邻域： 点 $P_0(x_0, y_0)$ 的 $\delta$ 邻域 $$U(P_0, \delta) = \{(x, y) : \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta\}$$

去心邻域： $$\mathring{U}(P_0, \delta) = U(P_0, \delta) \setminus \{P_0\}$$

点与点集的关系： - 内点： 存在邻域完全含于点集内 - 外点： 存在邻域与点集不相交 - 边界点： 任意邻域既含点集中的点又含点集外的点 - 聚点： 任意去心邻域内都含有集中的点

开集与闭集： - 开集： 所有点都是内点 - 闭集： 含有所有聚点 - 区域： 连通的开集

定义 6.1（二元函数） 设 $D$ 是平面上的一个非空点集，若对 $D$ 中每一点 $(x, y)$，按照某种法则 $f$，都有唯一确定的实数 $z$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，记为 $$z = f(x, y), \quad (x, y) \in D$$

类似可定义 $n$ 元函数 $u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$。

定义域： 使函数有意义的自变量取值范围。

例 6.1 求 $z = \sqrt{x^2 + y^2 - 1} + \ln(4 - x^2 - y^2)$ 的定义域。

解： 需满足： $$\begin{cases} x^2 + y^2 - 1 \geq 0
4 - x^2 - y^2 > 0 \end{cases}$$

即 $1 \leq x^2 + y^2 < 4$，定义域是圆环（包含内边界，不含外边界）。

定义 6.2（二重极限） 设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内有定义，$P_0(x_0, y_0)$ 是 $D$ 的聚点，$A$ 是常数。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $P(x, y) \in D \cap \mathring{U}(P_0, \delta)$ 时，有 $|f(x, y) - A| < \varepsilon$，则称 $$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = A$$

注意： 二重极限要求点 $(x, y)$ 以任何方式趋于 $(x_0, y_0)$ 时极限都存在且相等。

例 6.2 证明 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} = 0$。

证明： 当 $(x, y) \neq (0, 0)$ 时： $$\left|\frac{x^2y}{x^2 + y^2}\right| \leq |y| \leq \sqrt{x^2 + y^2}$$

对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \varepsilon$，当 $0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$ 时： $$\left|\frac{x^2y}{x^2 + y^2} - 0\right| < \varepsilon$$

例 6.3 讨论 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2}$ 是否存在。

解： 沿 $y = kx$ 路径： $$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot kx}{x^2 + k^2x^2} = \frac{k}{1 + k^2}$$

与 $k$ 有关，故极限不存在。

定义 6.3（连续性） 设 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内有定义，$P_0(x_0, y_0) \in D$，若 $$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0)$$ 则称 $f(x, y)$ 在 $P_0$ 处连续。

若 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内每一点都连续，则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 内连续。

性质： - 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续 - 连续函数的复合函数仍连续 - 多元初等函数在其定义域内连续

有界闭区域上连续函数的性质： 1. 有界性： 在有界闭区域上连续的函数必有界 2. 最值定理： 在有界闭区域上连续的函数必能取到最大值和最小值 3. 介值定理： 在有界闭区域上连续的函数必能取到最大值和最小值之间的任何值

定义 6.4（偏导数） 设 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，若极限 $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$ 存在，则称此极限为 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记为 $$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)}, \quad \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)}, \quad f_x(x_0, y_0), \quad z_x(x_0, y_0)$$

类似可定义对 $y$ 的偏导数。

偏导函数： $$f_x(x, y) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$

几何意义： $f_x(x_0, y_0)$ 表示曲面 $z = f(x, y)$ 与平面 $y = y_0$ 的交线在点 $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$ 处切线对 $x$ 轴的斜率。

例 6.4 设 $f(x, y) = x^2y + y^3$，求偏导数。

解： $$f_x = 2xy, \quad f_y = x^2 + 3y^2$$

例 6.5 设 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0)
0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$，求 $f_x(0,0)$，$f_y(0,0)$。

