分离变量法（Method of Separation of Variables）是求解线性偏微分方程定解问题最基本、最重要的方法。其基本思想是将多元函数表示为单变量函数的乘积，从而将偏微分方程转化为常微分方程求解。

设解可以表示为各变量函数的乘积形式： $$u(x, y, z, t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t) \quad (15.1)$$

代入偏微分方程后，通过适当变形使方程两边只依赖于不同变量，从而等于常数（分离常数）。

步骤 1：设分离变量形式的解

步骤 2：代入方程，分离变量，得到常微分方程组

步骤 3：结合边界条件求解本征值问题

步骤 4：叠加所有本征解，利用初始条件确定系数

考虑两端固定的弦的自由振动： $$u_{tt} = a^2 u_{xx}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0 \quad (15.2)$$ $$u(0,t) = u(L,t) = 0 \quad (15.3)$$ $$u(x,0) = \varphi(x), \quad u_t(x,0) = \psi(x) \quad (15.4)$$

设 $u(x,t) = X(x)T(t)$，代入方程： $$X(x)T(t) = a^2 X(x)T(t)$$

$$\frac{T}{a^2 T} = \frac{X}{X} = -\lambda \quad (15.5)$$

得到两个常微分方程： $$X + \lambda X = 0 \quad (15.6)$$ $$T + a^2\lambda T = 0 \quad (15.7)$$

边界条件 $u(0,t) = u(L,t) = 0$ 转化为： $$X(0) = 0, \quad X(L) = 0 \quad (15.8)$$

情况分析：

1. $\lambda < 0$：只有零解（舍去） 2. $\lambda = 0$：只有零解（舍去） 3. $\lambda > 0$：设 $\lambda = k^2$

$$X(x) = A\cos kx + B\sin kx$$

由 $X(0) = 0$：$A = 0$

由 $X(L) = 0$：$B\sin kL = 0$

非零解要求 $\sin kL = 0$，即 $kL = n\pi$，$n = 1, 2, 3, \ldots$

本征值： $$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \quad (15.9)$$

本征函数： $$X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{L} \quad (15.10)$$

$$T_n + \left(\frac{na\pi}{L}\right)^2 T_n = 0$$ 解为： $$T_n(t) = C_n\cos\frac{na\pi t}{L} + D_n\sin\frac{na\pi t}{L} \quad (15.11)$$ ==== 15.3.5 叠加与系数确定 ==== 一般解： $$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(A_n\cos\frac{na\pi t}{L} + B_n\sin\frac{na\pi t}{L}\right)\sin\frac{n\pi x}{L} \quad (15.12)$$ 由初始条件： $$u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n\sin\frac{n\pi x}{L} = \varphi(x) \quad (15.13)$$ $$u_t(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n\frac{na\pi}{L}\sin\frac{n\pi x}{L} = \psi(x) \quad (15.14)$$ 利用正交性： $$A_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \quad (15.15)$$ $$B_n = \frac{2}{na\pi}\int_0^L \psi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \quad (15.16)$$ ===== 15.4 热传导问题 ===== ==== 15.4.1 一维热传导 ==== $$u_t = a^2 u_{xx}, \quad 0 < x < L, \quad t > 0 \quad (15.17)$$ $$u(0,t) = u(L,t) = 0 \quad (15.18)$$ $$u(x,0) = \varphi(x) \quad (15.19)$$ 设 $u(x,t) = X(x)T(t)$： $$\frac{T'}{a^2 T} = \frac{X}{X} = -\lambda \quad (15.20)$$$ $$X + \lambda X = 0, \quad X(0) = X(L) = 0 \quad (15.21)$$ 本征值和本征函数与弦振动相同： $$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \quad X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{L} \quad (15.22)$$ 时间部分： $$T_n' + \left(\frac{na\pi}{L}\right)^2 T_n = 0 \Rightarrow T_n(t) = C_n e^{-\left(\frac{na\pi}{L}\right)^2 t} \quad (15.23)$$ 解： $$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-\left(\frac{na\pi}{L}\right)^2 t}\sin\frac{n\pi x}{L} \quad (15.24)$$ $$A_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx \quad (15.25)$$ ==== 15.4.2 二维热传导 ==== $$u_t = a^2(u_{xx} + u_{yy}) \quad (15.26)$$ 设 $u(x,y,t) = X(x)Y(y)T(t)$，逐步分离变量。 ===== 15.5 极坐标分离变量 ===== ==== 15.5.1 拉普拉斯方程 ==== 二维极坐标： $$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0 \quad (15.27)$$ 设 $u(r,\theta) = R®\Theta(\theta)$： $$\frac{r}{R}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right) = -\frac{1}{\Theta}\frac{d^2\Theta}{d\theta^2} = \lambda \quad (15.28)$$ 角度部分： $$\Theta + \lambda\Theta = 0 \quad (15.29)$$

