设 $\\{X_\\alpha\\}_{\\alpha \\in I}$ 是一族拓扑空间。$X = \\prod_{\\alpha \\in I} X_\\alpha$ 上的积拓扑（product topology）是以 $$\\mathcal{S} = \\bigcup_{\\alpha} \\pi_\\alpha^{-1}(\\mathcal{T}_{X_\\alpha})$$ 为子基生成的拓扑，其中 $\\pi_\\alpha: X \\to X_\\alpha$ 是投影。

等价地，积拓扑的基为： $$\\mathcal{B} = \\{\\prod_{\\alpha} U_\\alpha : U_\\alpha \\in \\mathcal{T}_{X_\\alpha}, \\text{且除有限个}\\alpha\\text{外}U_\\alpha = X_\\alpha\\}$$

积拓扑是使所有投影 $\\pi_\\alpha$ 连续的最粗拓扑。

更一般地，映射 $f: Y \\to \\prod X_\\alpha$ 连续当且仅当每个坐标映射 $\\pi_\\alpha \\circ f: Y \\to X_\\alpha$ 连续。

紧致空间的任意积是紧致的。

证明概要（用Alexander子基定理）：积拓扑的子基元素形如 $\\pi_\\alpha^{-1}(U_\\alpha)$。若子基覆盖无有限子覆盖，则可选取 $x_\\alpha \\in X_\\alpha$ 使得 $\\pi_\\alpha^{-1}(U_\\alpha)$ 不含 $(x_\\beta)$，矛盾。

(1) $\\prod X_\\alpha$ Hausdorff 当且仅当每个 $X_\\alpha$ Hausdorff

(2) $\\prod X_\\alpha$ 连通当且仅当每个 $X_\\alpha$ 连通

证明：(1) 若某 $X_\\alpha$ 不 Hausdorff，则积也不；若都 Hausdorff，坐标分离可提升。

$\\mathbb{R}^n \\cong \\underbrace{\\mathbb{R} \\times \\cdots \\times \\mathbb{R}}_{n}$（标准拓扑）。

设 $X$ 是拓扑空间，$\\sim$ 是 $X$ 上的等价关系，$\\pi: X \\to X/\\sim$ 是商映射。$X/\\sim$ 上的商拓扑定义为：$U \\subseteq X/\\sim$ 开当且仅当 $\\pi^{-1}(U)$ 在 $X$ 中开。

等价地，商拓扑是使 $\\pi$ 连续的最细拓扑。

映射 $f: X/\\sim \\to Y$ 连续当且仅当 $f \\circ \\pi: X \\to Y$ 连续。

满射 $p: X \\to Y$ 称为商映射，如果 $U \\subseteq Y$ 开当且仅当 $p^{-1}(U)$ 开。

$S^1 \\cong [0,1]/(0 \\sim 1)$：将区间两端粘合。

$S^n \\cong D^n/\\partial D^n$：将圆盘的边界捏成一点。

$\\mathbb{R}P^n = S^n/(x \\sim -x)$：对径点等同。

$M = [0,1] \\times [0,1] / ¹⁾$

$T^2 = S^1 \\times S^1 \\cong [0,1]^2 /$（对边等同）

设 $X, Y$ 是不交空间，$A \\subseteq X$，$f: A \\to Y$ 连续。粘合空间（adjunction space）$X \\cup_f Y$ 是 $(X \\sqcup Y)/\\sim$，其中 $a \\sim f(a)$ 对所有 $a \\in A$。

$D^n \\cup_f Y$：将 $n$ 维圆盘沿边界通过 $f: S^{n-1} \\to Y$ 粘合到 $Y$ 上，称为贴一个 $n$胞腔。

若 $p: X \\to Y$ 是商映射，$Z$ 局部紧致Hausdorff，则 $p \\times \\text{id}_Z: X \\times Z \\to Y \\times Z$ 是商映射。

(1) 开满射是商映射

(2) 闭满射是商映射

证明：设 $p$ 开满射。若 $p^{-1}(U)$ 开，则 $p(p^{-1}(U)) = U$ 开。

证明 $[0,1]/\\sim$（$0 \\sim 1$）同胚于 $S^1$。

证明：定义 $f: [0,1] \\to S^1$，$f(t) = (\\cos(2\\pi t), \\sin(2\\pi t))$。则 $f$ 连续，$f(0) = f(1)$，故诱导 $\\bar{f}: [0,1]/\\sim \\to S^1$。$\\bar{f}$ 连续双射，$[0,1]/\\sim$ 紧致，$S^1$ Hausdorff，故是同胚。

证明：商映射 $p: X \\to Y$ 开当且仅当对任意开 $U \\subseteq X$，$p^{-1}(p(U))$ 开。

证明：$p^{-1}(p(U)) = \\bigcup_{x \\in U} [x]$，其中 $[x]$ 是等价类。若 $p$ 开，$p(U)$ 开，则原像开。反之，若条件成立，设 $U$ 开，则 $p^{-1}(p(U))$ 开，故 $p(U)$ 开。

习题 7.1 证明：$\\prod_{\\alpha} X_\\alpha$ Hausdorff 当且仅当每个 $X_\\alpha$ Hausdorff。

习题 7.2 证明：$[0,1]^2/²⁾ \\cong T^2$。

习题 7.3 证明：$S^n \\cong D^n/\\partial D^n$。

习题 7.4 证明：实射影直线 $\\mathbb{R}P^1 \\cong S^1$。

习题 7.5 证明：商映射的复合是商映射。

习题 7.6 设 $p: X \\to Y$ 是商映射，$A \\subseteq X$ 是饱和的（$A = p^{-1}(p(A))$）。证明：$p|_A: A \\to p(A)$ 是商映射。

习题 7.7 证明：$X \\times Y$ 道路连通当且仅当 $X, Y$ 都道路连通。

习题 7.8 构造一个商空间不 Hausdorff 的例子，尽管原空间 Hausdorff。

习题 7.9 研究 $S^1 \\vee S^1$（两个圆 wedged 于一点）的基本群。

习题 7.10 证明：$\\mathbb{R}P^n$ 紧致、连通、Hausdorff。