在数学分析中，我们研究实数集\\(\\mathbb{R}\\)上的极限、连续等概念，这些概念都依赖于实数之间的距离。例如，两个实数\\(x\\)和\\(y\\)之间的距离定义为\\(|x - y|\\)。在更高维的欧几里得空间\\(\\mathbb{R}^n\\)中，两点\\(x = (x_1, x_2, \\ldots, x_n)\\)和\\(y = (y_1, y_2, \\ldots, y_n)\\)之间的距离定义为：

$$d(x, y) = \\sqrt{\\sum_{i=1}^{n}(x_i - y_i)^2}$$

这个距离满足以下三条基本性质：

1. 非负性：\\(d(x, y) \\geq 0\\)，且\\(d(x, y) = 0\\)当且仅当\\(x = y\\)
2. 对称性：\\(d(x, y) = d(y, x)\\)
3. 三角不等式：\\(d(x, z) \\leq d(x, y) + d(y, z)\\)

泛函分析的一个基本思想是将这些性质抽象出来，在更一般的集合上定义“距离”，从而建立统一的理论框架。这就是度量空间的概念。

定义 1.1（度量空间）设\\(X\\)是一个非空集合，\\(d: X \\times X \\to \\mathbb{R}\\)是一个映射。如果对于任意的\\(x, y, z \\in X\\)，满足以下三条公理：

(M1) 非负性（正定性）：\\(d(x, y) \\geq 0\\)，且\\(d(x, y) = 0\\)当且仅当\\(x = y\\)；

(M2) 对称性：\\(d(x, y) = d(y, x)\\)；

(M3) 三角不等式：\\(d(x, z) \\leq d(x, y) + d(y, z)\\)，

则称\\(d\\)为\\(X\\)上的一个距离函数（或度量），称\\¹⁾^2\\end{align}$$

两边开方即得三角不等式。

例 1.3（\\(\\mathbb{R}^n\\)上的其他度量）在\\(\\mathbb{R}^n\\)上还可以定义其他度量：

(1) 曼哈顿距离（\\(l^1\\)度量）： $$d_1(x, y) = \\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|$$

(2) 最大范数距离（\\(l^\\infty\\)度量）： $$d_\\infty(x, y) = \\max_{1 \\leq i \\leq n}|x_i - y_i|$$

(3) \\(l^p\\)度量（\\(1 \\leq p < \\infty\\)）： $$d_p(x, y) = \\left(\\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|^p\\right)^{1/p}$$

验证\\(d_p\\)满足三角不等式需要用到Minkowski不等式。

命题 1.1 对于\\(1 \\leq p \\leq \\infty\\)，\\(d_p\\)都是\\(\\mathbb{R}^n\\)上的度量，且这些度量是等价的（即它们诱导相同的拓扑）。

例 1.4（序列空间\\(l^p\\)）设\\(1 \\leq p < \\infty\\)，定义：

$$l^p = \\left\\{x = (x_n)_{n=1}^\\infty : x_n \\in \\mathbb{C}, \\sum_{n=1}^\\infty|x_n|^p < \\infty\\right\\}$$

在\\(l^p\\)上定义距离：

$$d_p(x, y) = \\left(\\sum_{n=1}^\\infty|x_n - y_n|^p\\right)^{1/p}$$

\\((l^p, d_p)\\)是度量空间。这个空间在泛函分析中极为重要。

同样定义：

$$l^\\infty = \\left\\{x = (x_n)_{n=1}^\\infty : x_n \\in \\mathbb{C}, \\sup_{n}|x_n| < \\infty\\right\\}$$

$$d_\\infty(x, y) = \\sup_{n}|x_n - y_n|$$

例 1.5（连续函数空间\\(C[a,b]\\)）设\\([a, b]\\)是闭区间，定义：

$$C[a,b] = \\left\\{f: [a,b] \\to \\mathbb{R} : f \\text{ 在 } [a,b] \\text{ 上连续}\\right\\}$$

在\\(C[a,b]\\)上可以定义多种度量：

(1) 一致收敛度量： $$d_\\infty(f, g) = \\max_{t \\in [a,b]}|f(t) - g(t)|$$

(2) \\(L^p\\)度量： $$d_p(f, g) = \\left(\\int_a^b|f(t) - g(t)|^p dt\\right)^{1/p}, \\quad 1 \\leq p < \\infty$$