周期性边界条件 $\Theta(\theta + 2\pi) = \Theta(\theta)$ 要求 $\lambda = n^2$，$n = 0, 1, 2, \ldots$

$$\Theta_n(\theta) = \begin{cases} A_0, & n = 0
A_n\cos n\theta + B_n\sin n\theta, & n \geq 1 \end{cases} \quad (15.30)$$

径向部分： $$r^2 R + r R' - n^2 R = 0 \quad (15.31)$$ 这是Euler方程，解为： $$R_n® = \begin{cases} C_0 + D_0\ln r, & n = 0
C_n r^n + D_n r^{-n}, & n \geq 1 \end{cases} \quad (15.32)$$ ==== 15.5.2 圆域内的拉普拉斯问题 ==== 若要求解在圆内有限（$r = 0$ 处），则 $D_n = 0$： $$u(r,\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r^n(a_n\cos n\theta + b_n\sin n\theta) \quad (15.33)$$ ===== 15.6 柱坐标分离变量 ===== 柱坐标 $(\rho, \varphi, z)$： $$\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial u}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \quad (15.34)$$ 设 $u = R(\rho)\Phi(\varphi)Z(z)$： $$\frac{1}{R}\left(R + \frac{1}{\rho}R'\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\Phi}{\Phi} + \frac{Z}{Z} = 0 \quad (15.35)$$

分离得到： $$Z + \mu Z = 0 \quad (15.36)$$ $$\Phi + m^2\Phi = 0 \quad (15.37)$$ $$\rho^2 R + \rho R' + (\mu\rho^2 - m^2)R = 0 \quad (15.38)$$ 方程 $(15.38)$ 是Bessel方程，解为Bessel函数。 ===== 15.7 球坐标分离变量 ===== 球坐标 $(r, \theta, \varphi)$： $$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2} = 0 \quad (15.39)$$ 设 $u = R®\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$，分离后得到： $$\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) - l(l+1)R = 0 \quad (15.40)$$ $$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta = 0 \quad (15.41)$$ $$\Phi + m^2\Phi = 0 \quad (15.42)$$

方程 $(15.41)$ 是连带Legendre方程，$(15.40)$ 的解为 $r^l$ 和 $r^{-l-1}$。

习题 15.1 用分离变量法求解：$u_{tt} = u_{xx}$，$u(0,t) = u(1,t) = 0$，$u(x,0) = \sin\pi x$，$u_t(x,0) = 0$。

习题 15.2 求解热传导问题：$u_t = u_{xx}$，$u_x(0,t) = u_x(\pi,t) = 0$，$u(x,0) = x$。

习题 15.3 求解圆环上的拉普拉斯方程，边界条件为 $u(a,\theta) = f(\theta)$。

习题 15.4 证明柱坐标分离变量后得到的径向方程是Bessel方程。

习题 15.5 求解矩形膜振动问题：$u_{tt} = u_{xx} + u_{yy}$，$0 < x < a$，$0 < y < b$，四边固定。

习题 15.6 用分离变量法求解球内拉普拉斯方程。

习题 15.7 讨论非齐次边界条件的处理方法。

1. 基本思想：$u = X(x)Y(y)\cdots$，将PDE化为ODE

2. 弦振动：本征函数 $\sin\frac{n\pi x}{L}$，驻波解

3. 热传导：指数衰减模态，本征函数与波动相同

4. 极坐标：角度部分为三角函数，径向部分为幂函数

5. 柱坐标：径向部分为Bessel函数

6. 球坐标：角度部分为球谐函数，径向部分为幂函数

1. Haberman, R. Applied Partial Differential Equations. 2. 谷超豪, 李大潜, 陈恕行. 数学物理方程. 3. Zauderer, E. Partial Differential Equations of Applied Mathematics.

编辑次数：1 创建日期：2025-01-15 最后修改：2025-01-15