本章介绍刻画空间曲线局部几何形状的两个基本量：曲率和挠率，建立Frenet标架和Frenet公式，这是曲线论的核心内容。

对于弧长参数化的曲线 $\boldsymbol{r}(s)$，切向量 $\boldsymbol{T}(s) = \boldsymbol{r}'(s)$ 是单位向量。

定义 2.1 向量 $\boldsymbol{T}'(s)$ 的模称为曲线的曲率（curvature），记为 $$\kappa(s) = |\boldsymbol{T}'(s)| = |\boldsymbol{r}(s)|$$ 当 $\kappa(s) \neq 0$ 时，定义主法向量（principal normal vector）为 $$\boldsymbol{N}(s) = \frac{\boldsymbol{T}'(s)}{|\boldsymbol{T}'(s)|} = \frac{\boldsymbol{T}'(s)}{\kappa(s)}$$ 几何意义：曲率度量了曲线偏离直线的程度，主法向量指向曲线的凹侧（曲率中心方向）。 定理 2.1 曲率的一般计算公式（非弧长参数）： $$\kappa(t) = \frac{|\boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}(t)|}{|\boldsymbol{r}'(t)|^3}$$

*证明*：设 $s$ 为弧长参数，则 $\boldsymbol{r}' = \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}}{ds}\frac{ds}{dt} = \boldsymbol{T} \cdot |\boldsymbol{r}'|$

$$\boldsymbol{r} = \frac{d}{dt}(\boldsymbol{T}|\boldsymbol{r}'|) = \boldsymbol{T}'|\boldsymbol{r}'|^2 + \boldsymbol{T}\frac{d|\boldsymbol{r}'|}{dt}$$ 因此 $$\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r} = \boldsymbol{T}|\boldsymbol{r}'| \times (\boldsymbol{T}'|\boldsymbol{r}'|^2 + \cdots) = |\boldsymbol{r}'|^3 (\boldsymbol{T} \times \boldsymbol{T}')$$

由于 $\boldsymbol{T} \perp \boldsymbol{T}'$ 且 $|\boldsymbol{T}| = 1$，有 $|\boldsymbol{T} \times \boldsymbol{T}'| = |\boldsymbol{T}'| = \kappa$

故 $|\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}| = |\boldsymbol{r}'|^3 \cdot \kappa$，整理即得。$\square$ ==== 2.1.2 副法向量 ==== 定义 2.2 单位向量 $$\boldsymbol{B}(s) = \boldsymbol{T}(s) \times \boldsymbol{N}(s)$$ 称为副法向量（binormal vector）。 Frenet标架（或活动标架）是由 $\{\boldsymbol{T}, \boldsymbol{N}, \boldsymbol{B}\}$ 构成的右手正交标架，满足： $$|\boldsymbol{T}| = |\boldsymbol{N}| = |\boldsymbol{B}| = 1, \quad \langle \boldsymbol{T}, \boldsymbol{N} \rangle = \langle \boldsymbol{N}, \boldsymbol{B} \rangle = \langle \boldsymbol{B}, \boldsymbol{T} \rangle = 0$$ ==== 2.1.3 密切平面与从切平面 ==== 定义 2.3 由 $\boldsymbol{T}$ 和 $\boldsymbol{N}$ 张成的平面称为密切平面（osculating plane）；由 $\boldsymbol{N}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 张成的平面称为法平面（normal plane）；由 $\boldsymbol{T}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 张成的平面称为从切平面（rectifying plane）。 密切平面的方程（过点 $\boldsymbol{r}(s_0)$）： $$\langle \boldsymbol{X} - \boldsymbol{r}(s_0), \boldsymbol{B}(s_0) \rangle = 0$$ ===== 2.2 挠率 ===== ==== 2.2.1 挠率的定义 ==== 定义 2.4 设 $\kappa(s) \neq 0$，由 $\boldsymbol{B}'(s) \perp \boldsymbol{B}(s)$ 且 $\boldsymbol{B}' \perp \boldsymbol{T}$（因为 $\langle \boldsymbol{B}, \boldsymbol{T} \rangle = 0$，求导得 $\langle \boldsymbol{B}', \boldsymbol{T} \rangle = -\langle \boldsymbol{B}, \boldsymbol{T}' \rangle = -\langle \boldsymbol{B}, \kappa\boldsymbol{N} \rangle = 0$），可知 $\boldsymbol{B}'$ 平行于 $\boldsymbol{N}$。 定义挠率（torsion）为 $$\tau(s) = -\langle \boldsymbol{B}'(s), \boldsymbol{N}(s) \rangle$$ 或等价地 $$\boldsymbol{B}'(s) = -\tau(s)\boldsymbol{N}(s)$$ 几何意义：挠率度量了曲线偏离平面曲线的程度（即曲线扭曲出密切平面的速率）。 定理 2.2 挠率的一般计算公式： $$\tau(t) = \frac{(\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}|^2}$$