验证\\(d_\\infty\\)是度量： - (M1) 显然\\(d_\\infty(f, g) \\geq 0\\)。若\\(d_\\infty(f, g) = 0\\)，则对所有\\(t \\in [a,b]\\)，\\(f(t) = g(t)\\)，即\\(f = g\\) - (M2) 对称性显然 - (M3) 对任意\\(t \\in [a,b]\\)：

$$|f(t) - h(t)| \\leq |f(t) - g(t)| + |g(t) - h(t)| \\leq d_\\infty(f,g) + d_\\infty(g,h)$$
取上确界即得三角不等式

例 1.6（函数空间\\(L^p[a,b]\\)）设\\(1 \\leq p < \\infty\\)，定义：

$$L^p[a,b] = \\left\\{f: [a,b] \\to \\mathbb{R} : \\int_a^b|f(t)|^p dt < \\infty\\right\\}$$

这里积分是Lebesgue积分。在\\(L^p[a,b]\\)上定义：

$$d_p(f, g) = \\left(\\int_a^b|f(t) - g(t)|^p dt\\right)^{1/p}$$

严格来说，\\(d_p(f, g) = 0\\)只意味着\\(f = g\\)几乎处处成立，因此需要将几乎处处相等的函数等同看待。

在度量空间中，我们可以自然地推广实数轴上开区间和闭区间的概念。

定义 1.2（开球与闭球）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(x_0 \\in X\\)，\\(r > 0\\)。

(1) 集合 $$B(x_0, r) = \\{x \\in X : d(x, x_0) < r\\}$$ 称为以\\(x_0\\)为中心、\\(r\\)为半径的开球（或\\(r\\)-邻域）。

(2) 集合 $$\\bar{B}(x_0, r) = \\{x \\in X : d(x, x_0) \\leq r\\}$$ 称为以\\(x_0\\)为中心、\\(r\\)为半径的闭球。

(3) 集合 $$S(x_0, r) = \\{x \\in X : d(x, x_0) = r\\}$$ 称为以\\(x_0\\)为中心、\\(r\\)为半径的球面。

例 1.7 在\\(\\mathbb{R}^2\\)中： - 欧几里得度量\\(d_2\\)对应的开球是圆形区域 - 曼哈顿度量\\(d_1\\)对应的开球是菱形（旋转45度的正方形） - 最大范数度量\\(d_\\infty\\)对应的开球是正方形

定义 1.3（开集）设\\((X, d)\\)是度量空间，子集\\(G \\subseteq X\\)称为开集，如果对每个\\(x \\in G\\)，存在\\(r > 0\\)，使得\\(B(x, r) \\subseteq G\\)。

换句话说，开集中的每一点都是该集合的“内点”，存在一个完全包含在该集合内的开球。

定义 1.4（闭集）子集\\(F \\subseteq X\\)称为闭集，如果它的补集\\(X \\setminus F\\)是开集。

定理 1.1（开集的基本性质）设\\((X, d)\\)是度量空间：

(1) 空集\\(\\emptyset\\)和全集\\(X\\)都是开集；

(2) 任意多个开集的并集是开集；

(3) 有限多个开集的交集是开集。

证明：

(1) 空集是开集（ vacuously true）。对任意\\(x \\in X\\)，\\(B(x, 1) \\subseteq X\\)，故\\(X\\)是开集。

(2) 设\\(\\{G_\\alpha\\}_{\\alpha \\in I}\\)是一族开集，令\\(G = \\bigcup_{\\alpha \\in I} G_\\alpha\\)。对任意\\(x \\in G\\)，存在\\(\\alpha_0\\)使得\\(x \\in G_{\\alpha_0}\\)。由于\\(G_{\\alpha_0}\\)是开集，存在\\(r > 0\\)使得\\(B(x, r) \\subseteq G_{\\alpha_0} \\subseteq G\\)。故\\(G\\)是开集。

