本章证明曲线论的基本定理：给定曲率函数 $\kappa(s) > 0$ 和挠率函数 $\tau(s)$，在合同变换下唯一确定一条空间曲线。这是曲线论的理论高峰。

定理 3.1（曲线论基本定理）设 $\kappa(s) > 0$ 和 $\tau(s)$ 是区间 $[0, L]$ 上的连续可微函数，则：

(存在性) 存在弧长参数化的曲线 $\boldsymbol{r}: [0, L] \rightarrow \mathbb{R}^3$，使得其曲率为 $\kappa(s)$，挠率为 $\tau(s)$。

(唯一性) 若两条曲线 $\boldsymbol{r}_1$ 和 $\boldsymbol{r}_2$ 具有相同的曲率函数和挠率函数，则它们合同（即存在一个刚体运动将一个变为另一个）。

这条定理说明：曲率和挠率构成了空间曲线的完全不变量系统。

给定 $\kappa(s) > 0$ 和 $\tau(s)$，我们需要构造曲线 $\boldsymbol{r}(s)$。

关键观察：若曲线存在，则其Frenet标架满足Frenet公式。因此，我们先求解Frenet公式得到标架，再通过积分得到曲线。

设 $\boldsymbol{e}_1 = \boldsymbol{T}, \boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{N}, \boldsymbol{e}_3 = \boldsymbol{B}$，Frenet公式可写为： $$\frac{d\boldsymbol{e}_i}{ds} = \sum_{j=1}^3 a_{ij}(s)\boldsymbol{e}_j, \quad i = 1, 2, 3$$

其中系数矩阵 $$A(s) = \begin{pmatrix} 0 & \kappa(s) & 0
-\kappa(s) & 0 & \tau(s)
0 & -\tau(s) & 0 \end{pmatrix}$$

是反对称矩阵。

考虑向量值函数 $\boldsymbol{X}(s) = (\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)^T$，Frenet公式等价于 $$\frac{d\boldsymbol{X}}{ds} = A(s)\boldsymbol{X}$$

这是关于 $9$ 个未知函数（三个向量的九个分量）的线性常微分方程组。

引理 3.1（线性ODE组的存在唯一性）设 $A(s)$ 是区间 $[0, L]$ 上的连续矩阵值函数，则对任意初始条件 $\boldsymbol{X}(0) = \boldsymbol{X}_0$，上述方程组存在唯一解。

我们需要证明：若初始标架 $\{\boldsymbol{e}_1(0), \boldsymbol{e}_2(0), \boldsymbol{e}_3(0)\}$ 是右手正交的，则对所有 $s$，解 $\{\boldsymbol{e}_1(s), \boldsymbol{e}_2(s), \boldsymbol{e}_3(s)\}$ 仍保持右手正交。

引理 3.2 设 $\boldsymbol{X}(s)$ 是上述ODE的解，初始条件满足 $\langle \boldsymbol{e}_i(0), \boldsymbol{e}_j(0) \rangle = \delta_{ij}$，则对所有 $s$： $$\langle \boldsymbol{e}_i(s), \boldsymbol{e}_j(s) \rangle = \delta_{ij}$$

*证明*：考虑 $f_{ij}(s) = \langle \boldsymbol{e}_i(s), \boldsymbol{e}_j(s) \rangle$，则 $$f_{ij}' = \langle \boldsymbol{e}_i', \boldsymbol{e}_j \rangle + \langle \boldsymbol{e}_i, \boldsymbol{e}_j' \rangle$$ $$= \langle \sum_k a_{ik}\boldsymbol{e}_k, \boldsymbol{e}_j \rangle + \langle \boldsymbol{e}_i, \sum_k a_{jk}\boldsymbol{e}_k \rangle$$ $$= \sum_k (a_{ik}f_{kj} + a_{jk}f_{ki})$$

