本章研究复变函数的级数展开，包括幂级数、泰勒级数和洛朗级数，这是表示和研究解析函数的重要工具。

定义 4.1（复数项级数） 设 $\{z_n\}$ 为复数序列，称形式表达式： $$\sum_{n=1}^{\infty}z_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n + \cdots$$

为复数项级数。称 $S_n = z_1 + z_2 + \cdots + z_n$ 为级数的部分和。

若极限 $\lim_{n \to \infty}S_n = S$ 存在，则称级数收敛，$S$ 称为级数的和。

设 $z_n = x_n + iy_n$，$S = X + iY$，则： $$\sum_{n=1}^{\infty}z_n = S \iff \sum_{n=1}^{\infty}x_n = X \text{ 且 } \sum_{n=1}^{\infty}y_n = Y$$

定理 4.1（Cauchy收敛准则） 级数 $\sum z_n$ 收敛的充要条件是：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，对任意正整数 $p$： $$|z_{n+1} + z_{n+2} + \cdots + z_{n+p}| < \varepsilon$$

定义 4.2（绝对收敛） 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^{\infty}z_n$ 绝对收敛。

定理 4.2 绝对收敛的级数必收敛。

定理 4.3（比较判别法） 若 $|z_n| \leq a_n$ 且 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum z_n$ 绝对收敛。

定义 4.3（函数项级数） 设 $\{f_n(z)\}$ 为区域 $D$ 上的复变函数序列，称： $$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)$$

为 $D$ 上的复变函数项级数。

若对某点 $z_0 \in D$，数项级数 $\sum f_n(z_0)$ 收敛，则称级数在 $z_0$ 处收敛。

定义 4.4（一致收敛） 设级数 $\sum f_n(z)$ 在集合 $E$ 上收敛于 $S(z)$。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$（与 $z$ 无关），当 $n > N$ 时： $$|S_n(z) - S(z)| < \varepsilon, \quad \forall z \in E$$

则称级数在 $E$ 上一致收敛于 $S(z)$。

定理 4.4（Weierstrass M-判别法） 若在 $E$ 上 $|f_n(z)| \leq M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum f_n(z)$ 在 $E$ 上绝对且一致收敛。

定理 4.5（一致收敛级数的性质） 设 $\sum f_n(z)$ 在区域 $D$ 内一致收敛于 $S(z)$，且每个 $f_n(z)$ 连续（解析），则：

• $S(z)$ 在 $D$ 内连续（解析）
• 可逐项积分：$\int_C S(z)dz = \sum_{n=1}^{\infty}\int_C f_n(z)dz$
• 若一致收敛于解析函数，可逐项求导：$S'(z) = \sum_{n=1}^{\infty}f_n'(z)$

定义 4.5（幂级数） 形如： $$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = a_0 + a_1(z-z_0) + a_2(z-z_0)^2 + \cdots$$

的级数称为幂级数，其中 $a_n$ 为复系数，$z_0$ 称为展开中心。

定理 4.6（Abel定理） 若幂级数在 $z = z_1$ 处收敛，则对任意 $|z - z_0| < |z_1 - z_0|$，级数绝对收敛；若在 $z = z_1$ 处发散，则对任意 $|z - z_0| > |z_1 - z_0|$，级数发散。

由Abel定理，幂级数的收敛域是以 $z_0$ 为中心的圆盘（可能包含边界）。

定义 4.6（收敛半径） 存在 $R \geq 0$（可以为 $+\infty$），使得：

• 当 $|z - z_0| < R$ 时，级数收敛
• 当 $|z - z_0| > R$ 时，级数发散

称 $R$ 为幂级数的收敛半径，$|z - z_0| = R$ 为收敛圆。

收敛半径的求法：

定理 4.7 $$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}}$$

或若极限存在： $$R = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$

例4.1 求下列幂级数的收敛半径： (a) $\sum_{n=0}^{\infty}z^n$；(b) $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$；© $\sum_{n=0}^{\infty}n!z^n$

解：

(a) $a_n = 1$，$R = \lim|\frac{1}{1}| = 1$

(b) $a_n = \frac{1}{n!}$，$R = \lim\frac{(n+1)!}{n!} = \lim(n+1) = +\infty$

© $a_n = n!$，$R = \lim\frac{n!}{(n+1)!} = \lim\frac{1}{n+1} = 0$

定理 4.8 设幂级数 $\sum a_n(z-z_0)^n$ 的收敛半径为 $R > 0$，则：

• 和函数 $S(z)$ 在 $|z - z_0| < R$ 内解析
• 可逐项求导任意次：$S^{(k)}(z) = \sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(z-z_0)^{n-k}$
• 可逐项积分：$\int_{z_0}^{z}S(\zeta)d\zeta = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(z-z_0)^{n+1}$
• 导数和积分后的级数收敛半径仍为 $R$

定理 4.9（泰勒定理） 设 $f(z)$ 在圆盘 $|z - z_0| < R$ 内解析，则 $f(z)$ 可唯一展开为幂级数： $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z - z_0)^n$$