(3) 设\\(G_1, G_2, \\ldots, G_n\\)是开集，令\\(G = \\bigcap_{i=1}^{n} G_i\\)。对任意\\(x \\in G\\)，则对每个\\(i = 1, 2, \\ldots, n\\)，有\\(x \\in G_i\\)。由于\\(G_i\\)是开集，存在\\(r_i > 0\\)使得\\(B(x, r_i) \\subseteq G_i\\)。取\\(r = \\min\\{r_1, r_2, \\ldots, r_n\\} > 0\\)，则\\(B(x, r) \\subseteq B(x, r_i) \\subseteq G_i\\)对所有\\(i\\)成立，故\\(B(x, r) \\subseteq G\\)。因此\\(G\\)是开集。\\(\\square\\)

注记：无限多个开集的交集不一定是开集。例如，在\\(\\mathbb{R}\\)中，\\(\\bigcap_{n=1}^{\\infty}(-1/n, 1/n) = \\{0\\}\\)不是开集。

定理 1.2（闭集的基本性质）设\\((X, d)\\)是度量空间：

(1) 空集\\(\\emptyset\\)和全集\\(X\\)都是闭集；

(2) 任意多个闭集的交集是闭集；

(3) 有限多个闭集的并集是闭集。

证明：由de Morgan律和开集的性质直接得到。\\(\\square\\)

定理 1.3 开球是开集，闭球是闭集。

证明：设\\(B(x_0, r)\\)是开球。对任意\\(x \\in B(x_0, r)\\)，有\\(d(x, x_0) < r\\)。令\\(\\delta = r - d(x, x_0) > 0\\)。对任意\\(y \\in B(x, \\delta)\\)，由三角不等式：

$$d(y, x_0) \\leq d(y, x) + d(x, x_0) < \\delta + d(x, x_0) = r$$

故\\(B(x, \\delta) \\subseteq B(x_0, r)\\)，\\(B(x_0, r)\\)是开集。

对于闭球，设\\(F = \\{x : d(x, x_0) > r\\}\\)为\\(\\bar{B}(x_0, r)\\)的补集。对任意\\(x \\in F\\)，\\(d(x, x_0) > r\\)，令\\(\\delta = d(x, x_0) - r > 0\\)。对任意\\(y \\in B(x, \\delta)\\)：

$$d(x, x_0) \\leq d(x, y) + d(y, x_0) < \\delta + d(y, x_0)$$

故\\(d(y, x_0) > d(x, x_0) - \\delta = r\\)，即\\(y \\in F\\)。因此\\(F\\)是开集，\\(\\bar{B}(x_0, r)\\)是闭集。\\(\\square\\)

定义 1.5（邻域）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(x \\in X\\)。包含\\(x\\)的任一开集称为\\(x\\)的一个邻域。

特别地，开球\\(B(x, r)\\)（其中\\(r > 0\\)）称为\\(x\\)的一个球形邻域或\\(r\\)-邻域。

注记：

1. 邻域的概念比开球更一般，任何包含\\(x\\)的开集都是\\(x\\)的邻域
2. 若\\(U\\)是\\(x\\)的邻域，则存在\\(r > 0\\)使得\\(B(x, r) \\subseteq U\\)

定义 1.6（点列的极限）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(\\{x_n\\}_{n=1}^\\infty\\)是\\(X\\)中的点列，\\(x_0 \\in X\\)。如果对任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在正整数\\(N\\)，使得当\\(n \\geq N\\)时，有：

$$d(x_n, x_0) < \\epsilon$$

则称点列\\(\\{x_n\\}\\)收敛于\\(x_0\\)，\\(x_0\\)称为\\(\\{x_n\\}\\)的极限，记作：

$$\\lim_{n \\to \\infty} x_n = x_0 \\quad \\text{或} \\quad x_n \\to x_0 \\, (n \\to \\infty)$$

等价地，\\(x_n \\to x_0\\)当且仅当\\(\\lim_{n \\to \\infty} d(x_n, x_0) = 0\\)。

定理 1.4（极限的唯一性）在度量空间中，收敛点列的极限是唯一的。

证明：设\\(\\{x_n\\}\\)是度量空间\\((X, d)\\)中的点列，且\\(x_n \\to x\\)，\\(x_n \\to y\\)。则对任意\\(\\epsilon > 0\\)，存在\\(N_1, N_2\\)使得：

