定义 4.1（原函数） 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若存在函数 $F(x)$ 使得对任意 $x \in I$： $$F'(x) = f(x) \quad \text{或} \quad dF(x) = f(x)dx$$ 则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $I$ 上的原函数。

定理 4.1（原函数的性质） 若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $F(x) + C$（$C$ 为任意常数）也是 $f(x)$ 的原函数，且 $f(x)$ 的任意两个原函数之间相差一个常数。

定义 4.2（不定积分） 函数 $f(x)$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记为 $$\int f(x)dx = F(x) + C$$ 其中 $\int$ 称为积分号，$f(x)$ 称为被积函数，$f(x)dx$ 称为被积表达式，$x$ 称为积分变量，$C$ 称为积分常数。

基本性质： 1. $\left(\int f(x)dx\right)' = f(x)$ 或 $d\left(\int f(x)dx\right) = f(x)dx$ 2. $\int F'(x)dx = F(x) + C$ 或 $\int dF(x) = F(x) + C$ 3. $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$ 4. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$（$k \neq 0$ 为常数）

幂函数： - $\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$（$\alpha \neq -1$） - $\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$

指数函数： - $\int e^x dx = e^x + C$ - $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$（$a > 0, a \neq 1$）

三角函数： - $\int \sin x dx = -\cos x + C$ - $\int \cos x dx = \sin x + C$ - $\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C$ - $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$ - $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ - $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$ - $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$ - $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

反三角函数相关： - $\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x + C$ - $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x + C$ - $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$（$a > 0$） - $\int \frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$（$a > 0$）

第一类换元法（凑微分法） 设 $f(u)$ 具有原函数，$u = \varphi(x)$ 可导，则 $$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \int f(u)du = F(u) + C = F[\varphi(x)] + C$$

常用凑微分公式： - $\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)$（$a \neq 0$） - $\int xf(x^2)dx = \frac{1}{2}\int f(x^2)d(x^2)$ - $\int \frac{f(\ln x)}{x}dx = \int f(\ln x)d(\ln x)$ - $\int e^xf(e^x)dx = \int f(e^x)d(e^x)$ - $\int \frac{f(\arctan x)}{1+x^2}dx = \int f(\arctan x)d(\arctan x)$

例 4.1 求 $\int x\sqrt{1-x^2}dx$

解： 令 $u = 1-x^2$，则 $du = -2xdx$，$xdx = -\frac{1}{2}du$ $$\int x\sqrt{1-x^2}dx = -\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C = -\frac{1}{3}(1-x^2)^{3/2} + C$$

第二类换元法 设 $x = \varphi(t)$ 是单调可导函数，且 $\varphi'(t) \neq 0$，$f[\varphi(t)]\varphi'(t)$ 具有原函数，则 $$\int f(x)dx = \int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = F(t) + C = F[\varphi^{-1}(x)] + C$$

常用换元： - 含 $\sqrt{a^2-x^2}$：令 $x = a\sin t$ 或 $x = a\cos t$ - 含 $\sqrt{a^2+x^2}$：令 $x = a\tan t$ - 含 $\sqrt{x^2-a^2}$：令 $x = a\sec t$ - 含 $\sqrt[n]{ax+b}$：令 $t = \sqrt[n]{ax+b}$

例 4.2 求 $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$（$a > 0$）

解： 令 $x = a\sin t$（$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}$），则 $dx = a\cos t dt$，$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$ $$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \int \frac{a\cos t}{a\cos t}dt = t + C = \arcsin\frac{x}{a} + C$$

公式： $$\int u dv = uv - \int v du$$

推导： 由 $(uv)' = u'v + uv'$，得 $uv' = (uv)' - u'v$，两边积分即得。

选择 $u$ 的口诀（LIATE）： 按优先级：对数函数(L) > 反三角函数(I) > 代数函数(A) > 三角函数(T) > 指数函数(E)

例 4.3 求 $\int x e^x dx$

解： 令 $u = x$，$dv = e^x dx$，则 $du = dx$，$v = e^x$ $$\int x e^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$

例 4.4 求 $\int x^2 \cos x dx$

解： 需用两次分部积分： $$\begin{aligned} \int x^2 \cos x dx &= x^2\sin x - \int 2x\sin x dx
&= x^2\sin x - 2\left(-x\cos x + \int \cos x dx\right)
&= x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C \end{aligned}$$

例 4.5 求 $I = \int e^x \sin x dx$

解： 两次分部积分后会出现循环： $$\begin{aligned} I &= e^x \sin x - \int e^x \cos x dx
&= e^x \sin x - \left(e^x \cos x + \int e^x \sin x dx\right)
&= e^x(\sin x - \cos x) - I \end{aligned}$$