解： $$f_x(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0$$

同理 $f_y(0,0) = 0$。

注意： 偏导数存在不一定连续！上例中 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续（例 6.3），但偏导数存在。

定义 6.5（二阶偏导数） $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$$ $$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$$

其中 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 称为混合偏导数。

定理 6.1 若 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在区域 $D$ 内连续，则在 $D$ 内 $$f_{xy} = f_{yx}$$

（混合偏导数与求导顺序无关）

引例： 矩形面积 $S = xy$，当边长有增量 $\Delta x, \Delta y$ 时： $$\Delta S = (x+\Delta x)(y+\Delta y) - xy = y\Delta x + x\Delta y + \Delta x \Delta y$$

当 $(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)$ 时，$\Delta x \Delta y$ 是 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 的高阶无穷小。

定义 6.6（全微分） 设 $z = f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内有定义，若全增量 $$\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$$ 可表示为 $$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$$ 其中 $A, B$ 不依赖于 $\Delta x, \Delta y$，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则称 $f$ 在 $(x, y)$ 处可微。

$A\Delta x + B\Delta y$ 称为 $f$ 在 $(x, y)$ 处的全微分，记为 $dz$： $$dz = A\Delta x + B\Delta y$$

定理 6.2（可微的必要条件） 若 $z = f(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处可微，则： 1. $f$ 在 $(x, y)$ 处连续 2. $f$ 在 $(x, y)$ 处偏导数存在，且 $A = f_x(x, y)$，$B = f_y(x, y)$

即 $$dz = f_x(x, y)dx + f_y(x, y)dy = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$

定理 6.3（可微的充分条件） 若 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_x, f_y$ 在 $(x, y)$ 处连续，则 $f$ 在 $(x, y)$ 处可微。