- 当\\(n \\geq N_1\\)时，\\(d(x_n, x) < \\epsilon/2\\) - 当\\(n \\geq N_2\\)时，\\(d(x_n, y) < \\epsilon/2\\)

取\\(N = \\max\\{N_1, N_2\\}\\)，当\\(n \\geq N\\)时：

$$d(x, y) \\leq d(x, x_n) + d(x_n, y) < \\frac{\\epsilon}{2} + \\frac{\\epsilon}{2} = \\epsilon$$

由于\\(\\epsilon > 0\\)是任意的，故\\(d(x, y) = 0\\)，即\\(x = y\\)。\\(\\square\\)

定理 1.5（极限的\\(\\epsilon-N\\)刻画）设\\(F \\subseteq X\\)，则\\(F\\)是闭集当且仅当：若\\(\\{x_n\\} \\subseteq F\\)且\\(x_n \\to x\\)，则\\(x \\in F\\)。

证明：

（\\(\\Rightarrow\\)）设\\(F\\)是闭集，\\(\\{x_n\\} \\subseteq F\\)，\\(x_n \\to x\\)。假设\\(x \\notin F\\)，则\\(x \\in X \\setminus F\\)。由于\\(X \\setminus F\\)是开集，存在\\(r > 0\\)使得\\(B(x, r) \\subseteq X \\setminus F\\)。但由于\\(x_n \\to x\\)，存在\\(N\\)使得当\\(n \\geq N\\)时\\(d(x_n, x) < r\\)，即\\(x_n \\in B(x, r) \\subseteq X \\setminus F\\)，与\\(x_n \\in F\\)矛盾。

（\\(\\Leftarrow\\)）设\\(F\\)满足条件，证明\\(X \\setminus F\\)是开集。对任意\\(x \\in X \\setminus F\\)，若对任意\\(n\\)，\\(B(x, 1/n) \\cap F \\neq \\emptyset\\)，则可取\\(x_n \\in B(x, 1/n) \\cap F\\)。于是\\(d(x_n, x) < 1/n \\to 0\\)，即\\(x_n \\to x\\)。由条件\\(x \\in F\\)，矛盾。故存在\\(n_0\\)使得\\(B(x, 1/n_0) \\cap F = \\emptyset\\)，即\\(B(x, 1/n_0) \\subseteq X \\setminus F\\)。因此\\(X \\setminus F\\)是开集，\\(F\\)是闭集。\\(\\square\\)

定义 1.7（闭包）设\\(A \\subseteq X\\)，\\(A\\)的闭包定义为：

$$\\bar{A} = \\bigcap\\{F : F \\supseteq A, F \\text{ 是闭集}\\}$$

等价地，\\(\\bar{A} = \\{x \\in X : \\forall r > 0, B(x, r) \\cap A \\neq \\emptyset\\}\\)。

定理 1.6 \\(x \\in \\bar{A}\\)当且仅当存在\\(\\{x_n\\} \\subseteq A\\)使得\\(x_n \\to x\\)。

定义 1.8（等价度量）设\\(d_1\\)和\\(d_2\\)是集合\\(X\\)上的两个度量。如果它们诱导相同的开集族（即相同的拓扑），则称\\(d_1\\)和\\(d_2\\)等价。

定理 1.7（等价度量的判定）\\(d_1\\)和\\(d_2\\)等价当且仅当：对任意\\(x \\in X\\)和\\(r > 0\\)，存在\\(r_1, r_2 > 0\\)使得：

$$B_{d_1}(x, r_1) \\subseteq B_{d_2}(x, r), \\quad B_{d_2}(x, r_2) \\subseteq B_{d_1}(x, r)$$

定理 1.8 在\\(\\mathbb{R}^n\\)上，\\(d_p\\)度量（\\(1 \\leq p \\leq \\infty\\)）都是等价的。

证明：只需证明对任意\\(p, q \\in [1, \\infty]\\)，\\(d_p\\)与\\(d_q\\)等价。不妨设\\(1 \\leq p < q \\leq \\infty\\)。

