设 $X$ 是拓扑空间：

1. 开覆盖（open cover）：一族开集 $\\{U_\\alpha\\}_{\\alpha \\in I}$ 使得 $\\bigcup_{\\alpha \\in I} U_\\alpha = X$
2. 子覆盖（subcover）：开覆盖的子族，仍是覆盖
3. 有限子覆盖：有限个开集构成的子覆盖

空间 $X$ 称为紧致的（compact），如果每个开覆盖都有有限子覆盖。

1. 有限集：紧致（任何拓扑）
2. $\\mathbb{R}$：非紧致（$\\{(n, n+2) : n \\in \\mathbb{Z}\\}$ 无有限子覆盖）
3. $(0,1)$：非紧致（$\\{(1/n, 1) : n \\geq 2\\}$ 无有限子覆盖）

$\\mathbb{R}^n$ 的子集紧致当且仅当它是有界闭集。

证明概要：

($\\Rightarrow$) 设 $K$ 紧致。

1. 有界性：$\\{(-n,n)^n : n \\in \\mathbb{N}\\}$ 是开覆盖，有限子覆盖给出有界性。
2. 闭性：设 $x \\notin K$，对每个 $y \\in K$，取不交的开集 $U_y \\ni y$，$V_y \\ni x$。$\\{U_y\\}$ 覆盖 $K$，取有限子覆盖 $U_{y_1}, \\ldots, U_{y_n}$，则 $V = \\bigcap V_{y_i}$ 是 $x$ 的与 $K$ 不交的邻域。故 $K$ 闭。

($\\Leftarrow$) 设 $K$ 是有界闭集。由有界性，$K \\subseteq [-M, M]^n$。只需证 $[a,b]$ 紧致（因为紧致集的闭子集紧致，有限积紧致）。

$[a,b]$ 紧致：设 $\\mathcal{U}$ 是开覆盖。令 $S = \\{x \\in [a,b] : [a,x] 被有限覆盖\\}$。$S$ 非空（$a \\in S$），有上界，故 $c = \\sup S$ 存在。可证 $c = b$ 且 $b \\in S$。

若 $f: X \\to Y$ 连续，$X$ 紧致，则 $f(X)$ 紧致。

证明：设 $\\{V_\\alpha\\}$ 是 $f(X)$ 的开覆盖，则 $\\{f^{-1}(V_\\alpha)\\}$ 是 $X$ 的开覆盖。取有限子覆盖 $f^{-1}(V_{\\alpha_1}), \\ldots, f^{-1}(V_{\\alpha_n})$，则 $V_{\\alpha_1}, \\ldots, V_{\\alpha_n}$ 覆盖 $f(X)$。

紧致的Hausdorff空间上的连续实值函数有最大值和最小值。

紧致空间的闭子集紧致。

证明：设 $F$ 闭，$\\mathcal{U}$ 是 $F$ 的开覆盖。则 $\\mathcal{U} \\cup \\{X \\setminus F\\}$ 是 $X$ 的开覆盖，有有限子覆盖，即得 $F$ 的有限子覆盖。

在Hausdorff空间中：

(1) 紧致子集是闭集

(2) 两个不相交紧致集可用不交开集分离

证明：(1) 同Heine-Borel定理证明中的闭性部分。

设 $X$ 紧致Hausdorff，则：

(1) $X$ 是正规空间（见第五章）

(2) $X$ 不能赋严格更细的紧致拓扑

空间 $X$ 称为列紧的（sequentially compact），如果每个序列都有收敛子列。

空间 $X$ 称为可数紧致的（countably compact），如果每个可数开覆盖都有有限子覆盖。

空间 $X$ 称为极限点紧致的（limit point compact），如果每个无限子集都有极限点。

紧致 $\\Rightarrow$ 可数紧致 $\\Leftrightarrow$ 极限点紧致

在度量空间中，紧致 $\\Leftrightarrow$ 列紧 $\\Leftrightarrow$ 可数紧致

证明概要：

1. 紧致 $\\Rightarrow$ 可数紧致：显然
2. 可数紧致 $\\Rightarrow$ 极限点紧致：若 $A$ 无限无极限点，则对每个 $x$，存在开集 $U_x$ 使 $U_x \\cap A \\subseteq \\{x\\}$。可数子覆盖给出矛盾。
3. 在度量空间中：列紧 $\\Rightarrow$ 全有界 $\\Rightarrow$ 紧致

