在实际问题中，常常需要同时考虑多个相互关联的未知函数，这就导致了微分方程组的研究。线性微分方程组是微分方程理论中最重要的部分之一，它不仅在数学理论上完善，在控制理论、电路分析、生态系统等领域也有广泛应用。

一阶线性微分方程组的标准形式为： <math>\begin{cases} x_1' = a_{11}(t)x_1 + a_{12}(t)x_2 + \cdots + a_{1n}(t)x_n + f_1(t)
x_2' = a_{21}(t)x_1 + a_{22}(t)x_2 + \cdots + a_{2n}(t)x_n + f_2(t)
\vdots
x_n' = a_{n1}(t)x_1 + a_{n2}(t)x_2 + \cdots + a_{nn}(t)x_n + f_n(t) \end{cases}</math>

其中 <math>x_i = x_i(t)</math> 是未知函数，<math>a_{ij}(t)</math> 和 <math>f_i(t)</math> 是已知连续函数。

引入向量记号： <math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1
x_2
\vdots
x_n \end{pmatrix}, \quad A(t) = \begin{pmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t)
\vdots & \ddots & \vdots
a_{n1}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f}(t) = \begin{pmatrix} f_1(t)
f_2(t)
\vdots
f_n(t) \end{pmatrix}</math>

方程组可简写为： <math>\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)</math>

当 <math>\mathbf{f}(t) \equiv \mathbf{0}</math> 时，称为齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。

初值条件为 <math>\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0</math>。

例 7.1 将方程组写成矩阵形式： <math>\begin{cases} x_1' = 2x_1 + 3x_2 + e^t
x_2' = -x_1 + 4x_2 \end{cases}</math>

解： <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & 3
-1 & 4 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} e^t
0 \end{pmatrix}</math>

任何高阶线性微分方程都可以化为一阶线性方程组。

例 7.2 将 <math>y + p(t)y' + q(t)y = f(t)</math> 化为方程组。 解： 令 <math>x_1 = y, x_2 = y'</math>，则： <math>\begin{cases} x_1' = x_2
x_2' = -q(t)x_1 - p(t)x_2 + f(t) \end{cases}</math> 即 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1
-q(t) & -p(t) \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0
f(t) \end{pmatrix}</math> ===== 7.3 齐次线性方程组的通解结构 ===== ==== 7.3.1 叠加原理 ==== 定理 7.1 若 <math>\mathbf{\varphi}_1(t), \ldots, \mathbf{\varphi}_k(t)</math> 是齐次方程组 <math>\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}</math> 的解，则它们的线性组合 <math>c_1\mathbf{\varphi}_1 + \cdots + c_k\mathbf{\varphi}_k</math> 也是解。 ==== 7.3.2 基本解组与基本解矩阵 ==== 定义 7.1 齐次方程组的 <math>n</math> 个线性无关的解称为基本解组。 定义 7.2 以基本解组为列向量构成的矩阵 <math>\Phi(t) = \begin{pmatrix} \mathbf{\varphi}_1(t) & \mathbf{\varphi}_2(t) & \cdots & \mathbf{\varphi}_n(t) \end{pmatrix}</math> 称为基本解矩阵。 定理 7.2 齐次方程组的通解为： <math>\mathbf{x}(t) = \Phi(t)\mathbf{c} = c_1\mathbf{\varphi}_1 + c_2\mathbf{\varphi}_2 + \cdots + c_n\mathbf{\varphi}_n</math> 其中 <math>\mathbf{c} = (c_1, \ldots, c_n)^T</math> 是任意常向量。 例 7.3 验证 <math>\mathbf{\varphi}_1 = \begin{pmatrix} e^t
e^t \end{pmatrix}, \mathbf{\varphi}_2 = \begin{pmatrix} e^{2t}
2e^{2t} \end{pmatrix}</math> 是方程组 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1
-2 & 3 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math> 的基本解组。 解： 验证 <math>\mathbf{\varphi}_1' = \begin{pmatrix} e^t
e^t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1
-2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^t
e^t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^t
e^t \end{pmatrix}</math> ✓ 类似验证 <math>\mathbf{\varphi}_2</math>。 计算Wronski行列式： <math>\det\begin{pmatrix} e^t & e^{2t}
e^t & 2e^{2t} \end{pmatrix} = 2e^{3t} - e^{3t} = e^{3t} \neq 0</math> 故线性无关，是基本解组。 ==== 7.3.3 Wronski行列式与Liouville公式 ==== 定义 7.3 设 <math>\mathbf{\varphi}_1, \ldots, \mathbf{\varphi}_n</math> 是 <math>n</math> 个解，称 <math>W(t) = \det(\mathbf{\varphi}_1, \ldots, \mathbf{\varphi}_n)</math> 为它们的Wronski行列式。 定理 7.3 <math>n</math> 个解线性无关 <math>\Leftrightarrow W(t) \neq 0</math> 对某点成立。 定理 7.4 (Liouville公式) <math>W(t) = W(t_0)e^{\int_{t_0}^{t} \text{tr}A(s)ds}</math> 其中 <math>\text{tr}A = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}</math> 是矩阵 <math>A</math> 的迹。 ===== 7.4 非齐次线性方程组的通解 ===== ==== 7.4.1 通解结构 ==== 定理 7.5 设 <math>\Phi(t)</math> 是齐次方程组的基本解矩阵，<math>\mathbf{\psi}(t)</math> 是非齐次方程组的特解，则非齐次方程组的通解为： <math>\mathbf{x}(t) = \Phi(t)\mathbf{c} + \mathbf{\psi}(t)</math> ==== 7.4.2 常数变易法 ==== 设特解形式： <math>\mathbf{\psi}(t) = \Phi(t)\mathbf{c}(t)</math> 代入非齐次方程： <math>\Phi'\mathbf{c} + \Phi\mathbf{c}' = A\Phi\mathbf{c} + \mathbf{f}</math> 由于 <math>\Phi' = A\Phi</math>，得： <math>\Phi\mathbf{c}' = \mathbf{f}</math> 故： <math>\mathbf{c}(t) = \int \Phi^{-1}(t)\mathbf{f}(t)dt</math> 特解： <math>\mathbf{\psi}(t) = \Phi(t)\int \Phi^{-1}(t)\mathbf{f}(t)dt</math> 例 7.4 求解 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1
-1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0
\sin t \end{pmatrix}</math>。 解： 齐次方程的基本解矩阵： <math>\Phi(t) = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t
-\sin t & \cos t \end{pmatrix}</math> <math>\Phi^{-1}(t) = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t
\sin t & \cos t \end{pmatrix}</math> <math>\Phi^{-1}\mathbf{f} = \begin{pmatrix} -\sin^2 t
\sin t \cos t \end{pmatrix}</math> 积分得： <math>\mathbf{c}(t) = \begin{pmatrix} \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4}
-\frac{\cos 2t}{4} \end{pmatrix}</math> 特解： <math>\mathbf{\psi}(t) = \Phi(t)\mathbf{c}(t) = \begin{pmatrix} \frac{t\cos t}{2} - \frac{\sin t}{4}
-\frac{t\sin t}{2} \end{pmatrix}</math> 通解：<math>\mathbf{x} = \Phi(t)\mathbf{c} + \mathbf{\psi}(t)</math>。 ===== 7.5 习题 ===== 习题 7.1 将下列高阶方程化为方程组： a) <math>y' - 2y + y' - 2y = 0</math> b) <math>y + \omega^2 y = f(t)</math>

