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第十四章 数学物理方程
14.1 引言
数学物理方程（Mathematical Physics Equations）是描述物理现象中各种场和振动过程的偏微分方程。本章介绍三类典型的二阶线性偏微分方程：波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程，它们是数学物理方法的核心内容。
14.2 数学物理方程的导出
14.2.1 波动方程
弦振动问题
考虑一根均匀柔软的细弦，长度为 $L$，线密度为 $\rho$，张力为 $T$。设弦的横向位移为 $u(x, t)$。
取微元 $[x, x+dx]$，分析受力： - 垂直方向合力：$T\sin\theta_2 - T\sin\theta_1 \approx T(u_x|_{x+dx} - u_x|_x) = T u_{xx} dx$ - 根据牛顿第二定律：$\rho dx \cdot u_{tt} = T u_{xx} dx$
得到一维波动方程： $$u_{tt} = a^2 u_{xx} \quad (14.1)$$
其中 $a = \sqrt{T/\rho}$ 为波速。
高维波动方程
三维情况： $$u_{tt} = a^2 \nabla^2 u = a^2(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz}) \quad (14.2)$$
14.2.2 热传导方程
考虑三维空间中的热传导问题。设温度场为 $u(\vec{r}, t)$，热流密度 $\vec{q}$ 满足傅里叶定律： $$\vec{q} = -k \nabla u \quad (14.3)$$
其中 $k$ 为热导率。
取体积元 $dV$，根据能量守恒： $$\rho c \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla u) + F(\vec{r}, t) \quad (14.4)$$
其中 $F$ 为热源项。若 $k$ 为常数，得到热传导方程： $$u_t = a^2 \nabla^2 u + f \quad (14.5)$$
其中 $a^2 = \frac{k}{\rho c}$ 为热扩散系数。
无热源情况： $$u_t = a^2 \nabla^2 u \quad (14.6)$$
14.2.3 拉普拉斯方程和泊松方程
稳态热传导
当温度场不随时间变化时，$u_t = 0$，得到拉普拉斯方程： $$\nabla^2 u = 0 \quad (14.7)$$
有热源时得到泊松方程： $$\nabla^2 u = -f \quad (14.8)$$
静电学
电势 $\phi$ 满足泊松方程： $$\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad (14.9)$$
无电荷区域满足拉普拉斯方程： $$\nabla^2 \phi = 0 \quad (14.10)$$
14.3 方程的分类
14.3.1 一般二阶线性PDE
二元二阶线性偏微分方程的一般形式： $$Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G \quad (14.11)$$
判别式：$\Delta = B^2 - AC$
14.3.2 分类标准
| 判别式 | 类型 | 标准形式 | 典型例子 |
| ——– | —— | ———- | ———- |
| $\Delta < 0$ | 椭圆型 | $u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} + \cdots = 0$ | 拉普拉斯方程 |
| $\Delta = 0$ | 抛物型 | $u_{\xi\xi} + \cdots = 0$ | 热传导方程 |
| $\Delta > 0$ | 双曲型 | $u_{\xi\eta} + \cdots = 0$ | 波动方程 |
例 14.1 判断方程 $u_{xx} + 4u_{xy} + 3u_{yy} = 0$ 的类型。
解：$A = 1$，$B = 2$，$C = 3$
$\Delta = 4 - 3 = 1 > 0$，故为双曲型。
14.4 定解条件
14.4.1 初始条件
波动方程（二阶时间导数）： $$u|_{t=0} = \varphi(x), \quad u_t|_{t=0} = \psi(x) \quad (14.12)$$
热传导方程（一阶时间导数）： $$u|_{t=0} = \varphi(x) \quad (14.13)$$
14.4.2 边界条件
第一类边界条件（Dirichlet条件）： $$u|_{\partial\Omega} = f \quad (14.14)$$
第二类边界条件（Neumann条件）： $$\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{\partial\Omega} = f \quad (14.15)$$
第三类边界条件（Robin条件）： $$\left(\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u\right)|_{\partial\Omega} = f \quad (14.16)$$
14.5 叠加原理
定理 14.1（叠加原理）如果 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 是线性齐次方程 $Lu = 0$ 的解，则它们的线性组合 $u = \sum_{i=1}^n c_i u_i$ 也是解。
定理 14.2 如果 $u_0$ 是非齐次方程 $Lu = f$ 的特解，$u_h$ 是对应齐次方程的解，则 $u = u_0 + u_h$ 是非齐次方程的通解。
14.6 方程的基本性质
14.6.1 波动方程的性质
有限传播速度：扰动以速度 $a$ 传播。
惠更斯原理：三维波动方程中，点源的波前是球面。
例 14.2 一维波动方程的达朗贝尔解 $$u(x,t) = \frac{\varphi(x+at) + \varphi(x-at)}{2} + \frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)d\xi \quad (14.17)$$
14.6.2 热传导方程的性质
无穷传播速度：扰动瞬时传播到整个空间。
光滑化效应：即使初始条件不光滑，解在 $t > 0$ 时也是光滑的。
极值原理：解的最大值和最小值在边界或初始时刻达到。
14.6.3 拉普拉斯方程的性质
极值原理：调和函数在区域内部不能取得最大（小）值，除非为常数。
平均值性质：调和函数在球心的值等于球面上的平均值。
唯一性：Dirichlet问题的解是唯一的。
14.7 习题
习题 14.1 推导均匀薄膜的横向振动方程（二维波动方程）。
习题 14.2 判断下列方程的类型： (a) $u_{xx} - 2u_{xy} + u_{yy} = 0$ (b) $u_{xx} + u_{xy} + u_{yy} = 0$ © $4u_{xx} + 12u_{xy} + 9u_{yy} = 0$
习题 14.3 证明拉普拉斯方程的平均值性质。
习题 14.4 推导极坐标下拉普拉斯方程的形式： $$\nabla^2 u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$$
习题 14.5 验证达朗贝尔公式 $(14.17)$ 满足波动方程和初始条件。
习题 14.6 写出圆柱坐标系和球坐标系下拉普拉斯方程的形式。
习题 14.7 证明热传导方程的极值原理。
14.8 本章小结
1. 波动方程：$u_{tt} = a^2 \nabla^2 u$，描述振动和波的传播，双曲型
2. 热传导方程：$u_t = a^2 \nabla^2 u$，描述热扩散，抛物型
3. 拉普拉斯方程：$\nabla^2 u = 0$，描述稳态场，椭圆型
4. 定解条件：初始条件 + 边界条件构成适定问题
5. 分类：通过判别式 $B^2 - AC$ 判断方程类型
参考文献
1. Courant, R. & Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics. 2. Evans, L.C. Partial Differential Equations. 3. 姜礼尚, 陈亚浙. 数学物理方程讲义.
章节信息
编辑次数：1 创建日期：2025-01-15 最后修改：2025-01-15