解得：$I = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$

有理函数： 两个多项式的商 $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

分解步骤： 1. 若为假分式（分子次数 ≥ 分母），先化为多项式 + 真分式 2. 将分母因式分解 3. 用待定系数法分解为部分分式

基本类型： - $\int \frac{A}{x-a}dx = A\ln|x-a| + C$ - $\int \frac{A}{(x-a)^n}dx = \frac{A}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C$（$n > 1$） - $\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx$（$p^2-4q < 0$）

例 4.6 求 $\int \frac{x+1}{x^2-5x+6}dx$

解： $\frac{x+1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

$x+1 = A(x-3) + B(x-2)$

令 $x = 2$：$3 = -A$，$A = -3$ 令 $x = 3$：$4 = B$，$B = 4$

$$\int \frac{x+1}{x^2-5x+6}dx = \int \left(\frac{-3}{x-2} + \frac{4}{x-3}\right)dx = -3\ln|x-2| + 4\ln|x-3| + C$$

引例：曲边梯形的面积

设 $y = f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上连续，求由曲线 $y = f(x)$、直线 $x = a$、$x = b$ 和 $y = 0$ 围成的曲边梯形的面积。

四步法： 1. 分割： $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，小区间长度 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 2. 近似： 在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上任取 $\xi_i$，以小矩形面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 近似小曲边梯形面积 3. 求和： $S_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 4. 取极限： 令 $\lambda = \max\{\Delta x_i\} \to 0$，面积 $S = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$

定义 4.3（定积分） 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，若极限 $$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$$ 存在（与分割方式和 $\xi_i$ 的取法无关），则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，此极限值称为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分，记为 $$\int_a^b f(x)dx$$

其中 $a$ 称为积分下限，$b$ 称为积分上限，$[a, b]$ 称为积分区间。

可积的充分条件： - $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续 ⇒ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积 - $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界且只有有限个间断点 ⇒ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积

性质 1： $\int_a^a f(x)dx = 0$，$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$

性质 2（线性性）： $$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]dx = \alpha\int_a^b f(x)dx + \beta\int_a^b g(x)dx$$

性质 3（区间可加性）： $$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$$

性质 4（保号性）： 若 $f(x) \geq 0$ 在 $[a, b]$ 上成立，则 $\int_a^b f(x)dx \geq 0$（$a < b$）

推论： 若 $f(x) \geq g(x)$，则 $\int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx$

性质 5（估值定理）： 若 $m \leq f(x) \leq M$（$x \in [a, b]$），则 $$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$$

性质 6（积分中值定理）： 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$，使得 $$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)$$

几何意义： 曲边梯形的面积等于以 $f(\xi)$ 为高、$(b-a)$ 为宽的矩形面积。

例 4.7 估计 $\int_0^1 e^{x^2}dx$ 的值。

解： 在 $[0, 1]$ 上，$1 \leq e^{x^2} \leq e$

故 $1 \cdot (1-0) \leq \int_0^1 e^{x^2}dx \leq e \cdot (1-0)$，即 $1 \leq \int_0^1 e^{x^2}dx \leq e$。

定理 4.2（变上限积分的导数） 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则函数 $$\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $$\Phi'(x) = f(x)$$

即 $\left(\int_a^x f(t)dt\right)' = f(x)$

意义： 连续函数必有原函数，变上限积分就是它的一个原函数。

推广： $$\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$$

例 4.8 求 $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t dt$

解： $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t dt = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x\sin(x^2)$

定理 4.3（牛顿-莱布尼茨公式） 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\big|_a^b$$

证明： $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，故 $F(x) = \Phi(x) + C$

$F(b) - F(a) = \Phi(b) - \Phi(a) = \int_a^b f(t)dt - 0 = \int_a^b f(x)dx$

例 4.9 计算 $\int_0^1 x^2 dx$

解： $\int_0^1 x^2 dx = \frac{x^3}{3}\big|_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

换元法 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$x = \varphi(t)$ 满足： 1. $\varphi(\alpha) = a$，$\varphi(\beta) = b$ 2. $\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$（或 $[\beta, \alpha]$）上具有连续导数，且值域不超出 $[a, b]$

则 $$\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt$$

注意： 换元必换限，不必代回原变量。

例 4.10 计算 $\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx$

解： 令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2tdt$

当 $x = 0$ 时 $t = 0$；当 $x = 4$ 时 $t = 2$

$$\int_0^4 \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx = \int_0^2 \frac{2t}{1+t}dt = 2\int_0^2 \left(1 - \frac{1}{1+t}\right)dt = 2[t - \ln|1+t|]_0^2 = 2(2 - \ln 3)$$

分部积分法 $$\int_a^b u dv = uv\big|_a^b - \int_a^b v du$$

例 4.11 计算 $\int_0^1 x e^x dx$

解： $\int_0^1 x e^x dx = xe^x\big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1$

