引例： 芝诺悖论——阿基里斯追龟

阿基里斯速度是龟的 10 倍，龟在阿基里斯前面 100 米处。当阿基里斯到达龟的起点时，龟向前爬了 10 米；当他跑完这 10 米，龟又爬了 1 米……

总距离 = $100 + 10 + 1 + 0.1 + \cdots = \frac{100}{1 - 0.1} = \frac{1000}{9} \approx 111.11$ 米

定义 5.1（常数项级数） 给定数列 $\{u_n\}$，表达式 $$u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} u_n$$ 称为常数项级数，简称级数。$u_n$ 称为级数的一般项。

定义 5.2（级数的收敛性） 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和： $$S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$$

若部分和数列 $\{S_n\}$ 收敛，即 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ 存在，则称级数收敛，$S$ 称为级数的和；若 $\{S_n\}$ 发散，则称级数发散。

当级数收敛时，称 $r_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} u_k$ 为级数的余项。

例 5.1 讨论等比级数（几何级数）$\sum_{n=0}^{\infty} aq^n$（$a \neq 0$）的敛散性。

解： 部分和 $S_n = a + aq + \cdots + aq^{n-1} = \begin{cases} \frac{a(1-q^n)}{1-q}, & q \neq 1
na, & q = 1 \end{cases}$

- $|q| < 1$：$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$，$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1-q}$，级数收敛 - $|q| > 1$：$\lim_{n \to \infty} q^n = \infty$，级数发散 - $q = 1$：$S_n = na \to \infty$（$a \neq 0$），级数发散 - $q = -1$：$S_n = \begin{cases} a, & n \text{ 奇}
0, & n \text{ 偶} \end{cases}$，级数发散

结论： 等比级数当且仅当 $|q| < 1$ 时收敛，和为 $\frac{a}{1-q}$。

例 5.2 讨论调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的敛散性。

解： $S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$

$$\begin{aligned} S_{2^n} &= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) + \cdots
&> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots \end{aligned}$$

$S_{2^n} > 1 + \frac{n}{2} \to \infty$，故调和级数发散。

例 5.3 讨论 $p$-级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的敛散性。

结论： - $p > 1$：级数收敛 - $p \leq 1$：级数发散（$p=1$ 时为调和级数）

性质 1（线性性质） 若 $\sum u_n$ 收敛于 $S$，$\sum v_n$ 收敛于 $\sigma$，则 $\sum (u_n \pm v_n)$ 收敛于 $S \pm \sigma$。

性质 2（数乘） 若 $\sum u_n$ 收敛于 $S$，$k$ 为常数，则 $\sum ku_n$ 收敛于 $kS$。

性质 3（去掉、添加或改变有限项） 不改变级数的敛散性（但可能改变和）。

性质 4（加括号） 若级数收敛，则对其任意加括号后所得级数仍收敛且和不变。

推论： 若加括号后级数发散，则原级数发散。

注意： 加括号后收敛不能推出原级数收敛！

性质 5（收敛的必要条件） 若 $\sum u_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。

证明： $u_n = S_n - S_{n-1}$，若级数收敛，$\lim u_n = S - S = 0$。

注意： $\lim u_n = 0$ 不是充分条件！（如调和级数）

定义 5.3（正项级数） 若 $u_n \geq 0$（$n = 1, 2, \ldots$），则称 $\sum u_n$ 为正项级数。

特点： 部分和数列 $\{S_n\}$ 单调递增。

定理 5.1（正项级数收敛的充要条件） 正项级数收敛 $\Leftrightarrow$ 部分和数列有上界。

定理 5.2（比较审敛法） 设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 都是正项级数，且 $u_n \leq v_n$（$n$ 充分大时）： - 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛 - 若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum v_n$ 发散

极限形式： 设 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{v_n} = l$： - $0 < l < +\infty$：两级数同敛散 - $l = 0$：若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛 - $l = +\infty$：若 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散

例 5.4 判别 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$ 的敛散性。

解： $\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \sim \frac{1}{n}$（$n \to \infty$）

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}}{\frac{1}{n}} = 1$，而 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，故原级数发散。

例 5.5 判别 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin\frac{1}{n}$ 的敛散性。

解： $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$（$n \to \infty$），故级数发散。

定理 5.3（比值审敛法） 设 $\sum u_n$ 是正项级数，若 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$： - $\rho < 1$：级数收敛 - $\rho > 1$（或 $\rho = +\infty$）：级数发散 - $\rho = 1$：判别法失效

例 5.6 判别 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。

解： $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} \to \frac{1}{e} < 1$$

故级数收敛。

定理 5.4（根值审敛法） 设 $\sum u_n$ 是正项级数，若 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$： - $\rho < 1$：级数收敛 - $\rho > 1$（或 $\rho = +\infty$）：级数发散 - $\rho = 1$：判别法失效

例 5.7 判别 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ 的敛散性。

解： $$\sqrt[n]{u_n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac{1}{2} < 1$$

故级数收敛。

定理 5.5（积分审敛法） 设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上非负、连续、单调递减，则 $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与 $\int_1^{+\infty} f(x)dx$ 同敛散。

例 5.8 用积分审敛法讨论 $p$-级数。

解： $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ 当 $p > 1$ 时收敛，$p \leq 1$ 时发散，故 $p$-级数同敛散。

定义 5.4（交错级数） 形如 $u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + \cdots$（$u_n > 0$）或 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}u_n$ 的级数称为交错级数。

定理 5.6（莱布尼茨判别法） 若交错级数满足： 1. $u_n \geq u_{n+1}$（$n = 1, 2, \ldots$）（单调递减） 2. $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$