空间 $X$ 称为局部紧致的（locally compact），如果对每个 $x \\in X$，存在紧致的邻域（即存在开集 $U$ 和紧致集 $K$ 使得 $x \\in U \\subseteq K$）。

等价定义（Hausdorff空间）：每点有紧邻域基。

1. $\\mathbb{R}^n$ 局部紧致（$\\overline{B(x,1)}$ 紧致）
2. 无限维Banach空间不局部紧致（单位球不紧）

(1) 紧致空间必局部紧致

(2) 局部紧致的开子集局部紧致

(3) 局部紧致的闭子集局部紧致

(4) $\\mathbb{R}^n$ 局部紧致

设 $X$ 是局部紧致Hausdorff空间，则存在紧致Hausdorff空间 $Y$ 使得 $X$ 同胚于 $Y \\setminus \\{\\infty\\}$。

构造：$Y = X \\cup \\{\\infty\\}$，拓扑为 $\\mathcal{T}_X \\cup \\{Y \\setminus K : K \\subseteq X 紧致\\}$。

证明 $[0,1]$ 紧致。

证明：设 $\\mathcal{U}$ 是开覆盖。令 $S = \\{x \\in [0,1] : [0,x] 被有限覆盖\\}$。

$S \\neq \\emptyset$（$0$ 在某开集 $U_0$ 中，$[0,\\epsilon) \\subseteq U_0$ 对某 $\\epsilon > 0$）。

设 $c = \\sup S$。若 $c < 1$，设 $c \\in U \\in \\mathcal{U}$，则存在 $\\epsilon > 0$ 使 $(c-\\epsilon, c+\\epsilon) \\subseteq U$。由 $c$ 定义，存在 $x \\in S$ 使 $x > c - \\epsilon$。则 $[0,x]$ 被有限覆盖，加上 $U$ 覆盖 $[0, c+\\epsilon/2]$，矛盾。

故 $c = 1$，且类似证明 $1 \\in S$。

证明：$f: [0,1] \\to \\mathbb{R}$ 连续，则 $f$ 一致连续。

证明：给定 $\\epsilon > 0$，对每个 $x$，存在 $\\delta_x$ 使得 $|x-y| < \\delta_x \\Rightarrow |f(x)-f(y)| < \\epsilon/2$。

$\\{(x-\\delta_x/2, x+\\delta_x/2)\\}$ 覆盖 $[0,1]$，取有限子覆盖对应 $x_1, \\ldots, x_n$。令 $\\delta = \\min\\{\\delta_{x_i}/2\\}$。

若 $|x-y| < \\delta$，则 $x \\in (x_i-\\delta_{x_i}/2, x_i+\\delta_{x_i}/2)$ 对某 $i$。则 $|y-x_i| \\leq |y-x| + |x-x_i| < \\delta + \\delta_{x_i}/2 \\leq \\delta_{x_i}$。故 $|f(x)-f(y)| \\leq |f(x)-f(x_i)| + |f(x_i)-f(y)| < \\epsilon$。

习题 4.1 证明：离散空间紧致当且仅当有限。

习题 4.2 证明：紧致空间的连续像是紧致的。

习题 4.3 设 $X$ 紧致，$Y$ Hausdorff，$f: X \\to Y$ 连续双射，证明 $f$ 是同胚。

习题 4.4 证明：$\\mathbb{R}^n$ 的紧子集是有界闭集。

习题 4.5 证明：可数紧致空间的闭子集可数紧致。

习题 4.6 证明：列紧度量空间完备。

习题 4.7 设 $X$ 紧致Hausdorff，证明 $X$ 是正规空间。

习题 4.8 证明局部紧致性的开子集和闭子集遗传性。

习题 4.9 构造一个紧致但不列紧的拓扑空间。

习题 4.10 证明：$\\mathbb{R}^n$ 中的有界序列有收敛子列。