标准 $n$ 单形： $$\\Delta^n = \\{(t_0, \\ldots, t_n) \\in \\mathbb{R}^{n+1} : t_i \\geq 0, \\sum t_i = 1\\}$$

拓扑空间 $X$ 中的奇异 $n$ 单形是连续映射 $\\sigma: \\Delta^n \\to X$。

注：“奇异”指不必是嵌入，可以是退化映射。

$X$ 的奇异 $n$ 链群 $S_n(X)$ 是由奇异 $n$ 单形生成的自由Abel群。

第 $i$ 个面映射 $F^i: \\Delta^{n-1} \\to \\Delta^n$： $$F^i(t_0, \\ldots, t_{n-1}) = (t_0, \\ldots, t_{i-1}, 0, t_i, \\ldots, t_{n-1})$$

奇异边缘算子 $\\partial_n: S_n(X) \\to S_{n-1}(X)$： $$\\partial_n(\\sigma) = \\sum_{i=0}^n (-1)^i \\sigma \\circ F^i$$

$\\partial_{n-1} \\circ \\partial_n = 0$

$$H_n(X) = \\ker(\\partial_n) / \\text{im}(\\partial_{n+1})$$

若 $X = ||K||$ 是多面体，则 $H_n^{singular}(X) \\cong H_n^{simplicial}(K)$。

连续映射 $f: X \\to Y$ 诱导 $f_\\sharp: S_n(X) \\to S_n(Y)$，$f_\\sharp(\\sigma) = f \\circ \\sigma$。

(1) $f_\\sharp$ 与 $\\partial$ 交换：$f_\\sharp \\partial = \\partial f_\\sharp$

(2) 诱导同态 $f_*: H_n(X) \\to H_n(Y)$

(3) $(g \\circ f)_* = g_* \\circ f_*$

若 $f \\simeq g: X \\to Y$，则 $f_* = g_*: H_n(X) \\to H_n(Y)$。

证明概要：构造链同伦 $P: S_n(X) \\to S_{n+1}(Y)$ 使得 $\\partial P + P \\partial = g_\\sharp - f_\\sharp$。

同伦等价的空间有同构的奇异同调群。

增广 $\\epsilon: S_0(X) \\to \\mathbb{Z}$，$\\epsilon(\\sum n_i x_i) = \\sum n_i$。

约化同调群 $\\tilde{H}_n(X)$ 是增广链复形的同调： $$\\cdots \\to S_1(X) \\to S_0(X) \\xrightarrow{\\epsilon} \\mathbb{Z} \\to 0$$

有 $\\tilde{H}_n(X) = H_n(X)$（$n > 0$），$\\tilde{H}_0(X) \\oplus \\mathbb{Z} = H_0(X)$。

$X$ 可缩 $\\Rightarrow H_n(X) = \\begin{cases} \\mathbb{Z} & n = 0 \\
0 & n > 0 \\end{cases}$

$H_k(S^n) = \\begin{cases} \\mathbb{Z} & k = 0, n \\
0 & \\text{otherwise} \\end{cases}$

习题 15.1 验证奇异边缘算子满足 $\\partial^2 = 0$。

习题 15.2 证明：$H_n(X)$ 对同伦等价不变。

习题 15.3 计算 $H_n(\\vee_k S^1)$（$k$ 个圆 wedged 于一点）。

习题 15.4 证明：$X$ 道路连通当且仅当 $\\tilde{H}_0(X) = 0$。

习题 15.5 研究 $H_n(X \\vee Y)$。

习题 15.6 证明：若 $A \\subseteq X$ 是形变收缩核，则 $H_n(X, A) = 0$。

习题 15.7 计算 $H_n(T^2)$ 用奇异同调。

习题 15.8 证明Mayer-Vietoris序列的正合性。

习题 15.9 研究 $\\mathbb{R}^n$ 的同调群。

习题 15.10 计算透镜空间的同调群。