定理 2.3 正则曲线是平面曲线当且仅当 $\tau \equiv 0$。

*证明*：($\Rightarrow$) 若曲线在平面内，密切平面固定，故 $\boldsymbol{B}$ 为常向量，$\boldsymbol{B}' = 0$，从而 $\tau = 0$。

($\Leftarrow$) 若 $\tau = 0$，则 $\boldsymbol{B}' = 0$，即 $\boldsymbol{B}$ 是常向量。于是 $$\frac{d}{ds}\langle \boldsymbol{r}(s), \boldsymbol{B} \rangle = \langle \boldsymbol{T}, \boldsymbol{B} \rangle = 0$$ 故 $\langle \boldsymbol{r}(s), \boldsymbol{B} \rangle = c$（常数），曲线在平面 $\langle \boldsymbol{X}, \boldsymbol{B} \rangle = c$ 内。$\square$

定理 2.4（Frenet-Serret公式）设 $\boldsymbol{r}(s)$ 是弧长参数化的正则曲线，$\kappa > 0$，则

$$\begin{cases} \boldsymbol{T}' = \kappa \boldsymbol{N}
\boldsymbol{N}' = -\kappa \boldsymbol{T} + \tau \boldsymbol{B}
\boldsymbol{B}' = -\tau \boldsymbol{N} \end{cases}$$

矩阵形式： $$\begin{pmatrix} \boldsymbol{T}'
\boldsymbol{N}'
\boldsymbol{B}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0
-\kappa & 0 & \tau
0 & -\tau & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{T}
\boldsymbol{N}
\boldsymbol{B} \end{pmatrix}$$

*证明*：第一式由定义即得。第三式由挠率定义即得。

对于第二式，由 $\boldsymbol{N} = \boldsymbol{B} \times \boldsymbol{T}$，求导： $$\boldsymbol{N}' = \boldsymbol{B}' \times \boldsymbol{T} + \boldsymbol{B} \times \boldsymbol{T}' = (-\tau\boldsymbol{N}) \times \boldsymbol{T} + \boldsymbol{B} \times (\kappa\boldsymbol{N})$$ $$= -\tau(\boldsymbol{N} \times \boldsymbol{T}) + \kappa(\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{N}) = \tau\boldsymbol{B} - \kappa\boldsymbol{T}$$ $\square$

Frenet公式描述了Frenet标架沿曲线的运动规律：

• $\boldsymbol{T}' = \kappa\boldsymbol{N}$：切向量转向主法向量方向，速率等于曲率
• $\boldsymbol{N}' = -\kappa\boldsymbol{T} + \tau\boldsymbol{B}$：主法向量同时向切向量和副法向量方向偏转
• $\boldsymbol{B}' = -\tau\boldsymbol{N}$：副法向量转向主法向量方向的负方向，速率等于挠率

直线：$\boldsymbol{r}(s) = \boldsymbol{a} + s\boldsymbol{v}$，$|\boldsymbol{v}| = 1$

$\boldsymbol{T} = \boldsymbol{v}$（常向量），故 $\kappa = 0$

圆：半径为 $a$ 的圆可参数化为 $\boldsymbol{r}(s) = (a\cos\frac{s}{a}, a\sin\frac{s}{a}, 0)$

$$\boldsymbol{T} = (-\sin\frac{s}{a}, \cos\frac{s}{a}, 0)$$ $$\boldsymbol{T}' = (-\frac{1}{a}\cos\frac{s}{a}, -\frac{1}{a}\sin\frac{s}{a}, 0)$$ $$\kappa = |\boldsymbol{T}'| = \frac{1}{a}, \quad \boldsymbol{N} = (-\cos\frac{s}{a}, -\sin\frac{s}{a}, 0)$$ $$\boldsymbol{B} = (0, 0, 1), \quad \boldsymbol{B}' = 0, \quad \tau = 0$$

圆是平面曲线，曲率等于半径的倒数。

圆柱螺线：$\boldsymbol{r}(s) = (a\cos\frac{s}{c}, a\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c})$，其中 $c = \sqrt{a^2+b^2}$