1. 平面图形的面积

由曲线 $y = f(x)$、$y = g(x)$（$f(x) \geq g(x)$）和直线 $x = a$、$x = b$ 围成的面积： $$S = \int_a^b [f(x) - g(x)]dx$$

例 4.12 求由抛物线 $y = x^2$ 和 $y = \sqrt{x}$ 围成的面积。

解： 交点：$x^2 = \sqrt{x}$，$x^4 = x$，$x = 0$ 或 $x = 1$

$$S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$

2. 旋转体的体积

曲线 $y = f(x)$（$f(x) \geq 0$）与 $x = a$、$x = b$ 及 $x$ 轴围成的区域绕 $x$ 轴旋转一周所得体积： $$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2dx$$

例 4.13 求由椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转椭球体的体积。

解： $y^2 = b^2(1 - \frac{x^2}{a^2})$

$$V = \pi\int_{-a}^a b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)dx = 2\pi b^2\left[x - \frac{x^3}{3a^2}\right]_0^a = 2\pi b^2 \cdot \frac{2a}{3} = \frac{4}{3}\pi ab^2$$

定义 4.4 设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，若极限 $$\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)dx$$ 存在，则称此极限为 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上的反常积分，记为 $\int_a^{+\infty} f(x)dx$，此时称反常积分收敛；若极限不存在，则称反常积分发散。

类似可定义： $$\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)dx$$ $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^{+\infty} f(x)dx$$ （要求两个积分都收敛）

例 4.14 讨论 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ 的敛散性（$p > 0$）。

解： - 当 $p = 1$：$\int_1^b \frac{1}{x}dx = \ln b \to +\infty$（发散） - 当 $p \neq 1$：$\int_1^b \frac{1}{x^p}dx = \frac{1}{1-p}(b^{1-p} - 1)$

1. $p > 1$：$b^{1-p} \to 0$，收敛于 $\frac{1}{p-1}$
2. $p < 1$：$b^{1-p} \to +\infty$，发散

结论： $p > 1$ 时收敛，$p \leq 1$ 时发散。

例 4.15 计算 $\int_0^{+\infty} e^{-x}dx$

解： $\int_0^{+\infty} e^{-x}dx = -e^{-x}\big|_0^{+\infty} = 0 - (-1) = 1$

定义 4.5 设 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，$\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$（$a$ 称为瑕点），若极限 $$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx$$ 存在，则称此极限为 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上的瑕积分，记为 $\int_a^b f(x)dx$。

例 4.16 讨论 $\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx$ 的敛散性（$p > 0$）。

解： $x = 0$ 是瑕点。

- $p = 1$：$\int_\varepsilon^1 \frac{1}{x}dx = -\ln\varepsilon \to +\infty$（发散） - $p \neq 1$：$\int_\varepsilon^1 \frac{1}{x^p}dx = \frac{1}{1-p}(1 - \varepsilon^{1-p})$

1. $p < 1$：收敛于 $\frac{1}{1-p}$
2. $p > 1$：发散

结论： $p < 1$ 时收敛，$p \geq 1$ 时发散。

例题 4.1 设 $f(x) = \begin{cases} x^2, & 0 \leq x \leq 1
2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$，求 $\int_0^2 f(x)dx$。

解： $$\int_0^2 f(x)dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^2 (2-x)dx = \frac{1}{3} + \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_1^2 = \frac{1}{3} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{5}{6}$$

例题 4.2 证明：$\int_0^a x^3 f(x^2)dx = \frac{1}{2}\int_0^{a^2} xf(x)dx$（$a > 0$）

证明： 令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}}dt$ $$\int_0^a x^3 f(x^2)dx = \int_0^{a^2} t^{3/2} f(t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt = \frac{1}{2}\int_0^{a^2} tf(t)dt$$

基础题 1. 计算下列不定积分：

 (a) $\int \frac{1}{x\ln x}dx$
 (b) $\int x^2 e^{-x}dx$
 (c) $\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}dx$

2. 计算下列定积分：

 (a) $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx$
 (b) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$
 (c) $\int_0^{\ln 2} \sqrt{e^x-1}dx$

提高题 3. 设 $f(x)$ 连续，$F(x) = \int_x^{e^{-x}} f(t)dt$，求 $F'(x)$。

4. 证明：$\int_0^a x^3 f(x^2)dx = \frac{1}{2}\int_0^{a^2} xf(x)dx$（$a > 0$）。

5. 求由曲线 $y = \ln x$、$y$ 轴和直线 $y = \ln a$、$y = \ln b$（$0 < a < b$）围成的面积。

挑战题 6. 设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，证明：$\int_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx$。

7. 判别反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}dx$ 的敛散性（条件收敛）。

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