则级数收敛，且其和 $S \leq u_1$，余项 $|r_n| \leq u_{n+1}$。

例 5.9 判别 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$ 的敛散性。

解： $u_n = \frac{1}{n}$ 单调递减趋于 0，由莱布尼茨判别法，级数收敛。

（这是交错调和级数，和为 $\ln 2$）

定义 5.5 设 $\sum u_n$ 是任意项级数： - 若 $\sum |u_n|$ 收敛，则称 $\sum u_n$ 绝对收敛 - 若 $\sum |u_n|$ 发散但 $\sum u_n$ 收敛，则称 $\sum u_n$ 条件收敛

定理 5.7 若级数绝对收敛，则级数必收敛。

注意： 反之不成立！

例 5.10 - $\sum (-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$ 绝对收敛 - $\sum (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$ 条件收敛（非绝对收敛）

定义 5.6（函数项级数） 设 $\{u_n(x)\}$ 是定义在区间 $I$ 上的函数列，表达式 $$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) = u_1(x) + u_2(x) + \cdots$$ 称为函数项级数。

对于 $x_0 \in I$： - 若 $\sum u_n(x_0)$ 收敛，称 $x_0$ 为收敛点 - 所有收敛点组成的集合称为收敛域

和函数： $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$（$x$ 属于收敛域）

定义 5.7（幂级数） 形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ 的函数项级数称为幂级数。特别地，$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 称为标准幂级数。

定理 5.8（阿贝尔定理） 若幂级数 $\sum a_n x^n$ 在 $x = x_0$（$x_0 \neq 0$）处收敛，则对任意 $|x| < |x_0|$，级数绝对收敛；若在 $x = x_0$ 处发散，则对任意 $|x| > |x_0|$，级数发散。

推论： 存在 $R \geq 0$（称为收敛半径），使得： - $|x| < R$：级数绝对收敛 - $|x| > R$：级数发散 - $|x| = R$：需单独判断

收敛半径的求法： 若 $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$ 或 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$，则 $$R = \begin{cases} \frac{1}{\rho}, & 0 < \rho < +\infty
+\infty, & \rho = 0
0, & \rho = +\infty \end{cases}$$

例 5.11 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛域。

解： $a_n = \frac{1}{n}$，$\rho = \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1$，$R = 1$

$x = 1$：$\sum \frac{1}{n}$ 发散

$x = -1$：$\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 收敛

收敛域： $[-1, 1)$

性质 1（连续性） 幂级数的和函数在收敛域内连续。

性质 2（逐项求导） $$S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1}$$ 求导后级数收敛半径不变。

性质 3（逐项积分） $$\int_0^x S(t)dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$$ 积分后级数收敛半径不变。

例 5.12 求 $\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}$ 的和函数（$|x| < 1$）。

解： 设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}$

$$\int_0^x S(t)dt = \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}$$

$$S(x) = \left(\frac{x}{1-x}\right)' = \frac{1}{(1-x)^2}$$

泰勒级数 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有各阶导数，则 $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$$

若 $\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0$，则 $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$ 称为 $f(x)$ 的泰勒展开式。

当 $x_0 = 0$ 时，称为麦克劳林展开式： $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

常用函数的幂级数展开：

1. $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$（$-\infty < x < +\infty$）

2. $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$（$-\infty < x < +\infty$）

3. $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$（$-\infty < x < +\infty$）

4. $\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$（$-1 < x \leq 1$）

5. $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots$（$-1 < x < 1$）

三角级数： $$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

三角函数系的正交性： 函数系 $\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots\}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上正交：

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx = \begin{cases} 0, & m \neq n
\pi, & m = n \neq 0
2\pi, & m = n = 0 \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx dx = \begin{cases} 0, & m \neq n
\pi, & m = n \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sin nx dx = 0$$

傅里叶系数： $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx dx \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx dx \quad (n = 1, 2, \ldots)$$

傅里叶级数： $$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

狄利克雷收敛定理 设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，若满足： 1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2. 在一个周期内至多只有有限个极值点

则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，且： - 当 $x$ 是连续点时，级数收敛于 $f(x)$ - 当 $x$ 是间断点时，级数收敛于 $\frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}$

例 5.13 将 $f(x) = x$（$-\pi < x \leq \pi$）展开成傅里叶级数。

解： $f(x)$ 是奇函数，故 $a_n = 0$

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin nx dx = \frac{2}{n}(-1)^{n+1}$$

$$x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx \quad (-\pi < x < \pi)$$

例题 5.1 判别 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$ 的敛散性。

解： 当 $n \geq 2$ 时，$\ln n < n$，故 $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$

由比较审敛法，因 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，故 $\sum \frac{1}{\ln n}$ 发散。

例题 5.2 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 2^n}$ 的收敛域。

解： $\rho = \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2}$，$R = 2$

$x = 2$：$\sum \frac{1}{n}$ 发散

$x = -2$：$\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 收敛

收敛域： $[-2, 2)$

基础题 1. 用定义判别 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ 的敛散性，若收敛求其和。

2. 判别下列级数的敛散性：

 (a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$
 (b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{10^n}$

3. 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的收敛域及和函数。

提高题 4. 判别 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln n}{n}$ 是绝对收敛还是条件收敛。

5. 将 $f(x) = \frac{1}{x}$ 展开成 $(x-2)$ 的幂级数。

挑战题 6. 设 $a_n > 0$，$\sum a_n$ 发散，$S_n = a_1 + \cdots + a_n$，证明 $\sum \frac{a_n}{S_n^2}$ 收敛。

7. 证明：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。

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