot \sin k(L-x)}{k\sin kL}, & x \geq \xi \end{cases}$$ ===== 13.4 偏微分方程的格林函数 ===== ==== 13.4.1 拉普拉斯方程的格林函数 ==== 三维拉普拉斯算子：$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ 定义 13.2 三维自由空间格林函数满足： $$\nabla^2 G(\vec{r}, \vec{r}') = -\delta(\vec{r} - \vec{r}') \quad (13.10)$$ 定理 13.3 三维自由空间格林函数为： $$G(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{1}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.11)$$ 证明概要： 在球坐标系中，当 $\vec{r} \neq \vec{r}'$ 时，$\nabla^2 G = 0$，解为 $G = \frac{A}{|\vec{r} - \vec{r}'|}$。由积分 $\int \nabla^2 G dV = -1$ 确定 $A = \frac{1}{4\pi}$。 ==== 13.4.2 亥姆霍兹方程的格林函数 ==== $$\nabla^2 G + k^2 G = -\delta(\vec{r} - \vec{r}') \quad (13.12)$$ 出射波格林函数： $$G^{(+)}(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r}'|}}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.13)$$ 入射波格林函数： $$G^{(-)}(\vec{r}, \vec{r}') = \frac{e^{-ik|\vec{r} - \vec{r}'|}}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.14)$$ ==== 13.4.3 波动方程的格林函数 ==== 三维波动方程： $$\nabla^2 u - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = -f(\vec{r}, t) \quad (13.15)$$ 推迟格林函数： $$G_R(\vec{r}, t; \vec{r}', t') = \frac{\delta(t - t' - \frac{|\vec{r} - \vec{r}'|}{c})}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.16)$$ 超前格林函数： $$G_A(\vec{r}, t; \vec{r}', t') = \frac{\delta(t - t' + \frac{|\vec{r} - \vec{r}'|}{c})}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|} \quad (13.17)$$ ==== 13.4.4 二维格林函数 ==== 二维拉普拉斯方程： $$\nabla^2 G = -\delta(\vec{\rho} - \vec{\rho}') \quad (13.18)$$ 格林函数： $$G(\vec{\rho}, \vec{\rho}') = -\frac{1}{2\pi}\ln|\vec{\rho} - \vec{\rho}'| \quad (13.19)$$ ===== 13.5 格林函数的应用 ===== ==== 13.5.1 静电学 ==== 电势满足泊松方程： $$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad (13.20)$$ 解： $$\phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} d^3r' \quad (13.21)$$ ==== 13.5.2 量子力学散射 ==== 定态薛定谔方程： $$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r})\right)\psi = E\psi \quad (13.22)$$ 改写为： $$\left(\nabla^2 + k^2\right)\psi = U(\vec{r})\psi \quad (13.23)$$ 其中 $k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$，$U = \frac{2mV}{\hbar^2}$。 利用格林函数，得到Lippmann-Schwinger方程： $$\psi(\vec{r}) = \phi(\vec{r}) + \int G^{(+)}(\vec{r}, \vec{r}')U(\vec{r}')\psi(\vec{r}')d^3r' \quad (13.24)$$ ===== 13.6 本征函数展开法 ===== 定理 13.4 如果 $\{\phi_n(x)\}$ 是算子 $L$ 的正交归一本征函数系，对应本征值 $\lambda_n$，则格林函数可展开为： $$G(x, \xi) = \sum_n \frac{\phi_n(x)\phi_n(\xi)}{\lambda_n} \quad (13.25)$$ 例 13.3 用本征函数展开法求 $y = -f(x)$，$y(0) = y(\pi) = 0$ 的格林函数。

解： 本征值问题 $-y = \lambda y$，$y(0) = y(\pi) = 0$ 本征值：$\lambda_n = n^2$，$n = 1, 2, 3, \ldots$ 本征函数：$\phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\sin nx$ 格林函数： $$G(x, \xi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\sin nx \sin n\xi}{\pi n^2}$$ ===== 13.7 习题 ===== 习题 13.1 求边值问题 $y - y = -f(x)$，$y(0) = y'(0)$，$y(1) + y'(1) = 0$ 的格林函数。

习题 13.2 证明格林函数的对称性 $G(x, \xi) = G(\xi, x)$。

习题 13.3 验证例13.1中的格林函数满足导数跃变条件。

习题 13.4 用格林函数求解 $y'' = -1$，$y(0) = y(1) = 0$。

习题 13.5 证明二维拉普拉斯方程格林函数 $G = -\frac{1}{2\pi}\ln\rho$ 满足 $\nabla^2 G = -\delta(\vec{\rho})$。

习题 13.6 用本征函数展开法求圆域内拉普拉斯方程的格林函数。

习题 13.7 推导热传导方程的格林函数。

1. 格林函数定义：$LG = \delta(x - \xi)$

2. ODE格林函数：用齐次解构造，在 $x = \xi$ 处连续，导数有跃变

3. PDE格林函数：

1. 三维拉普拉斯：$G = \frac{1}{4\pi|\vec{r} - \vec{r}'|}$
2. 二维拉普拉斯：$G = -\frac{1}{2\pi}\ln|\vec{\rho} - \vec{\rho}'|$
3. 亥姆霍兹方程：$G = \frac{e^{ikR}}{4\pi R}$

4. 应用：将微分方程转化为积分方程，简化求解

1. Stakgold, I. Green's Functions and Boundary Value Problems. 2. Barton, G. Elements of Green's Functions and Propagation. 3. Jackson, J.D. Classical Electrodynamics (Chapter on Green's functions).

编辑次数：1 创建日期：2025-01-15 最后修改：2025-01-15