Abel群的序列 $\\cdots \\to A_{n+1} \\xrightarrow{f_{n+1}} A_n \\xrightarrow{f_n} A_{n-1} \\to \\cdots$ 称为正合的，如果对每个 $n$，$\\text{im}(f_{n+1}) = \\ker(f_n)$。

1. $0 \\to A \\xrightarrow{f} B$ 正合 $\\Leftrightarrow$ $f$ 单射
2. $A \\xrightarrow{f} B \\to 0$ 正合 $\\Leftrightarrow$ $f$ 满射
3. $0 \\to A \\xrightarrow{f} B \\to 0$ 正合 $\\Leftrightarrow$ $f$ 同构

空间偶 $(X, A)$ 指 $A \\subseteq X$ 是子空间。诱导 $i: A \\hookrightarrow X$，$j: X \\to (X, A)$。

对空间偶 $(X, A)$，存在自然的正合序列： $$\\cdots \\to H_n(A) \\xrightarrow{i_*} H_n(X) \\xrightarrow{j_*} H_n(X,A) \\xrightarrow{\\partial} H_{n-1}(A) \\to \\cdots$$

其中 $\\partial$ 是连接同态。

设 $(X, A)$ 是空间偶，$U \\subseteq A$ 满足 $\\bar{U} \\subseteq A^\\circ$。则： $$H_n(X \\setminus U, A \\setminus U) \\cong H_n(X, A)$$

直观：可“切除”内部的开集而不改变相对同调。

$H_n(D^n, S^{n-1}) \\cong \\tilde{H}_{n-1}(S^{n-1}) = \\begin{cases} \\mathbb{Z} & n \\geq 1 \\
0 & n = 0 \\end{cases}$

设 $X = A \\cup B$，$A, B$ 开。存在正合序列： $$\\cdots \\to H_n(A \\cap B) \\xrightarrow{(i_*, j_*)} H_n(A) \\oplus H_n(B) \\xrightarrow{k_* - l_*} H_n(X) \\xrightarrow{\\partial} H_{n-1}(A \\cap B) \\to \\cdots$$

应用：分解复杂空间为简单部分的并。

$S^n = D^n_+ \\cup D^n_-$，$D^n_+ \\cap D^n_- \\simeq S^{n-1}$。

用Mayer-Vietoris归纳得 $H_k(S^n)$。

同调理论 $H_*$ 满足：

1. 同伦公理：$f \\simeq g$ $\\Rightarrow$ $f_* = g_*$ 2. 正合公理：空间偶的长正合序列 3. 切除公理：切除定理 4. 维数公理：$H_n(\\{点\\}) = \\begin{cases} G & n = 0 \\
0 & n \\neq 0 \\end{cases}$

对任意Abel群 $G$，有短正合序列： $$0 \\to H_n(X) \\otimes G \\to H_n(X; G) \\to \\text{Tor}(H_{n-1}(X), G) \\to 0$$

且分裂（非自然）。

对空间 $X, Y$，有： $$H_n(X \\times Y) \\cong \\bigoplus_{p+q=n} H_p(X) \\otimes H_q(Y) \\oplus \\bigoplus_{p+q=n-1} \\text{Tor}(H_p(X), H_q(Y))$$

习题 16.1 证明五引理（Five Lemma）。

习题 16.2 用Mayer-Vietoris计算 $T^2$ 的同调。

习题 16.3 证明切除定理蕴含 $H_n(D^n, S^{n-1}) \\cong H_{n-1}(S^{n-1})$。

习题 16.4 推导Brouwer不动点定理从同调理论。

习题 16.5 证明：$H_n(X, A) = 0$ 对所有 $n$ 当且仅当 $A \\hookrightarrow X$ 诱导同调同构。

习题 16.6 研究 $H_n(X \\vee Y)$ 的计算。

习题 16.7 用长正合序列计算 $H_*(\\mathbb{R}P^n, \\mathbb{R}P^{n-1})$。

习题 16.8 证明万有系数定理。

习题 16.9 计算 $H_*(S^p \\times S^q)$。

习题 16.10 研究Künneth公式的分裂性质。