空间 $X$ 称为 T0 空间，如果对任意不同的两点 $x, y \\in X$，存在开集包含其中一点而不包含另一点。即：要么存在开集 $U$ 使 $x \\in U, y \\notin U$，要么存在开集 $V$ 使 $y \\in V, x \\notin V$。

等价刻画：$X$ 是 T0 当且仅当对 $x \\neq y$，$\\overline{\\{x\\}} \\neq \\overline{\\{y\\}}$。

1. Sierpinski 空间 $\\{0, 1\\}$，$\\mathcal{T} = \\{\\emptyset, \\{1\\}, \\{0,1\\}\\}$ 是 T0 但不可分离 $0$ 和 $1$。

空间 $X$ 称为 T1 空间，如果对任意不同的两点 $x, y$，存在开集 $U$ 使 $x \\in U, y \\notin U$（同时存在开集 $V$ 使 $y \\in V, x \\notin V$）。

等价刻画：

(1) 单点集是闭集

(2) 任意子集是闭集的交

余有限拓扑是 T1（单点集的补集是开的）。

空间 $X$ 称为 Hausdorff 空间 或 T2 空间，如果对任意不同的 $x, y \\in X$，存在不交的开集 $U, V$ 使 $x \\in U, y \\in V$。

(1) Hausdorff 空间是 T1

(2) 子空间遗传性：Hausdorff 空间的子空间 Hausdorff

(3) 积遗传性：$\\prod X_\\alpha$ Hausdorff 当且仅当每个 $X_\\alpha$ Hausdorff

证明：(1) 取 $U, V$ 不交，则 $U \\cap \\{y\\} = \\emptyset$。

(3) ($\\Rightarrow$)：投影连续，$X_\\alpha$ 同胚于子空间。

($\\Leftarrow$)：设 $x \\neq y$，则某坐标 $x_\\alpha \\neq y_\\alpha$。取 $U_\\alpha, V_\\alpha$ 分离，则 $\\pi_\\alpha^{-1}(U_\\alpha), \\pi_\\alpha^{-1}(V_\\alpha)$ 分离 $x, y$。

在 Hausdorff 空间中：

(1) 紧致子集是闭集

(2) 收敛序列极限唯一

空间 $X$ 称为 正则的（regular），如果对任意闭集 $F$ 和 $x \\notin F$，存在不交开集 $U, V$ 使 $F \\subseteq U, x \\in V$。

T3 空间：正则的 T1 空间。

$X$ 正则当且仅当对任意开集 $U$ 和 $x \\in U$，存在开集 $V$ 使 $x \\in V \\subseteq \\bar{V} \\subseteq U$。

证明：应用定义于 $F = X \\setminus U$。

1. 度量空间是 T3：取 $d(x, F) = \\inf_{y \\in F} d(x,y) > 0$，令 $U = B(x, \\epsilon/2)$，$V = \\bigcup_{y \\in F} B(y, \\epsilon/2)$

空间 $X$ 称为 正规的（normal），如果对任意不交闭集 $A, B$，存在不交开集 $U, V$ 使 $A \\subseteq U, B \\subseteq V$。

T4 空间：正规的 T1 空间。

设 $X$ 是正规空间，$A, B$ 是不交闭集。则存在连续函数 $f: X \\to [0,1]$ 使得 $f|_A = 0, f|_B = 1$。

证明概要：

对每个有理数 $r \\in [0,1] \\cap \\mathbb{Q}$，构造开集 $U_r$ 使得 $r < s \\Rightarrow \\bar{U}_r \\subseteq U_s$。

定义 $f(x) = \\inf\\{r : x \\in U_r\\}$（若 $x \\notin U_1$ 令 $f(x) = 1$）。

验证 $f$ 连续：$f^{-1}([0,a)) = \\bigcup_{r < a} U_r$ 开，$f^{-1}((a,1]) = X \\setminus \\bigcap_{r > a} \\bar{U}_r$ 开。

设 $X$ 正规，$A \\subseteq X$ 闭。则任意连续函数 $f: A \\to \\mathbb{R}$ 可延拓为连续函数 $\\tilde{f}: X \\to \\mathbb{R}$。

证明概要：先证 $f: A \\to [0,1]$ 情形。用Urysohn引理构造逼近序列。

紧致Hausdorff空间是正规的（从而是T4）。

$$\\text{T4} \\Rightarrow \\text{T3} \\Rightarrow \\text{T2} \\Rightarrow \\text{T1} \\Rightarrow \\text{T0}$$

各包含关系是真包含。

1. 余有限拓扑：T1 但非 T2（若 $X$ 无限）
2. 实数线取右半开区间拓扑：T3 但非 T4

证明：$X$ 是 T1 当且仅当任意有限集是闭集。

证明：($\\Rightarrow$) 单点闭，有限并闭。

($\\Leftarrow$) 设 $x \\neq y$，则 $\\{y\\}$ 闭，$X \\setminus \\{y\\}$ 是含 $x$ 不含 $y$ 的开集。

证明度量空间是正规的。

证明：设 $A, B$ 不交闭。对每个 $a \\in A$，取 $\\epsilon_a$ 使 $B(a, \\epsilon_a) \\cap B = \\emptyset$。类似对每个 $b \\in B$。

令 $U = \\bigcup_{a \\in A} B(a, \\epsilon_a/2)$，$V = \\bigcup_{b \\in B} B(b, \\epsilon_b/2)$。

若 $x \\in U \\cap V$，则存在 $a, b$ 使 $d(x,a) < \\epsilon_a/2$，$d(x,b) < \\epsilon_b/2$。则 $d(a,b) < (\\epsilon_a + \\epsilon_b)/2$。若 $\\epsilon_a \\leq \\epsilon_b$，则 $d(a,b) < \\epsilon_b$，即 $a \\in B(b, \\epsilon_b)$，矛盾。

习题 5.1 证明：T1 空间中有限集是闭集。

习题 5.2 证明：Hausdorff 空间中紧致子集是闭集。

习题 5.3 证明：正则且第二可数的空间是正规空间。

习题 5.4 证明：序拓扑是正规的。

习题 5.5 用 Urysohn 引理证明：正规空间中，任意闭集是 $G_\\delta$ 集（可数个开集的交）当且仅当空间是完美正规的。

习题 5.6 证明：$\\mathbb{R}^I$（不可数积）不是正规空间。

习题 5.7 构造一个 T2 但不正则的空间。

习题 5.8 证明：局部紧致的Hausdorff空间是正则的。

习题 5.9 证明：度量空间可以嵌入到某个 $[0,1]^J$ 中。

习题 5.10 证明：紧致Hausdorff空间可度量化当且仅当第二可数。