本章研究几类具有特殊几何性质的曲线，包括平面曲线、球面曲线、一般螺线、Bertrand曲线等，它们在实际应用和理论研究中都有重要意义。

平面曲线 $\boldsymbol{r}(t) = (x(t), y(t))$ 可嵌入 $\mathbb{R}^3$ 为 $(x(t), y(t), 0)$，此时挠率 $\tau = 0$。

对于弧长参数化的平面曲线，切向量 $\boldsymbol{T}(s) = (\cos\theta(s), \sin\theta(s))$，其中 $\theta(s)$ 是切线与 $x$ 轴的夹角。

定义 4.1 函数 $$\kappa_r(s) = \frac{d\theta}{ds}$$ 称为平面曲线的相对曲率（signed curvature）。

相对曲率可正可负：

• $\kappa_r > 0$：曲线向左转（逆时针方向）
• $\kappa_r < 0$：曲线向右转（顺时针方向）

定理 4.1 平面曲线的相对曲率与空间曲率的关系： $$\kappa = |\kappa_r|$$

对于一般参数 $t$： $$\kappa_r = \frac{x'y - xy'}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$$

对于函数 $y = f(x)$： $$\kappa_r = \frac{f''}{(1 + f'^2)^{3/2}}$$

定理 4.2（等周不等式）设 $C$ 是长度为 $L$ 的简单闭平面曲线，所围区域的面积为 $A$，则 $$L^2 \geq 4\pi A$$ 等号成立当且仅当 $C$ 是圆。

这是几何中最古老和最著名的不等式之一，反映了圆在所有等周长曲线中围成最大面积的最优性。

定义 4.2 若曲线 $\boldsymbol{r}(s)$ 位于以原点为中心、半径为 $R$ 的球面上，即 $$|\boldsymbol{r}(s)|^2 = R^2$$ 则称该曲线为球面曲线。

定理 4.3 弧长参数化的曲线 $\boldsymbol{r}(s)$ 是球面曲线（半径为 $R$）当且仅当 $$\frac{\tau}{\kappa} = \frac{d}{ds}\left(\frac{\kappa'}{\tau\kappa^2}\right)$$ 且 $R^2 = \frac{1}{\kappa^2} + \frac{1}{\tau^2}\left(\frac{\kappa'}{\kappa^2}\right)^2$

球面曲线具有特殊的几何约束：曲线的法平面总是过球心。

球面曲线的曲率和挠率满足特定的微分关系，这一关系可以用来判断给定曲率挠率函数是否能确定一条球面曲线。

定义 4.3 若曲线的切向量与固定方向 $\boldsymbol{a}$ 成定角，即 $$\langle \boldsymbol{T}, \boldsymbol{a} \rangle = \cos\alpha = \text{常数}$$ 则称该曲线为一般螺线（general helix）或定倾曲线。

定理 4.4 正则曲线是一般螺线当且仅当 $$\frac{\tau}{\kappa} = \text{常数}$$

*证明*：$(\Rightarrow)$ 设 $\langle \boldsymbol{T}, \boldsymbol{a} \rangle = \cos\alpha$，求导： $$\langle \kappa\boldsymbol{N}, \boldsymbol{a} \rangle = 0$$ 故 $\boldsymbol{a}$ 在密切平面内，可写为 $\boldsymbol{a} = \cos\alpha \cdot \boldsymbol{T} + \sin\alpha \cdot \boldsymbol{B}$（取适当定向）。

再求导并利用Frenet公式可得 $\tau/\kappa = \cot\alpha$。

$(\Leftarrow)$ 设 $\tau = c\kappa$，取 $\alpha$ 使得 $\cot\alpha = c$。验证 $\boldsymbol{a} = \cos\alpha \cdot \boldsymbol{T} + \sin\alpha \cdot \boldsymbol{B}$ 是常向量。$\square$

当曲率和挠率都是常数时，一般螺线退化为圆柱螺线。

圆柱螺线是最重要的一类螺线，在DNA双螺旋结构、弹簧、螺纹等自然和工程结构中广泛存在。

定义 4.4 两条不同的曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 称为Bertrand侣线（Bertrand mates），如果存在它们之间的一一对应，使得在对应点有公共的主法线。

定理 4.5 曲线 $C$ 存在Bertrand侣线当且仅当存在常数 $a, b$（不全为零）使得 $$a\kappa + b\tau = 1$$

*证明概要*：设 $C_1: \boldsymbol{r}_1(s)$，其Bertrand侣线可表示为 $$\boldsymbol{r}_2(s) = \boldsymbol{r}_1(s) + a\boldsymbol{N}_1(s)$$ （沿主法线方向偏移常数距离 $a$）。

要求 $\boldsymbol{r}_2$ 的切向量与 $\boldsymbol{N}_1$ 垂直，导出条件 $a\kappa + b\tau = 1$。$\square$