其中系数： $$a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}}d\zeta$$

$C$ 为 $|z - z_0| = r$（$0 < r < R$）。

证明：对 $|z - z_0| < |\zeta - z_0| = r$： $$\frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{\zeta - z_0 - (z - z_0)} = \frac{1}{\zeta - z_0} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z-z_0}{\zeta-z_0}}$$

$$= \frac{1}{\zeta - z_0}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-z_0)^n}{(\zeta-z_0)^{n+1}}$$

代入柯西积分公式： $$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d\zeta = \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}d\zeta\right](z-z_0)^n$$

由高阶导数公式，即得 $a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$。

在 $z_0 = 0$ 处（Maclaurin级数）：

$$e^z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots, \quad |z| < \infty$$

$$\sin z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots, \quad |z| < \infty$$

$$\cos z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots, \quad |z| < \infty$$

$$\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty}z^n = 1 + z + z^2 + \cdots, \quad |z| < 1$$

$$\frac{1}{1+z} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^n, \quad |z| < 1$$

$$\ln(1+z) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}z^n}{n} = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \cdots, \quad |z| < 1$$

$$(1+z)^\alpha = 1 + \alpha z + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}z^2 + \cdots, \quad |z| < 1$$

定理 4.10 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析，则其泰勒展开式唯一。

推论：可用间接法（如已知展开式、逐项微分/积分等）求泰勒展开，不必每次都计算系数。

例4.2 求 $\frac{1}{(1-z)^2}$ 在 $z = 0$ 处的泰勒展开。

解：由 $\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty}z^n$，逐项求导： $$\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1-z}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)z^n, \quad |z| < 1$$

泰勒级数适用于解析点，对于奇点附近需要更一般的展开。

定义 4.7（洛朗级数） 形如： $$\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z - z_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{-n}}{(z-z_0)^n}$$

的双边幂级数称为洛朗级数。

收敛域：设正幂部分收敛半径为 $R_2$，负幂部分（令 $w = \frac{1}{z-z_0}$）收敛半径为 $\frac{1}{R_1}$，则洛朗级数在圆环 $R_1 < |z - z_0| < R_2$ 内收敛。

定理 4.11（洛朗定理） 设 $f(z)$ 在圆环域 $R_1 < |z - z_0| < R_2$ 内解析，则 $f(z)$ 可唯一展开为洛朗级数： $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z - z_0)^n$$

其中系数： $$a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}}d\zeta, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

$C$ 为圆环内任意简单闭曲线，绕 $z_0$ 一周。

• 直接法：计算系数（通常较繁琐）
• 间接法：利用已知展开式、代数运算、逐项微分/积分等

例4.3 将 $f(z) = \frac{1}{z(z-1)}$ 在下列圆环内展开为洛朗级数： (a) $0 < |z| < 1$；(b) $1 < |z| < \infty$；© $0 < |z-1| < 1$

解：

(a) 在 $0 < |z| < 1$： $$f(z) = -\frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}z^n = -\sum_{n=0}^{\infty}z^{n-1} = -\frac{1}{z} - 1 - z - z^2 - \cdots$$

(b) 在 $1 < |z| < \infty$： $$f(z) = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{z}} = \frac{1}{z^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^n} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^{n+2}} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z^3} + \frac{1}{z^4} + \cdots$$

© 在 $0 < |z-1| < 1$，令 $\zeta = z-1$： $$f(z) = \frac{1}{(1+\zeta)\zeta} = \frac{1}{\zeta} \cdot \frac{1}{1+\zeta} = \frac{1}{\zeta}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\zeta^n$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\zeta^{n-1} = \frac{1}{z-1} - 1 + (z-1) - (z-1)^2 + \cdots$$

定义 4.8（孤立奇点） 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，但在 $z_0$ 的某去心邻域 $0 < |z - z_0| < \delta$ 内解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点。

根据洛朗展开中负幂项的情况，孤立奇点分为三类：

设 $f(z)$ 在 $0 < |z - z_0| < R$ 内的洛朗展开为： $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z - z_0)^n$$

定义 4.9（可去奇点） 若洛朗展开中没有负幂项（即对所有 $n < 0$，$a_n = 0$），则称 $z_0$ 为可去奇点。

此时： $$f(z) = a_0 + a_1(z-z_0) + a_2(z-z_0)^2 + \cdots$$

判别法：$z_0$ 是可去奇点 $\iff \lim_{z \to z_0}f(z)$ 存在且有限。

可定义 $f(z_0) = \lim_{z \to z_0}f(z)$ 使 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析。

例：$f(z) = \frac{\sin z}{z}$ 在 $z = 0$ 有可去奇点，$\lim_{z \to 0}\frac{\sin z}{z} = 1$。

定义 4.10（极点） 若洛朗展开中只有有限个负幂项，即存在正整数 $m$ 使得 $a_{-m} \neq 0$ 而对所有 $n > m$，$a_{-n} = 0$，则称 $z_0$ 为$m$阶极点。

此时： $$f(z) = \frac{a_{-m}}{(z-z_0)^m} + \cdots + \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + \cdots$$