对于\\(x \\in \\mathbb{R}^n\\)：

$$\\|x\\|_\\infty \\leq \\|x\\|_p \\leq n^{1/p} \\|x\\|_\\infty$$

$$\\|x\\|_q \\leq \\|x\\|_p \\leq n^{1/p - 1/q} \\|x\\|_q \\quad (p < q < \\infty)$$

这些不等式表明不同\\(p\\)范数诱导的度量在\\(\\mathbb{R}^n\\)上是等价的。\\(\\square\\)

定义 1.9（子空间）设\\((X, d)\\)是度量空间，\\(Y \\subseteq X\\)是非空子集。定义\\(d_Y: Y \\times Y \\to \\mathbb{R}\\)为：

$$d_Y(x, y) = d(x, y), \\quad \\forall x, y \\in Y$$

则\\(d_Y\\)是\\(Y\\)上的度量，\\((Y, d_Y)\\)称为\\(X\\)的度量子空间（简称子空间）。

定理 1.9 设\\(Y\\)是\\(X\\)的子空间，\\(G \\subseteq Y\\)。则\\(G\\)是\\(Y\\)中的开集当且仅当存在\\(X\\)中的开集\\(U\\)使得\\(G = U \\cap Y\\)。

定义 1.10（稠密集）设\\(A, B \\subseteq X\\)。如果\\(\\bar{A} \\supseteq B\\)，则称\\(A\\)在\\(B\\)中稠密。特别地，如果\\(\\bar{A} = X\\)，称\\(A\\)在\\(X\\)中稠密。

定义 1.11（可分空间）度量空间\\(X\\)称为可分的，如果存在可数稠密子集。

定理 1.10 \\((\\mathbb{R}^n, d_2)\\)是可分空间。

证明：\\(\\mathbb{Q}^n\\)（有理点集）是\\(\\mathbb{R}^n\\)的可数稠密子集。\\(\\square\\)

定理 1.11 \\(C[a,b]\\)（赋予一致收敛度量）是可分空间。

证明：由Weierstrass逼近定理，多项式在\\(C[a,b]\\)中稠密。而有理系数多项式是可数的且在\\(C[a,b]\\)中稠密。\\(\\square\\)

习题 1.1 证明\\(l^\\infty\\)是度量空间，并验证\\(d_\\infty\\)满足度量公理。

习题 1.2 在\\(\\mathbb{R}\\)上定义\\(d(x, y) = |\\arctan x - \\arctan y|\\)。证明\\(d\\)是度量，且与通常度量\\(d_1(x,y) = |x-y|\\)等价。

习题 1.3 设\\((X, d)\\)是度量空间，定义： $$d'(x, y) = \\min\\{d(x, y), 1\\}$$ 证明\\(d'\\)是度量，且与\\(d\\)诱导相同的拓扑。

习题 1.4 证明离散度量空间中的每个子集既是开集又是闭集。

习题 1.5 设\\(X = C[0,1]\\)，\\(d(f,g) = \\int_0^1|f(t) - g(t)|dt\\)。验证\\(d\\)是度量。

习题 1.6 证明：在度量空间中，单点集是闭集。

习题 1.7 设\\(A, B\\)是度量空间\\(X\\)的子集。证明： - (a) \\(\\overline{A \\cup B} = \\bar{A} \\cup \\bar{B}\\) - (b) \\(\\overline{A \\cap B} \\subseteq \\bar{A} \\cap \\bar{B}\\)，举例说明等号一般不成立

习题 1.8 证明\\(l^p\\)（\\(1 \\leq p < \\infty\\)）是可分空间。

习题 1.9 设\\(\\{x_n\\}\\)是度量空间\\(X\\)中的点列，且当\\(m \\neq n\\)时\\(d(x_m, x_n) = 1\\)。证明\\(\\{x_n\\}\\)没有收敛子列。

习题 1.10 证明：度量空间\\(X\\)是离散的（具有离散度量诱导的拓扑）当且仅当\\(X\\)中每个单点集都是开集。

• 度量空间的概念由Maurice Fréchet于1906年引入
• Hausdorff在其《集合论基础》（1914年）中系统发展了度量空间理论
• 点集拓扑是度量空间理论的进一步抽象，去掉了距离的概念