在泛函分析中，我们经常需要从已有的空间构造新的空间。商空间和积空间是两种基本的构造方法。商空间通过“粘合”某些元素来简化结构，而积空间则将多个空间“叠加”在一起。这两种构造在泛函分析的理论和应用中都非常重要。

本章将介绍这两种构造的代数结构和范数结构，以及相关的投影定理。

定义 7.1（陪集与商空间）设\\(X\\)是线性空间，\\(M\\)是\\(X\\)的线性子空间。对\\(x \\in X\\)，定义陪集（或等价类）：

$$[x] = x + M = \\{x + m : m \\in M\\}$$

商集\\(X/M = \\{[x] : x \\in X\\}\\)上定义运算：

- 加法：\\([x] + [y] = [x + y]\\) - 数乘：\\(\\alpha[x] = [\\alpha x]\\)

则\\(X/M\\)成为线性空间，称为商空间。

注记： - 零元是\\([0] = M\\) - 运算良定性：若\\([x_1] = [x_2]\\)，\\([y_1] = [y_2]\\)，则\\([x_1 + y_1] = [x_2 + y_2]\\)

例 7.1 设\\(X = \\mathbb{R}^2\\)，\\(M = \\{(x, 0) : x \\in \\mathbb{R}\\}\\)（\\(x\\)轴）。则：

$$X/M = \\{[(0, y)] : y \\in \\mathbb{R}\\} \\cong \\mathbb{R}$$

每个陪集是平行于\\(x\\)轴的直线。

定理 7.1 若\\(\\dim X = n\\)，\\(\\dim M = k\\)，则\\(\\dim(X/M) = n - k\\)。

定义 7.2（商范数）设\\((X, \\|\\cdot\\|)\\)是赋范空间，\\(M\\)是闭子空间。定义\\(X/M\\)上的商范数：

$$\\|[x]\\|_{X/M} = \\inf_{m \\in M} \\|x - m\\| = d(x, M)$$

即到子空间\\(M\\)的距离。

定理 7.2 \\(\\|\\cdot\\|_{X/M}\\)是\\(X/M\\)上的范数。

证明：

(N1) \\(\\|[x]\\| \\geq 0\\)。若\\(\\|[x]\\| = 0\\)，则存在\\(\\{m_n\\}\\)\\(\\subseteq M\\)使得\\(\\|x - m_n\\| \\to 0\\)。由于\\(M\\)闭，\\(x \\in M\\)，故\\([x] = [0]\\)。

(N2) 对\\(\\alpha \\neq 0\\)：

$$\\|[\\alpha x]\\| = \\inf_{m \\in M} \\|\\alpha x - m\\| = \\inf_{m \\in M} \\|\\alpha x - \\alpha(\\frac{m}{\\alpha})\\| = |\\alpha| \\inf_{m' \\in M} \\|x - m'\\| = |\\alpha| \\|[x]\\|$$

(N3)

$$\\|[x] + [y]\\| = \\inf_{m \\in M} \\|x + y - m\\| \\leq \\inf_{m_1, m_2 \\in M} \\|x + y - (m_1 + m_2)\\|$$

$$\\leq \\inf_{m_1 \\in M} \\|x - m_1\\| + \\inf_{m_2 \\in M} \\|y - m_2\\| = \\|[x]\\| + \\|[y]\\|$$

\\(\\square\\)

定理 7.3 若\\(X\\)是Banach空间，\\(M\\)是闭子空间，则\\(X/M\\)是Banach空间。

证明：设\\(\\{[x_n]\\}\\)是\\(X/M\\)中的Cauchy列。取子列使得\\(\\|[x_{n_{k+1}}] - [x_{n_k}]\\| < 2^{-k}\\)。

归纳选取\\(y_k \\in [x_{n_{k+1}} - x_{n_k}]\\)使得\\(\\|y_k\\| < 2^{-k}\\)。则\\(\\sum_{k=1}^\\infty \\|y_k\\| < \\infty\\)。

由于\\(X\\)完备，\\(\\sum_{k=1}^\\infty y_k\\)收敛。设\\(x_{n_1} + \\sum_{k=1}^\\infty y_k = x\\)，则\\([x_{n_k}] \\to [x]\\)。\\(\\square\\)

定义 7.3（商映射/典范映射）定义商映射\\(\\pi: X \\to X/M\\)为：

$$\\pi(x) = [x]$$

定理 7.4 商映射\\(\\pi\\)是线性满射，且：

(1) \\(\\|\\pi(x)\\|_{X/M} \\leq \\|x\\|\\)（\\(\\pi\\)是压缩的，\\(\\|\\pi\\| \\leq 1\\)）；

(2) \\(\\pi\\)将\\(X\\)的开单位球映为\\(X/M\\)的开单位球；

(3) \\(\\|\\pi\\| = 1\\)（当\\(M \\neq X\\)时）。

证明：

(1) \\(\\|\\pi(x)\\| = \\inf_{m \\in M} \\|x - m\\| \\leq \\|x - 0\\| = \\|x\\|\\)

(2) 设\\(\\|[x]\\|_{X/M} < 1\\)，则存在\\(m \\in M\\)使得\\(\\|x - m\\| < 1\\)。故\\([x] = \\pi(x - m)\\)且\\(x - m \\in B_X(0, 1)\\)。

反之，若\\(y \\in B_X(0, 1)\\)，则\\(\\|\\pi(y)\\| \\leq \\|y\\| < 1\\)。\\(\\square\\)

定义 7.4（积空间）设\\(X_1, \\ldots, X_n\\)是线性空间。定义积空间（或直积）：

$$\\prod_{i=1}^n X_i = X_1 \\times \\cdots \\times X_n = \\{(x_1, \\ldots, x_n) : x_i \\in X_i\\}$$