关系图： ``` 偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 偏导数存在

  ⇓           ⇓
连续         连续

```

例 6.6 求 $z = x^2y + y^2$ 的全微分。

解： $$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 2y$$ $$dz = 2xy dx + (x^2 + 2y)dy$$

定理 6.4（链式法则） 设 $z = f(u, v)$，$u = u(x, y)$，$v = v(x, y)$，若 $f$ 可微，$u, v$ 偏导数存在，则 $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

特殊情形：

1. $z = f(u, v)$，$u = u(x)$，$v = v(x)$（一元复合） $$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dx} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dx}$$ （全导数）

2. $z = f(u, v)$，$u = x$，$v = v(x, y)$ $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

例 6.7 设 $z = e^u \sin v$，$u = xy$，$v = x + y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$。

解： $$\frac{\partial z}{\partial x} = e^u \sin v \cdot y + e^u \cos v \cdot 1 = e^{xy}[y\sin(x+y) + \cos(x+y)]$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} = e^u \sin v \cdot x + e^u \cos v \cdot 1 = e^{xy}[x\sin(x+y) + \cos(x+y)]$$

定理 6.5（隐函数存在定理） 设 $F(x, y, z)$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的某邻域内有连续偏导数，$F(x_0, y_0, z_0) = 0$，$F_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$，则方程 $F(x, y, z) = 0$ 在 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内唯一确定一个连续可微的函数 $z = f(x, y)$，且 $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

例 6.8 设 $x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$。

解： 设 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z$

$$F_x = 2x, \quad F_z = 2z - 4$$

$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z-4} = \frac{x}{2-z}$$

$$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(2-z) + x\frac{\partial z}{\partial x}}{(2-z)^2} = \frac{(2-z)^2 + x^2}{(2-z)^3}$$

定义 6.7（方向导数） 设 $z = f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 的某邻域内有定义，$\vec{l}$ 是从 $P$ 出发的射线，方向余弦为 $(\cos\alpha, \cos\beta)$，若极限 $$\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{\rho \to 0^+} \frac{f(x + \rho\cos\alpha, y + \rho\cos\beta) - f(x, y)}{\rho}$$ 存在，则称此极限为 $f$ 在 $P$ 点沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数。

定理 6.6 若 $f$ 可微，则方向导数存在，且 $$\frac{\partial f}{\partial l} = f_x\cos\alpha + f_y\cos\beta$$

定义 6.8（梯度） 函数 $f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的梯度定义为 $$\text{grad } f = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

性质： $$\frac{\partial f}{\partial l} = \text{grad } f \cdot \vec{e}_l = |\text{grad } f|\cos\theta$$

其中 $\vec{e}_l = (\cos\alpha, \cos\beta)$ 是方向 $\vec{l}$ 的单位向量，$\theta$ 是梯度与 $\vec{l}$ 的夹角。

结论： - 方向导数最大值为 $|\text{grad } f|$，方向为梯度方向 - 方向导数最小值为 $-|\text{grad } f|$，方向为负梯度方向 - 梯度方向是函数增长最快的方向

定理 6.7（极值的必要条件） 设 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处具有偏导数且在 $(x_0, y_0)$ 处有极值，则 $$f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$$

满足上述条件的点称为驻点或稳定点。

注意： 驻点不一定是极值点！

#### 6.7.2 极值的充分条件

定理 6.8（极值的充分条件） 设 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有连续的二阶偏导数，$f_x(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0$。

记 $A = f_{xx}(x_0, y_0)$，$B = f_{xy}(x_0, y_0)$，$C = f_{yy}(x_0, y_0)$，$\Delta = AC - B^2$： - $\Delta > 0$，$A > 0$：极小值 - $\Delta > 0$，$A < 0$：极大值 - $\Delta < 0$：不是极值（鞍点） - $\Delta = 0$：无法判断

例 6.9 求 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ 的极值。

解： $$f_x = 3x^2 - 3y = 0, \quad f_y = 3y^2 - 3x = 0$$

驻点：$(0, 0)$，$(1, 1)$

$$f_{xx} = 6x, \quad f_{xy} = -3, \quad f_{yy} = 6y$$

在 $(0, 0)$：$A = 0$，$B = -3$，$C = 0$，$\Delta = -9 < 0$，不是极值

在 $(1, 1)$：$A = 6$，$B = -3$，$C = 6$，$\Delta = 27 > 0$，$A > 0$，极小值 $f(1,1) = -1$

例题 6.1 设 $u = f(x, y, z)$，$y = \varphi(x, t)$，$t = \psi(x, z)$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$。

解： 画链式图或使用全微分： $$\frac{\partial u}{\partial x} = f_x + f_y\left(\varphi_x + \varphi_t\psi_x\right)$$

例题 6.2 在曲面 $z = xy$ 上求一点，使该点处的法线垂直于平面 $x + 3y + z = 0$，并写出法线方程。

解： 曲面 $F = xy - z = 0$ 的法向量为 $\vec{n} = (y, x, -1)$

要求 $\vec{n}$ 平行于平面法向量 $(1, 3, 1)$： $$\frac{y}{1} = \frac{x}{3} = \frac{-1}{1}$$

得 $x = -3$，$y = -1$，$z = 3$

法线方程：$\frac{x+3}{1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{1}$

基础题 1. 求下列函数的偏导数：

 (a) $z = x^3y - xy^3$
 (b) $z = \arctan\frac{y}{x}$

2. 设 $z = u^2\ln v$，$u = \frac{x}{y}$，$v = 3x - 2y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$。

提高题 3. 设 $e^z - xyz = 0$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

4. 求函数 $f(x, y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x$ 的极值。

挑战题 5. 设变换 $\begin{cases} u = x - 2y
v = x + ay \end{cases}$ 可把方程 $6\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$ 简化为 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v} = 0$，求常数 $a$。

6. 在椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 的内接长方体中，求体积最大的那个。

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