可写成： $$f(z) = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$$

其中 $g(z)$ 在 $z_0$ 解析且 $g(z_0) = a_{-m} \neq 0$。

判别法：$z_0$ 是 $m$ 阶极点 $\iff \lim_{z \to z_0}(z-z_0)^m f(z)$ 存在且非零。

例：$f(z) = \frac{1}{z^2(z-1)}$ 在 $z = 0$ 有二阶极点，在 $z = 1$ 有一阶极点。

定义 4.11（本性奇点） 若洛朗展开中有无穷多个负幂项，则称 $z_0$ 为本性奇点。

判别法：$z_0$ 是本性奇点 $\iff \lim_{z \to z_0}f(z)$ 不存在（既不是有限值，也不是无穷大）。

定理 4.12（Weierstrass定理） 若 $z_0$ 是 $f(z)$ 的本性奇点，则对任意复数 $A$（可能除去一个例外值），存在序列 $z_n \to z_0$ 使得 $f(z_n) \to A$。

例：$f(z) = e^{1/z}$ 在 $z = 0$ 有本性奇点。

• 沿正实轴：$z = x \to 0^+$，$e^{1/x} \to +\infty$
• 沿负实轴：$z = x \to 0^-$，$e^{1/x} \to 0$

令 $z = \frac{1}{\zeta}$，研究 $f\left(\frac{1}{\zeta}\right)$ 在 $\zeta = 0$ 处的奇点类型。

例4.4 求 $f(z) = \frac{z^2 - 2z + 5}{(z-2)(z^2+1)}$ 在 $1 < |z| < 2$ 内的洛朗展开。

解：先分解部分分式： $$f(z) = \frac{A}{z-2} + \frac{Bz+C}{z^2+1}$$

解得 $A = 1$，$B = 0$，$C = -1$： $$f(z) = \frac{1}{z-2} - \frac{1}{z^2+1}$$

在 $1 < |z| < 2$： $$\frac{1}{z-2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}} = -\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^n$$

$$\frac{1}{z^2+1} = \frac{1}{z^2} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z^2}} = \frac{1}{z^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z^{2n}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z^{2n+2}}$$

因此： $$f(z) = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{2^{n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z^{2n+2}}$$

—

例4.5 判定 $f(z) = \frac{\sin z}{z^3}$ 在 $z = 0$ 的奇点类型。

解： $$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots$$

$$f(z) = \frac{1}{z^3}\left(z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \cdots\right) = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{6} + \frac{z^2}{120} - \cdots$$

最高负幂为 $z^{-2}$，故 $z = 0$ 是二阶极点。

一、基础练习

1. 求下列幂级数的收敛半径：

 (a) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}z^n$
 (b) $\sum_{n=0}^{\infty}(1+i)^nz^n$
 (c) $\sum_{n=0}^{\infty}z^{n!}$

2. 将下列函数在指定点展开为泰勒级数：

 (a) $\frac{1}{z+2}$ 在 $z = 1$
 (b) $\cos^2 z$ 在 $z = 0$
 (c) $\int_0^z e^{\zeta^2}d\zeta$ 在 $z = 0$

3. 将 $f(z) = \frac{1}{z^2-3z+2}$ 在下列区域展开为洛朗级数：

 (a) $|z| < 1$；(b) $1 < |z| < 2$；(c) $|z| > 2$

4. 判定下列函数的孤立奇点类型：

 (a) $\frac{z}{\sin z}$
 (b) $\frac{1-\cos z}{z^2}$
 (c) $e^{\frac{1}{z-1}}$
 (d) $\frac{1}{\sin\frac{1}{z}}$

二、思考题

5. 证明：若幂级数 $\sum a_nz^n$ 的收敛半径为 $R$，则 $\sum n a_n z^n$ 的收敛半径也为 $R$。

6. 设 $f(z)$ 在 $|z| < R$ 内解析，$M® = \max_{|z|=r}|f(z)|$，证明： $$|a_n| \leq \frac{M®}{r^n}, \quad 0 < r < R$$

7. 讨论 $f(z) = \sin\frac{1}{z}$ 在 $z = 0$ 的奇点类型。

三、计算题

8. 求 $f(z) = \frac{1}{(z^2+1)^2}$ 在 $z = i$ 的去心邻域内的洛朗展开。

9. 设 $f(z)$ 在 $0 < |z - z_0| < R$ 内解析且不恒为零，$z_0$ 是 $f(z)$ 的零点（即 $\lim_{z \to z_0}f(z) = 0$），证明存在正整数 $m$ 使得 $f(z) = (z-z_0)^m g(z)$，其中 $g(z_0) \neq 0$。称 $m$ 为零点的阶。

• 幂级数在收敛圆内表示解析函数
• 泰勒级数是解析函数在圆盘内的幂级数展开
• 洛朗级数是双边幂级数，在圆环内收敛
• 孤立奇点分为可去奇点、极点和本性奇点三类
• 洛朗展开是研究奇点性质的主要工具

下章预告：第五章将利用洛朗级数引入留数概念，建立留数定理，用于计算各类积分。