• 当 $b = 0$ 时，$\kappa = 1/a$ 为常数，曲线是圆柱螺线
• 当 $a = 0$ 时，$\tau = 1/b$ 为常数，曲线是平面曲线（平面曲线的Bertrand侣线是其平行曲线）

定义 4.5 设 $C$ 是正则曲线，曲线 $C^*$ 称为 $C$ 的渐开线（involute），如果 $C^*$ 的切线是 $C$ 的法线。

弧长参数化下，$C$ 的渐开线可表示为： $$\boldsymbol{r}^*(s) = \boldsymbol{r}(s) + (c - s)\boldsymbol{T}(s)$$ 其中 $c$ 是常数。

几何意义：将一根拉紧的绳子从曲线 $C$ 上展开，绳端描绘的轨迹就是渐开线。

定义 4.6 曲线 $C$ 的渐屈线（evolute）是 $C$ 的曲率中心的轨迹。

弧长参数化下： $$\boldsymbol{r}_e(s) = \boldsymbol{r}(s) + \frac{1}{\kappa(s)}\boldsymbol{N}(s)$$

性质：渐屈线是原曲线所有法线的包络。

定义 4.7 若曲线的切线都与某球面相切，则该曲线称为该球面的渐伸线。

定义 4.8 两条曲线称为Mannheim侣线，如果一条的主法线重合于另一条的副法线。

Mannheim曲线的特征：曲线 $C$ 是Mannheim曲线当且仅当存在常数 $a$ 使得 $$\kappa = a(\kappa^2 + \tau^2)$$

例题 1 证明圆的渐开线是摆线型的曲线。

*解*：设圆半径为 $a$，参数化为 $$\boldsymbol{r}(\theta) = (a\cos\theta, a\sin\theta, 0)$$

弧长函数：$s = a\theta$，取 $c = 0$，渐开线为 $$\boldsymbol{r}^*(\theta) = (a\cos\theta, a\sin\theta, 0) + (-a\theta)(-\sin\theta, \cos\theta, 0)$$ $$= (a\cos\theta + a\theta\sin\theta, a\sin\theta - a\theta\cos\theta, 0)$$

这是圆的渐开线，在齿轮设计中有重要应用。

例题 2 求圆柱螺线的渐屈线。

*解*：圆柱螺线 $\boldsymbol{r}(s) = (a\cos\frac{s}{c}, a\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c})$，$c = \sqrt{a^2+b^2}$

曲率 $\kappa = \frac{a}{c^2}$ 为常数，主法向量 $$\boldsymbol{N}(s) = (-\cos\frac{s}{c}, -\sin\frac{s}{c}, 0)$$

渐屈线： $$\boldsymbol{r}_e(s) = \boldsymbol{r}(s) + \frac{1}{\kappa}\boldsymbol{N}(s)$$ $$= (a\cos\frac{s}{c}, a\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c}) + \frac{c^2}{a}(-\cos\frac{s}{c}, -\sin\frac{s}{c}, 0)$$ $$= ((a - \frac{c^2}{a})\cos\frac{s}{c}, (a - \frac{c^2}{a})\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c})$$ $$= (-\frac{b^2}{a}\cos\frac{s}{c}, -\frac{b^2}{a}\sin\frac{s}{c}, \frac{bs}{c})$$

这也是一条圆柱螺线，位于与原螺线同轴的圆柱面上。

基础练习

1. 求抛物线 $y = x^2$ 的相对曲率，并确定曲率最大和最小的点。

2. 证明：平面曲线的曲率中心轨迹（渐屈线）是曲线的法线的包络。

3. 求椭圆 $\boldsymbol{r}(t) = (a\cos t, b\sin t, 0)$ 的渐屈线。

进阶练习

4. 证明：若曲线的副法向量与固定方向成定角，则

 $$\frac{\tau^2}{\kappa^2 + \tau^2} = \text{常数}$$

5. 设曲线 $C$ 满足 $\tau = c\kappa$，其中 $c$ 是常数。证明：

 (a) $C$ 是圆柱螺线
 (b) 求圆柱的半径和螺线的螺距

6. （Salkowski曲线）求曲率 $\kappa = 1$，挠率 $\tau = \tan s$ 的曲线，并证明它是球面曲线。

思考题

7. 研究Bertrand侣线的几何关系：两条Bertrand侣线之间的距离是否恒定？它们的主法线夹角是否恒定？

8. 证明：若曲线的主法向量与固定方向成定角，则曲线是柱面螺线（位于圆柱面上的螺线）。

本章介绍了多种具有特殊几何性质的曲线：

• 平面曲线：相对曲率可正可负，等周不等式揭示圆的最优性
• 球面曲线：受球面约束，曲率和挠率满足特定关系
• 一般螺线：切向量与固定方向成定角，$\tau/\kappa = $ 常数
• Bertrand曲线：存在侣线共享主法线
• 渐开线与渐屈线：互为逆关系，在工程中有重要应用

这些特殊曲线展示了曲线论丰富的几何内容，也为实际应用提供了数学模型。