当线性微分方程的系数不是常数而是自变量的函数时，方程称为变系数线性微分方程。这类方程通常没有通用的初等解法，但在特定情况下（如某些系数为多项式、幂函数等），可用幂级数解法或特殊函数法求解。

本章重点介绍幂级数解法和几种重要的特殊方程。

定义 6.1 若函数 <math>f(x)</math> 在点 <math>x_0</math> 的某邻域内可展开为幂级数 <math>f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n</math> 则称 <math>f</math> 在 <math>x_0</math> 处解析。

定理 6.1 若方程 <math>y + p(x)y' + q(x)y = 0</math> 的系数 <math>p(x), q(x)</math> 在 <math>x_0</math> 处解析，则方程在 <math>x_0</math> 的某邻域内存在解析解，可表示为幂级数。 ==== 6.2.2 幂级数解法 ==== 设解为 <math>y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n</math>，代入方程，比较同次幂系数确定 <math>a_n</math>。 例 6.1 用幂级数求解 <math>y + y = 0</math> 在 <math>x = 0</math> 附近的解。

解： 设 <math>y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n</math>，则 <math>y' = \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1}</math> <math>y = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n</math> 代入方程： <math>\sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)a_{n+2} + a_n]x^n = 0</math> 故递推关系： <math>a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots</math> 令 <math>a_0 = C_1, a_1 = C_2</math>： <math>a_2 = -\frac{a_0}{2!}, a_4 = \frac{a_0}{4!}, \ldots, a_{2k} = \frac{(-1)^k a_0}{(2k)!}</math> <math>a_3 = -\frac{a_1}{3!}, a_5 = \frac{a_1}{5!}, \ldots, a_{2k+1} = \frac{(-1)^k a_1}{(2k+1)!}</math> 因此： <math>y = C_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + C_2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}</math> <math>= C_1\cos x + C_2\sin x</math> 这与已知结果一致。 ===== 6.3 正则奇点与Frobenius方法 ===== ==== 6.3.1 奇点的分类 ==== 定义 6.2 若 <math>p(x)</math> 或 <math>q(x)</math> 在 <math>x_0</math> 处不解析，则称 <math>x_0</math> 为方程的奇点。 定义 6.3 若 <math>(x-x_0)p(x)</math> 和 <math>(x-x_0)^2q(x)</math> 在 <math>x_0</math> 处解析，则称 <math>x_0</math> 为正则奇点；否则为非正则奇点。 ==== 6.3.2 Frobenius方法 ==== 在正则奇点 <math>x_0</math> 附近，方程有形如 <math>y = (x-x_0)^r\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n+r}</math> 的解，其中 <math>r</math> 为待定常数，<math>a_0 \neq 0</math>。 这称为Frobenius级数或广义幂级数。 代入方程后，由最低次幂系数为零得到指标方程，确定 <math>r</math> 的值。 ===== 6.4 Legendre方程与Legendre函数 ===== ==== 6.4.1 Legendre方程 ==== 定义 6.4 方程 <math>(1-x^2)y - 2xy' + n(n+1)y = 0</math> 称为 <math>n</math> 阶Legendre方程。

<math>x = 0</math> 是常点。设 <math>y = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k</math>，代入得递推关系： <math>a_{k+2} = \frac{k(k+1) - n(n+1)}{(k+2)(k+1)}a_k = -\frac{(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)}a_k</math>

当 <math>n</math> 为非负整数时，级数在有限项后截断，得到Legendre多项式。

Legendre多项式： <math>P_n(x) = \sum_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k \frac{(2n-2k)!}{2^n k!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k}</math>

或Rodrigues公式： <math>P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n</math>

前几项： <math>P_0(x) = 1</math> <math>P_1(x) = x</math> <math>P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)</math> <math>P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)</math> <math>P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)</math>

<math>\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)dx = \begin{cases} 0, & m \neq n
\frac{2}{2n+1}, & m = n \end{cases}</math>