运算按分量定义： - 加法：\\((x_1, \\ldots, x_n) + (y_1, \\ldots, y_n) = (x_1+y_1, \\ldots, x_n+y_n)\\) - 数乘：\\(\\alpha(x_1, \\ldots, x_n) = (\\alpha x_1, \\ldots, \\alpha x_n)\\)

定义 7.5（积范数）设\\((X_i, \\|\\cdot\\|_i)\\)是赋范空间。在\\(X = \\prod_{i=1}^n X_i\\)上可定义多种范数，常用的有：

(1) \\(p\\)-范数（\\(1 \\leq p < \\infty\\)）：

$$\\|(x_1, \\ldots, x_n)\\|_p = \\left(\\sum_{i=1}^n \\|x_i\\|_i^p\\right)^{1/p}$$

(2) 最大范数：

$$\\|(x_1, \\ldots, x_n)\\|_\\infty = \\max_{1 \\leq i \\leq n} \\|x_i\\|_i$$

定理 7.5 上述定义都是\\(X\\)上的范数，且当\\(1 \\leq p \\leq \\infty\\)时互相等价。

定理 7.6 若每个\\(X_i\\)是Banach空间，则\\(\\prod_{i=1}^n X_i\\)（赋予任一\\(p\\)-范数）是Banach空间。

定义 7.6（投影算子）设\\(X = M \\oplus N\\)（代数直和，即每个\\(x \\in X\\)唯一表示为\\(x = m + n\\)，\\(m \\in M\\)，\\(n \\in N\\)）。定义投影算子\\(P: X \\to M\\)：

$$P(m + n) = m$$

定理 7.7 投影算子\\(P\\)是线性的、幂等的（\\(P^2 = P\\)），且：

(1) \\(R(P) = M\\)（值域）

(2) \\(N(P) = N\\)（零空间）

定理 7.8 设\\(M\\)是Banach空间\\(X\\)的闭子空间。则存在闭子空间\\(N\\)使得\\(X = M \\oplus N\\)（拓扑直和）当且仅当投影\\(P: X \\to M\\)是有界的。

定义 7.7（可补子空间）闭子空间\\(M\\)称为可补的，如果存在闭子空间\\(N\\)使得\\(X = M \\oplus N\\)。

注记： - Hilbert空间中每个闭子空间都可补（正交补） - 一般Banach空间中，存在不可补的闭子空间（Phillips, 1940）

定理 7.9（距离可达性）设\\(X\\)是赋范空间，\\(M\\)是有限维子空间。则对任意\\(x \\in X\\)，存在\\(m_0 \\in M\\)使得：

$$\\|x - m_0\\| = \\inf_{m \\in M} \\|x - m\\| = d(x, M)$$

证明：设\\(d = d(x, M)\\)。取\\(\\{m_n\\}\\)\\(\\subseteq M\\)使得\\(\\|x - m_n\\| \\to d\\)。则\\(\\{m_n\\}\\)有界，故在有限维空间\\(M\\)中有收敛子列\\(m_{n_k} \\to m_0\\)。由连续性，\\(\\|x - m_0\\| = d\\)。\\(\\square\\)

注记： - 当\\(M\\)无限维时，最近点不一定存在 - 即使存在，也不一定唯一（除非空间严格凸）

习题 7.1 设\\(X = l^\\infty\\)，\\(M = c_0\\)（收敛到0的序列空间）。证明\\(M\\)是闭子空间，并描述\\(X/M\\)。

习题 7.2 设\\(X = C[0,1]\\)，\\(M = \\{f \\in X : f(0) = 0\\}\\)。证明\\(X/M \\cong \\mathbb{R}\\)（等距同构）。

习题 7.3 证明：商映射\\(\\pi: X \\to X/M\\)是开映射（将开集映为开集）。

习题 7.4 设\\(X = X_1 \\times X_2\\)，证明：\\(X\\)可分当且仅当\\(X_1\\)和\\(X_2\\)都可分。

习题 7.5 证明：赋范空间\\(X\\)的每个有限维子空间都是可补的。

习题 7.6 设\\(P\\)是赋范空间\\(X\\)上的投影算子。证明\\(\\|P\\| \\geq 1\\)（当\\(P \\neq 0\\)）。

习题 7.7 设\\(M\\)是Hilbert空间\\(H\\)的闭子空间，\\(P\\)是正交投影。证明\\(\\|P\\| = 1\\)。

习题 7.8 证明：\\(l^p(1 \\leq p < \\infty)\\)等距同构于\\(l^p \\times l^p\\)。

习题 7.9 设\\(M\\)是Banach空间\\(X\\)的闭子空间。证明：\\(X\\)可分当且仅当\\(M\\)和\\(X/M\\)都可分。

习题 7.10 设\\(X = M \\oplus N\\)，\\(P\\)是到\\(M\\)沿\\(N\\)的投影。证明\\(\\|P\\| = \\sup_{m+n\\neq 0} \\frac{\\|m\\|}{\\|m+n\\|}\\)。

• 商空间的泛函表示：\\((X/M)^* \\cong M^\\perp\\)
• 积空间的对偶：\\((X \\times Y)^* \\cong X^* \\times Y^*\\)
• 不可补子空间的例子

本章介绍了赋范空间的两类重要构造：

1. 商空间：通过闭子空间“粘合”元素，商范数是到子空间的距离
2. 积空间：将多个空间组合，有多种等价的积范数
3. 投影算子将空间分解为直和，在Hilbert空间中有正交投影
4. 这些构造在建立抽象理论和具体计算中都有重要应用