设 $X, Y$ 是拓扑空间，$f, g: X \\to Y$ 是连续映射。同伦（homotopy）是连续映射 $H: X \\times [0,1] \\to Y$ 使得： $$H(x, 0) = f(x), \\quad H(x, 1) = g(x)$$

若存在这样的 $H$，称 $f$ 同伦于 $g$，记作 $f \\simeq g$ 或 $f \\simeq_H g$。

直观：同伦是映射的连续形变，$t$ 是形变参数。

同伦是等价关系。

证明：

1. 自反：$H(x,t) = f(x)$
2. 对称：若 $H: f \\simeq g$，则 $\\tilde{H}(x,t) = H(x, 1-t): g \\simeq f$
3. 传递：若 $H: f \\simeq g$，$K: g \\simeq h$，则

$$L(x,t) = \\begin{cases} H(x, 2t) & 0 \\leq t \\leq 1/2 \\
K(x, 2t-1) & 1/2 \\leq t \\leq 1 \\end{cases}$$ 是 $f$ 到 $h$ 的同伦。

设 $A \\subseteq X$，$f, g: X \\to Y$ 满足 $f|_A = g|_A$。称 $f$ 相对于 $A$ 同伦于 $g$，记作 $f \\simeq g \\text{ rel } A$，如果存在同伦 $H$ 使得对所有 $a \\in A$ 和 $t \\in [0,1]$，$H(a,t) = f(a) = g(a)$。

$[X, Y]$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的连续映射的同伦类集合。

若 $f \\simeq f'$，$g \\simeq g'$，且复合 $g \\circ f$ 有意义，则 $g \\circ f \\simeq g' \\circ f'$。

证明：设 $H: f \\simeq f'$，$K: g \\simeq g'$。则 $g \\circ H: g \\circ f \\simeq g \\circ f'$，且 $K \\circ (f' \\times \\text{id}): g \\circ f' \\simeq g' \\circ f'$。

设 $A \\subseteq X$。连续映射 $r: X \\to A$ 称为收缩（retraction），如果 $r|_A = \\text{id}_A$（即 $r(a) = a$ 对所有 $a \\in A$）。

收缩 $r: X \\to A$ 称为形变收缩（deformation retraction），如果 $i \\circ r \\simeq \\text{id}_X \\text{ rel } A$，其中 $i: A \\hookrightarrow X$ 是包含。

等价地，存在 $H: X \\times [0,1] \\to X$ 使得：

1. $H(x,0) = x$，$H(x,1) \\in A$
2. $H(a,t) = a$ 对所有 $a \\in A$

1. $\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\}$ 形变收缩到 $S^{n-1}$：$H(x,t) = (1-t)x + t\\frac{x}{|x|}$
2. Möbius 带形变收缩到其中线（同胚于 $S^1$）

空间 $X$ 和 $Y$ 称为同伦等价（homotopy equivalent），记作 $X \\simeq Y$，如果存在映射 $f: X \\to Y$，$g: Y \\to X$ 使得： $$g \\circ f \\simeq \\text{id}_X, \\quad f \\circ g \\simeq \\text{id}_Y$$

称 $f$ 是同伦等价，$g$ 是 $f$ 的同伦逆。

同伦等价是等价关系。

若 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核，则 $A \\simeq X$。

证明：取 $f = i: A \\hookrightarrow X$，$g = r: X \\to A$。则 $r \\circ i = \\text{id}_A$，$i \\circ r \\simeq \\text{id}_X$。

1. $\\mathbb{R}^n \\simeq \\{点\\}$：$\\mathbb{R}^n$ 可缩
2. $\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\} \\simeq S^{n-1}$
3. 穿孔环面 $\\simeq S^1 \\vee S^1$

空间 $X$ 称为可缩的（contractible），如果 $X \\simeq \\{点\\}$。

等价地，$\\text{id}_X$ 同伦于常值映射。

可缩空间必道路连通。

证明：设 $H: \\text{id}_X \\simeq c_{x_0}$（常值于 $x_0$）。则对任意 $x$，$\\gamma(t) = H(x,t)$ 是从 $x$ 到 $x_0$ 的道路。

1. 凸集（特别是 $\\mathbb{R}^n$）可缩
2. 星形区域可缩

$S^n$（$n \\geq 1$）、$S^1 \\vee S^1$ 不可缩。

拓扑空间的性质 $P$ 称为同伦不变量，如果 $X \\simeq Y$ 且 $X$ 有 $P$，则 $Y$ 也有 $P$。

同伦等价比同胚更弱，所以同伦不变量是同胚不变量。

1. 道路连通分支个数是同伦不变量
2. 基本群（见第十章）是同伦不变量
3. 同调群（见第十三至十七章）是同伦不变量

证明 $\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\} \\simeq S^{n-1}$。

证明：定义 $r: \\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\} \\to S^{n-1}$，$r(x) = x/|x|$。这是收缩。定义 $H(x,t) = (1-t)x + tx/|x|$，则 $H: \\text{id} \\simeq i \\circ r$。故 $r$ 是形变收缩，$\\mathbb{R}^n \\setminus \\{0\\} \\simeq S^{n-1}$。

证明：$X$ 可缩当且仅当对任意空间 $Y$，任意两映射 $f, g: Y \\to X$ 同伦。

证明：($\\Rightarrow$) 设 $H: \\text{id}_X \\simeq c_{x_0}$。则 $H \\circ (f \\times \\text{id}): f \\simeq c_{x_0} \\circ f = c_{x_0}$，同理 $g \\simeq c_{x_0}$，故 $f \\simeq g$。

($\\Leftarrow$) 取 $Y = X$，$f = \\text{id}_X$，$g$ 为常值映射。

习题 9.1 证明：若 $f \\simeq g: X \\to Y$，$h: Y \\to Z$ 连续，则 $h \\circ f \\simeq h \\circ g$。

习题 9.2 证明：$[X, Y]$ 的基数是同伦不变量。

习题 9.3 证明：$S^1$ 不是 $D^2$ 的收缩核。

习题 9.4 证明：Möbius 带形变收缩到其中线。

习题 9.5 证明：$X \\times Y \\simeq Y \\times X$。

习题 9.6 证明：可缩空间的收缩核可缩。

习题 9.7 证明：若 $X$ 可缩，$Y$ 道路连通，则 $[X, Y]$ 只有一个元素。

习题 9.8 证明：$S^n$ 不可缩（提示：利用第十章基本群或第十七章同调）。

习题 9.9 研究 $S^1 \\vee S^1$ 的同伦型。

习题 9.10 证明：道路连通性是同伦不变量。