经过计算（详见例题），可得： $$\kappa = \frac{a}{a^2+b^2}, \quad \tau = \frac{b}{a^2+b^2}$$

重要结论：圆柱螺线的曲率和挠率都是常数，且满足 $$\frac{\tau}{\kappa} = \frac{b}{a} = \text{常数}$$

反之，曲率和挠率均为非零常数的曲线必是圆柱螺线。

例题 1 求圆柱螺线 $\boldsymbol{r}(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ 的曲率和挠率。

*解*： $$\boldsymbol{r}' = (-a\sin t, a\cos t, b), \quad |\boldsymbol{r}'| = \sqrt{a^2+b^2} = c$$ $$\boldsymbol{r} = (-a\cos t, -a\sin t, 0)$$ $$\boldsymbol{r}' = (a\sin t, -a\cos t, 0)$$

计算叉积： $$\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r} = (ab\sin t, -ab\cos t, a^2)$$ $$|\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}| = \sqrt{a^2b^2 + a^4} = a\sqrt{a^2+b^2} = ac$$

曲率： $$\kappa = \frac{|\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}|}{|\boldsymbol{r}'|^3} = \frac{ac}{c^3} = \frac{a}{c^2} = \frac{a}{a^2+b^2}$$ 计算混合积： $$(\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{r}' = ab\sin t \cdot a\sin t + (-ab\cos t)(-a\cos t) + a^2 \cdot 0 = a^2b$$ 挠率： $$\tau = \frac{(\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{r}'}{|\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}|^2} = \frac{a^2b}{a^2c^2} = \frac{b}{c^2} = \frac{b}{a^2+b^2}$$

例题 2 求曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (t, \frac{t^2}{2}, \frac{t^3}{3})$ 在 $t = 0$ 处的Frenet标架、曲率和挠率。

*解*： $$\boldsymbol{r}' = (1, t, t^2), \quad \boldsymbol{r}'(0) = (1, 0, 0)$$ $$\boldsymbol{r} = (0, 1, 2t), \quad \boldsymbol{r}(0) = (0, 1, 0)$$ $$\boldsymbol{r}' = (0, 0, 2), \quad \boldsymbol{r}'(0) = (0, 0, 2)$$

在 $t = 0$： $$\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r} = (0, 0, 1), \quad |\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}| = 1$$ $$|\boldsymbol{r}'| = 1, \quad (\boldsymbol{r}' \times \boldsymbol{r}) \cdot \boldsymbol{r}' = 2$$

曲率：$\kappa = \frac{1}{1^3} = 1$ 挠率：$\tau = \frac{2}{1^2} = 2$

Frenet标架： $$\boldsymbol{T} = (1, 0, 0), \quad \boldsymbol{N} = (0, 1, 0), \quad \boldsymbol{B} = (0, 0, 1)$$

基础练习

1. 求曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (t^2, t, t^3)$ 在 $t = 1$ 处的曲率。

2. 证明：曲线 $\boldsymbol{r}(s)$ 是球面曲线（位于某球面上）的必要条件是

 $$\frac{\tau}{\kappa} = \frac{d}{ds}\left(\frac{\kappa'}{\tau\kappa^2}\right)$$

3. 求平面曲线 $y = f(x)$ 的曲率公式。

进阶练习

4. 证明：若曲线的所有法平面都过定点，则曲线是球面曲线。

5. 设曲线 $\boldsymbol{r}(s)$ 满足 $\tau = c\kappa$，其中 $c$ 为非零常数。证明曲线是圆柱螺线。

6. （Bertand曲线）两条曲线称为Bertrand侣线，如果在对应点有公共主法线。证明：曲线存在Bertrand侣线当且仅当存在常数 $a, b$ 使得 $a\kappa + b\tau = 1$。

计算题

7. 求曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (3t-t^3, 3t^2, 3t+t^3)$ 的曲率和挠率，并证明 $\kappa = \tau$。

8. 求曲线 $x = \cosh t, y = \sinh t, z = t$ 的Frenet标架。

本章的核心内容是：

• 曲率 $\kappa$ 度量曲线偏离直线的程度
• 挠率 $\tau$ 度量曲线偏离平面曲线的程度
• Frenet标架 $\{\boldsymbol{T}, \boldsymbol{N}, \boldsymbol{B}\}$ 提供了研究曲线的局部坐标系
• Frenet公式描述了标架沿曲线的演化规律

曲率和挠率完全刻画了空间曲线的局部几何性质，这是下一章曲线论基本定理的内容。