定义11.1.1（极限环）

对于二维自治系统，孤立的闭轨称为极限环（Limit Cycle）。“孤立”指存在该闭轨的邻域，其中不含其他闭轨。

定义11.1.2（极限环的稳定性）

设 $\Gamma$ 是极限环：

1. 稳定：两侧邻近轨线当 $t \to +\infty$ 时都趋于 $\Gamma$
2. 不稳定：两侧邻近轨线当 $t \to +\infty$ 时都远离 $\Gamma$
3. 半稳定：一侧趋于，一侧远离

定理11.2.1（Poincaré-Bendixson）

设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是有界闭区域，其中不含平衡点。若轨线 $\gamma$ 进入 $D$ 后始终留在 $D$ 内，则 $\gamma$ 的$\omega$-极限集是闭轨。

推论11.2.2（极限环存在准则）

若存在环形区域 $G$，其内边界 $L_1$ 和外边界 $L_2$ 满足：

1. 在 $L_1$ 上轨线由内向外出（或由外向内入）
2. 在 $L_2$ 上轨线方向相反

则 $G$ 内至少存在一个极限环。

定理11.3.1（Bendixson准则）

若在单连通区域 $D$ 内，散度 $\text{div}\,\mathbf{f} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ 保持定号（恒正或恒负），则 $D$ 内不存在闭轨。

*证明*：若有闭轨 $\Gamma$ 围成区域 $G$，由Green公式： $$\oint_\Gamma (Pdy - Qdx) = \iint_G \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy$$

左端沿轨线：$\frac{dx}{dt} = P, \frac{dy}{dt} = Q$，故 $$\oint_\Gamma (Pdy - Qdx) = \int_0^T (PQ - QP)dt = 0$$

而右端非零（定号），矛盾。

定理11.3.2（Dulac准则）

若存在连续可微函数 $B(x,y)$，使得 $\frac{\partial(BP)}{\partial x} + \frac{\partial(BQ)}{\partial y}$ 在 $D$ 内定号，则 $D$ 内不存在闭轨。

11.4.1 Van der Pol方程

$$\ddot{x} - \mu(1-x^2)\dot{x} + x = 0$$

当 $\mu \ll 1$ 时，可用平均法求近似解。

设 $x = a(t)\cos(t + \varphi(t))$，由平均法得振幅方程： $$\frac{da}{dt} = \frac{\mu a}{2}\left(1 - \frac{a^2}{4}\right)$$

平衡点 $a = 2$ 对应稳定极限环，振幅约为2。

11.4.2 Lienard方程

$$\ddot{x} + f(x)\dot{x} + g(x) = 0$$

定理11.4.1（Lienard定理）

设：(i) $f, g$ 连续可微；(ii) $xg(x) > 0$（$x \neq 0$）；(iii) $F(x) = \int_0^x f(s)ds$ 有唯一正零点 $a$，且当 $x > a$ 时 $F(x) > 0$ 单调增，$F(x) \to \infty$（$x \to \infty$）。则方程存在唯一稳定极限环。

定义11.5.1（分支/分岔）

当系统参数变化时，若轨线的拓扑结构发生质变（如出现/消失平衡点、极限环等），称为分支（Bifurcation），相应的参数值称为分支值。

定义11.5.2（结构稳定性）

系统称为结构稳定的，若在小扰动下轨线拓扑结构不变。

11.6.1 鞍结分支（Saddle-Node Bifurcation）

规范形：$\dot{x} = \mu - x^2$，$\dot{y} = -y$

1. $\mu < 0$：无平衡点
2. $\mu = 0$：半稳定平衡点（鞍结点）
3. $\mu > 0$：两个平衡点（稳定结点 $x = \sqrt{\mu}$ 和鞍点 $x = -\sqrt{\mu}$）

11.6.2 跨临界分支（Transcritical Bifurcation）

规范形：$\dot{x} = \mu x - x^2$，$\dot{y} = -y$

两平衡点 $x = 0$ 和 $x = \mu$ 交换稳定性。

11.6.3 叉式分支（Pitchfork Bifurcation）

超临界：$\dot{x} = \mu x - x^3$，$\dot{y} = -y$

1. $\mu < 0$：$x = 0$ 稳定
2. $\mu > 0$：$x = 0$ 不稳定，出现两个新稳定平衡点 $x = \pm\sqrt{\mu}$

亚临界：$\dot{x} = \mu x + x^3$

1. 方向相反

11.6.4 Hopf分支

当一对共轭复特征值穿过虚轴时发生。

超临界Hopf分支：$\dot{r} = \mu r - r^3$，$\dot{\theta} = 1$

1. $\mu < 0$：原点稳定焦点
2. $\mu > 0$：原点不稳定，出现稳定极限环 $r = \sqrt{\mu}$

例11.1：分析系统 $$\begin{cases}\dot{x} = y
\dot{y} = -x + \mu y - x^2y\end{cases}$$

*解*：唯一平衡点 $(0,0)$，线性化： $$J = \begin{pmatrix} 0 & 1
-1 & \mu \end{pmatrix}$$

特征值：$\lambda = \frac{\mu \pm \sqrt{\mu^2-4}}{2}$

1. $\mu < 0$：稳定
2. $\mu > 0$：不稳定
3. $\mu = 0$：中心

这是Hopf分支。当 $\mu$ 由负变正时，原点失稳，产生极限环。

用极坐标 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$： $$\dot{r} = r(\mu - r^2\cos^2\theta)\sin^2\theta$$

平均得：$\dot{r} \approx r(\mu - \frac{r^2}{4})$，故极限环半径 $r \approx 2\sqrt{\mu}$。

例11.2：分析捕食者-猎物模型的分支行为 $$\begin{cases}\dot{x} = x(a - x - by)
\dot{y} = y(-c + dx)\end{cases}$$

*解*：平衡点：$(0,0)$（鞍点），$(a,0)$，$\left(\frac{c}{d}, \frac{ad-c}{bd}\right)$

当 $ad = c$ 时，正平衡点与 $(a,0)$ 重合，发生鞍结分支。

习题11.1：证明系统 $\dot{x} = y + x(1-x^2-y^2)$，$\dot{y} = -x + y(1-x^2-y^2)$ 有唯一极限环 $x^2 + y^2 = 1$，并判断其稳定性。

习题11.2：用Bendixson准则证明下列系统无闭轨： $$\dot{x} = x - y + x^3, \quad \dot{y} = x + y + y^3$$

习题11.3：分析分支行为： $$\dot{x} = \mu x + x^3 - x^5$$ 绘制分岔图。

习题11.4：证明Rayleigh方程 $\ddot{x} - \mu(1-\dot{x}^2)\dot{x} + x = 0$（$\mu > 0$）存在唯一稳定极限环。

习题11.5：研究系统： $$\begin{cases}\dot{x} = \mu x - y + x(x^2+y^2)
\dot{y} = x + \mu y + y(x^2+y^2)\end{cases}$$ 的Hopf分支类型和方向。