习题 7.2 验证 <math>\mathbf{\varphi}_1 = \begin{pmatrix} 1
1 \end{pmatrix}e^{3t}, \mathbf{\varphi}_2 = \begin{pmatrix} 1
-1 \end{pmatrix}e^{-t}</math> 是方程组 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & 2
2 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math> 的基本解组。

习题 7.3 设 <math>\Phi(t) = \begin{pmatrix} e^{2t} & te^{2t}
0 & e^{2t} \end{pmatrix}</math>，验证它是某齐次方程组的基本解矩阵，并求对应的 <math>A(t)</math>。

习题 7.4 利用常数变易法求解 <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & 1
0 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} e^{2t}
0 \end{pmatrix}</math>。

习题 7.5 证明Liouville公式：若 <math>\Phi(t)</math> 是 <math>\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}</math> 的基本解矩阵，则 <math>\det\Phi(t) = \det\Phi(t_0)e^{\int_{t_0}^t \text{tr}A(s)ds}</math>。

习题 7.1

a) <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}</math>
b) <math>\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ f(t) \end{pmatrix}</math>

习题 7.2 验证代入方程和Wronski行列式非零。

习题 7.3 <math>A(t) = \Phi'(t)\Phi^{-1}(t) = \begin{pmatrix} 2 & 1
0 & 2 \end{pmatrix}</math>

习题 7.4 通解 <math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} (C_1 + C_2t + \frac{t^2}{2})e^{2t}
C_2e^{2t} \end{pmatrix}</math>

本章主要内容：

• 矩阵表示：线性方程组可用矩阵形式 <math>\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}</math> 简洁表示
• 基本解组与基本解矩阵：齐次方程组的 <math>n</math> 个线性无关解构成基本解组
• Wronski行列式：判断解的线性无关性
• 通解结构：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
• 常数变易法：求非齐次特解的一般方法
• Liouville公式：Wronski行列式的演化规律

这些理论是下一章研究常系数线性方程组的基础。