$\\mathbb{R}^N$ 中的点 $v_0, v_1, \\ldots, v_n$ 称为几何无关的，如果向量 $v_1 - v_0, \\ldots, v_n - v_0$ 线性无关。

等价地，$\\sum_{i=0}^n \\lambda_i v_i = 0$ 且 $\\sum \\lambda_i = 0$ 蕴含所有 $\\lambda_i = 0$。

设 $v_0, \\ldots, v_n$ 几何无关。n维单纯形（$n$-simplex）$\\sigma = [v_0, \\ldots, v_n]$ 定义为： $$\\sigma = \\{\\sum_{i=0}^n \\lambda_i v_i : \\lambda_i \\geq 0, \\sum \\lambda_i = 1\\}$$

$v_i$ 称为顶点，$\\lambda_i$ 称为重心坐标。

若 $\\tau \\subseteq \\sigma$ 且 $\\tau$ 的顶点集是 $\\sigma$ 顶点集的子集，则 $\\tau$ 称为 $\\sigma$ 的面（face）。真面指 $\\tau \\neq \\sigma$。

$\\mathbb{R}^N$ 中的单纯复形 $K$ 是满足以下条件的单纯形集合：

(1) 若 $\\sigma \\in K$ 且 $\\tau$ 是 $\\sigma$ 的面，则 $\\tau \\in K$

(2) 若 $\\sigma, \\tau \\in K$，则 $\\sigma \\cap \\tau$ 是两者的公共面（或空集）

1. $\\dim K = \\sup\\{\\dim \\sigma : \\sigma \\in K\\}$
2. k维骨架 $K^{(k)}$：$K$ 中维数 $\\leq k$ 的单纯形

单纯复形 $K$ 的多面体（polyhedron）是 $||K|| = \\bigcup_{\\sigma \\in K} \\sigma \\subseteq \\mathbb{R}^N$，赋予子空间拓扑。

拓扑空间 $X$ 的三角剖分是单纯复形 $K$ 和同胚 $h: ||K|| \\to X$。可三角剖分的空间称为多面体。

1. $S^n$ 可三角剖分：$n+1$ 维单纯形的边界
2. 环面、Klein瓶可三角剖分
3. 流形（适当维数）可三角剖分

注：存在不可三角剖分的拓扑空间（如某些4维流形）。

单纯形 $\\sigma = [v_0, \\ldots, v_n]$ 的重心为： $$\\hat{\\sigma} = \\frac{1}{n+1}\\sum_{i=0}^n v_i$$

单纯复形 $K$ 的重心重分 $K'$ 是以 $K$ 的单纯形的重心为顶点，按包含关系构造的新单纯复形。

$||K'|| = ||K||$，且 $K'$ 的单纯形直径不超过 $K$ 的 $\\frac{n}{n+1}$ 倍。

映射 $f: K \\to L$ 称为单纯映射，如果它将顶点映到顶点，且保持面关系（$[v_0, \\ldots, v_n]$ 的像为 $[f(v_0), \\ldots, f(v_n)]$，可能有重复）。

设 $f: ||K|| \\to ||L||$ 连续。存在充分细的重心重分 $K^{®}$ 和单纯映射 $g: K^{®} \\to L$ 使得 $f$ 与 $g$ 同伦。

构造环面的三角剖分。

解答：环面可由正方形 $[0,1] \\times [0,1]$ 对边等同得到。将正方形分成两个三角形（沿对角线），得到环面的三角剖分，含2个2维单形、3个1维单形、1个顶点。

计算 $n$ 维单纯形的 $k$ 维面个数。

解答：$n$ 维单纯形有 $\\binom{n+1}{k+1}$ 个 $k$ 维面。

习题 13.1 证明：$K$ 是单纯复形当且仅当满足定义中的两个条件。

习题 13.2 构造 $S^2$ 的三角剖分（最少需要几个三角形？）。

习题 13.3 证明重心重分不改变多面体。

习题 13.4 构造Möbius带的三角剖分。

习题 13.5 证明：单纯复形的任意开覆盖有单纯逼近。

习题 13.6 计算 $n$ 维单纯形的欧拉示性数（顶点-边+面-…）。

习题 13.7 证明：紧致光滑流形可三角剖分。

习题 13.8 研究 $\\mathbb{R}P^2$ 的三角剖分。

习题 13.9 证明：可三角剖分的空间是局部可缩的。

习题 13.10 构造Klein瓶的三角剖分。