这是关于 $\{f_{ij}\}$ 的线性齐次ODE组。由于初始条件 $f_{ij}(0) = \delta_{ij}$，而 $f_{ij}(s) \equiv \delta_{ij}$ 显然是一个解，由唯一性，这是唯一解。$\square$

取初始条件：$\boldsymbol{e}_1(0), \boldsymbol{e}_2(0), \boldsymbol{e}_3(0)$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的标准正交基。

由引理3.2，解 $\{\boldsymbol{e}_1(s), \boldsymbol{e}_2(s), \boldsymbol{e}_3(s)\}$ 对所有 $s$ 构成正交标架。

定义曲线： $$\boldsymbol{r}(s) = \int_0^s \boldsymbol{e}_1(u) \, du$$

则 $\boldsymbol{r}'(s) = \boldsymbol{e}_1(s)$，$|\boldsymbol{r}'(s)| = 1$，即 $s$ 是弧长参数，$\boldsymbol{T} = \boldsymbol{e}_1$。

由Frenet公式，$\boldsymbol{T}' = \kappa\boldsymbol{e}_2$，故 $\kappa = |\boldsymbol{T}'|$，$\boldsymbol{N} = \boldsymbol{e}_2$。

类似可证 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{e}_3$，$\tau$ 为给定函数。

定义 3.1 $\mathbb{R}^3$ 中的刚体运动（或合同变换）是形如 $$\tilde{\boldsymbol{r}} = P\boldsymbol{r} + \boldsymbol{b}$$ 的变换，其中 $P$ 是正交矩阵（$P^TP = I$，$\det P = \pm 1$），$\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3$ 是平移向量。

当 $\det P = 1$ 时称为正常刚体运动（保持定向）；当 $\det P = -1$ 时称为反常刚体运动（反转定向）。

性质：刚体运动保持：

• 距离和角度
• 弧长参数
• 曲率（正常和反常都保持）
• 挠率（正常保持，反转变号）

设 $\boldsymbol{r}_1(s)$ 和 $\boldsymbol{r}_2(s)$ 是具有相同曲率 $\kappa(s) > 0$ 和挠率 $\tau(s)$ 的两条弧长参数化曲线。

固定 $s = 0$，设它们的Frenet标架分别为 $\{\boldsymbol{T}_1, \boldsymbol{N}_1, \boldsymbol{B}_1\}$ 和 $\{\boldsymbol{T}_2, \boldsymbol{N}_2, \boldsymbol{B}_2\}$。

存在唯一的正常刚体运动将 $\boldsymbol{r}_1(0)$ 映到 $\boldsymbol{r}_2(0)$，并将标架 $\{\boldsymbol{T}_1, \boldsymbol{N}_1, \boldsymbol{B}_1\}$ 映到 $\{\boldsymbol{T}_2, \boldsymbol{N}_2, \boldsymbol{B}_2\}$。

