$n$ 维单纯形 $[v_0, \\ldots, v_n]$ 的定向是顶点的排列等价类，偶排列等价，奇排列给相反定向。记作 $\\langle v_0, \\ldots, v_n \\rangle$。

定向单纯形满足：$\\langle v_0, v_1, \\ldots \\rangle = -\\langle v_1, v_0, \\ldots \\rangle$。

设 $K$ 是单纯复形。$K$ 的p维链群 $C_p(K)$ 是由定向 $p$ 维单纯形生成的自由Abel群。

元素形如 $\\sum_{\\sigma} n_\\sigma \\sigma$，其中 $n_\\sigma \\in \\mathbb{Z}$，有限和。

1. $C_0(K)$：顶点形式的线性组合
2. $C_1(K)$：边的形式和（可看作“路径”）

边缘算子 $\\partial_p: C_p(K) \\to C_{p-1}(K)$ 定义为： $$\\partial_p(\\langle v_0, \\ldots, v_p \\rangle) = \\sum_{i=0}^p (-1)^i \\langle v_0, \\ldots, \\hat{v}_i, \\ldots, v_p \\rangle$$

其中 $\\hat{v}_i$ 表示删去 $v_i$。

$\\partial_{p-1} \\circ \\partial_p = 0$

证明：计算得每对 $(i,j)$ 出现两次，符号相反。

1. p维闭链：$Z_p(K) = \\ker(\\partial_p) = \\{c : \\partial_p c = 0\\}$
2. p维边缘链：$B_p(K) = \\text{im}(\\partial_{p+1})$

由 $\\partial^2 = 0$，有 $B_p(K) \\subseteq Z_p(K)$。

$$H_p(K) = Z_p(K) / B_p(K) = \\ker(\\partial_p) / \\text{im}(\\partial_{p+1})$$

1. $H_0(K)$：连通分支个数的自由Abel群（$\\cong \\mathbb{Z}^{\\#分支}$）
2. $H_n(\\Delta^n) = 0$（$n > 0$），$H_0 = \\mathbb{Z}$

三角剖分：一个三角形的三条边，或两个边构成的1维复形。

$H_0(S^1) = \\mathbb{Z}$（连通）

$H_1(S^1) = \\mathbb{Z}$（1维洞）

$H_p(S^1) = 0$（$p \\geq 2$）

四面体表面：4顶点、6边、4面。

$H_0 = \\mathbb{Z}$，$H_1 = 0$，$H_2 = \\mathbb{Z}$

$H_0 = \\mathbb{Z}$，$H_1 = \\mathbb{Z}^2$，$H_2 = \\mathbb{Z}$

(1) $H_p(K)$ 是Abel群（有限生成，当 $K$ 有限时）

(2) 同伦不变性：若 $||K|| \\simeq ||L||$，则 $H_p(K) \\cong H_p(L)$

(3) 切除定理：若 $A \\subseteq K$ 是子复形，适当条件下有 $H_p(K, A) \\cong H_p(K \\setminus U, A \\setminus U)$

设 $K$ 是有限单纯复形，$c_p$ 是 $p$ 维单纯形个数。则： $$\\chi(K) = \\sum_p (-1)^p c_p = \\sum_p (-1)^p \\text{rank}(H_p(K))$$

习题 14.1 验证 $\\partial^2 = 0$。

习题 14.2 计算 $S^n$ 的单纯同调群。

习题 14.3 计算 $\\mathbb{R}P^2$ 的同调群（用 $\\mathbb{Z}$ 和 $\\mathbb{Z}/2$ 系数）。

习题 14.4 证明：$H_0(K) = \\mathbb{Z}^{\\#\\text{连通分支}}$。

习题 14.5 计算Klein瓶的同调群。

习题 14.6 证明欧拉示性数是同伦不变量。

习题 14.7 设 $K$ 是树（无回路的连通1维复形），计算其同调群。

习题 14.8 研究Möbius带的同调群。

习题 14.9 证明：$H_p(K) \\cong H_p(K')$（重心重分不改变同调）。

习题 14.10 计算 $n$ 叶玫瑰线的同调群。