定义 6.5 方程 <math>x^2y + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0</math> 称为 <math>\nu</math> 阶Bessel方程。 ==== 6.5.2 解法 ==== <math>x = 0</math> 是正则奇点。用Frobenius方法，设 <math>y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}</math>。 指标方程：<math>r^2 - \nu^2 = 0</math>，即 <math>r = \pm \nu</math>。 第一类Bessel函数（<math>r = \nu \geq 0</math>）： <math>J_\nu(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}</math> 其中 <math>\Gamma</math> 是Gamma函数。 当 <math>\nu = n</math>（非负整数）： <math>J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(k+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}</math> 前几项： <math>J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{64} - \cdots</math> <math>J_1(x) = \frac{x}{2} - \frac{x^3}{16} + \frac{x^5}{384} - \cdots</math> 第二类Bessel函数（Neumann函数）： 当 <math>\nu</math> 不是整数时，<math>J_\nu(x)</math> 和 <math>J_{-\nu}(x)</math> 线性无关。 当 <math>\nu = n</math> 为整数时，定义： <math>Y_n(x) = \lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}</math> 通解：<math>y = C_1J_\nu(x) + C_2Y_\nu(x)</math> ==== 6.5.3 性质 ==== * 递推关系： <math>J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_\nu(x)</math> <math>J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x) = 2J_\nu'(x)</math> * 正交性： <math>\int_0^1 xJ_n(\alpha_{nk}x)J_n(\alpha_{nj}x)dx = \frac{1}{2}[J_{n+1}(\alpha_{nk})]^2\delta_{kj}</math> 其中 <math>\alpha_{nk}</math> 是 <math>J_n(x) = 0</math> 的正根。 ===== 6.6 习题 ===== 习题 6.1 用幂级数法求下列方程在 <math>x = 0</math> 附近的通解： a) <math>y - xy' - y = 0</math>

b) <math>(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0</math>

习题 6.2 验证 <math>P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)</math> 满足Legendre方程（<math>n = 2</math>）。

习题 6.3 验证 <math>J_0(x)</math> 满足零阶Bessel方程。

习题 6.4 利用递推关系证明：<math>J_1'(x) = J_0(x) - \frac{1}{x}J_1(x)</math>。

习题 6.5 计算 <math>\int_{-1}^{1} P_2(x)P_4(x)dx</math>。

习题 6.6 用Frobenius方法求方程 <math>xy'' + y' + xy = 0</math>（零阶Bessel方程）在 <math>x = 0</math> 附近的级数解。

习题 6.1

a) <math>y = a_0\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2^k k!} + a_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k k! x^{2k+1}}{(2k+1)!}</math>
b) <math>y = C_1x + C_2(1 - x\text{arctanh}x)</math> 或级数形式

习题 6.2 直接代入验证。

习题 6.3 直接代入验证。

习题 6.4 利用递推关系 <math>J_0'(x) = -J_1(x)</math> 和 <math>J_1'(x) = J_0(x) - \frac{1}{x}J_1(x)</math>。

习题 6.5 0（正交性）

习题 6.6 级数形式即为 <math>J_0(x)</math>。

本章主要内容：

• 幂级数解法：适用于解析系数方程在常点附近
  1. 设解为幂级数，代入比较系数
  2. 得到递推关系确定各项系数

• Frobenius方法：适用于正则奇点附近

1. 设解为广义幂级数 <math>(x-x_0)^r\sum a_n(x-x_0)^n</math>
2. 指标方程确定 <math>r</math>

• Legendre方程与Legendre多项式

1. 在 <math>n</math> 为整数时有多项式解
2. 具有正交性，是重要的特殊函数

• Bessel方程与Bessel函数

1. 在物理和工程中有广泛应用
2. 两类Bessel函数 <math>J_\nu, Y_\nu</math> 构成基本解组

这些特殊函数是数学物理方法中的重要工具。