应用这个刚体运动于整条曲线 $\boldsymbol{r}_1$，得到曲线 $\tilde{\boldsymbol{r}}_1$。

曲线 $\tilde{\boldsymbol{r}}_1$ 和 $\boldsymbol{r}_2$ 满足：

• 相同的曲率和挠率函数
• 在 $s = 0$ 处相同的Frenet标架

由Frenet公式解的唯一性（引理3.1），两条曲线处处具有相同的Frenet标架，特别地相同的切向量 $\boldsymbol{T}(s)$。

因此 $$\tilde{\boldsymbol{r}}_1(s) - \boldsymbol{r}_2(s) = \text{常数}$$

但在 $s = 0$ 处两者相等，故常数为零，即 $\tilde{\boldsymbol{r}}_1 = \boldsymbol{r}_2$。

定义 3.2 方程组 $$\kappa = \kappa(s), \quad \tau = \tau(s)$$ 称为曲线的自然方程（或内蕴方程、本性方程）。

由曲线论基本定理，自然方程完全确定了曲线的形状（在刚体运动下）。

一般螺线（general helix）的定义：切向量与固定方向成定角的曲线。

定理 3.2 曲线是一般螺线当且仅当 $\tau/\kappa = \text{常数}$。

例题 1 证明：若曲线的曲率和挠率都是常数，则曲线是圆柱螺线。

*解*：设 $\kappa = a > 0$，$\tau = b$ 都是常数。

由曲线论基本定理，存在唯一（在刚体运动下）的曲线具有这些曲率和挠率。

圆柱螺线 $\boldsymbol{r}(t) = (r\cos t, r\sin t, ht)$ 经弧长参数化后，曲率 $\kappa = \frac{r}{r^2+h^2}$，挠率 $\tau = \frac{h}{r^2+h^2}$。

给定 $a, b$，解方程组 $$\frac{r}{r^2+h^2} = a, \quad \frac{h}{r^2+h^2} = b$$

得 $r = \frac{a}{a^2+b^2}$，$h = \frac{b}{a^2+b^2}$。

因此所求曲线就是半径为 $r$、螺距为 $2\pi h$ 的圆柱螺线。$\square$

例题 2 求曲率 $\kappa = \frac{1}{1+s^2}$，挠率 $\tau = 0$ 的平面曲线。

*解*：挠率为零说明是平面曲线。

对于平面曲线，可以参数化为 $\boldsymbol{r}(s) = (x(s), y(s))$，切角 $\theta$ 满足 $$\frac{d\theta}{ds} = \kappa = \frac{1}{1+s^2}$$

积分得： $$\theta(s) = \arctan s + C$$

取 $C = 0$，则 $$x'(s) = \cos(\arctan s) = \frac{1}{\sqrt{1+s^2}}$$ $$y'(s) = \sin(\arctan s) = \frac{s}{\sqrt{1+s^2}}$$

积分（利用 $s = \sinh t$ 换元）： $$x(s) = \text{arsinh}(s) = \ln(s + \sqrt{1+s^2})$$ $$y(s) = \sqrt{1+s^2}$$

这是悬链线（catenary）的一种参数表示。$\square$

基础练习

1. 设曲线 $\boldsymbol{r}(s)$ 的曲率 $\kappa(s) = \frac{1}{1+s}$，挠率 $\tau(s) = 0$。证明该曲线是对数螺线（等角螺线）的一部分。

2. 证明：挠率恒为零的曲线必为平面曲线。

3. 设曲线满足 $\kappa = \tau$，$\kappa(0) = 1$。求曲线在 $s = 0$ 处的密切平面方程。

进阶练习

4. 证明：曲率非零的曲线是球面曲线当且仅当

 $$\frac{\tau}{\kappa} = \frac{d}{ds}\left(\frac{1}{\tau}\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{\kappa}\right)\right)$$

5. （Cesàro方法）设平面曲线的曲率半径 $\rho = 1/\kappa$，证明曲线的自然方程可写为

 $$s = \int \sqrt{\rho^2 - \left(\frac{d\rho}{d\psi}\right)^2} \, d\psi$$
 其中 $\psi$ 是切线的倾角。

6. 证明：若曲线的所有密切平面都过定点，则曲线是平面曲线。

思考题

7. 曲线论基本定理要求 $\kappa > 0$。讨论当 $\kappa$ 在某点为零时会出现什么情况？此时Frenet标架还能定义吗？

8. 两条曲线称为Mannheim侣线，如果一条曲线的主法线重合于另一条曲线的副法线。研究Mannheim侣线的特征。

曲线论基本定理是微分几何中最优美的结果之一：

• 曲率和挠率完全刻画了空间曲线的几何形状
• 给定曲率和挠率，存在唯一的曲线（在刚体运动意义下）
• 自然方程提供了研究曲线几何的最简洁方式

这一理论框架将在曲面论中以更复杂的形式再现：曲面的第一基本形式和第二基本形式扮演着类似的角色。