内积空间是欧几里得几何在无限维空间的自然推广。与一般的赋范空间不同，内积空间具有“角度”的概念，可以定义正交性，这使得其结构更加丰富和类似于有限维欧几里得空间。

本章介绍内积空间的基本理论，包括内积公理、由内积诱导的范数、以及内积空间特有的极化恒等式和平行四边形公式。

定义 9.1（内积）设\\(X\\)是数域\\(\\mathbb{K}\\)（\\(\\mathbb{R}\\)或\\(\\mathbb{C}\\)）上的线性空间。映射\\(\\langle \\cdot, \\cdot \\rangle: X \\times X \\to \\mathbb{K}\\)称为内积，如果对任意\\(x, y, z \\in X\\)和\\(\\alpha, \\beta \\in \\mathbb{K}\\)：

(IP1) 共轭对称性：\\(\\langle x, y \\rangle = \\overline{\\langle y, x \\rangle}\\)；

(IP2) 对第一变元的线性：\\(\\langle \\alpha x + \\beta y, z \\rangle = \\alpha \\langle x, z \\rangle + \\beta \\langle y, z \\rangle\\)；

(IP3) 正定性：\\(\\langle x, x \\rangle \\geq 0\\)，且\\(\\langle x, x \\rangle = 0\\)当且仅当\\(x = 0\\)。

\\((X, \\langle \\cdot, \\cdot \\rangle)\\)称为内积空间。

注记： - 当\\(\\mathbb{K} = \\mathbb{R}\\)时，(IP1)变为对称性：\\(\\langle x, y \\rangle = \\langle y, x \\rangle\\) - 由(IP1)和(IP2)，内积对第二变元是共轭线性的：

$$\\langle x, \\alpha y + \\beta z \\rangle = \\bar{\\alpha}\\langle x, y \\rangle + \\bar{\\beta}\\langle x, z \\rangle$$

例 9.1（欧几里得空间）在\\(\\mathbb{R}^n\\)上：

$$\\langle x, y \\rangle = \\sum_{i=1}^n x_i y_i$$

在\\(\\mathbb{C}^n\\)上：

$$\\langle x, y \\rangle = \\sum_{i=1}^n x_i \\bar{y}_i$$

例 9.2（\\(l^2\\)空间）

$$\\langle x, y \\rangle = \\sum_{n=1}^\\infty x_n \\bar{y}_n$$

由Cauchy-Schwarz不等式，级数绝对收敛。

例 9.3（\\(L^2\\)空间）

$$\\langle f, g \\rangle = \\int_\\Omega f(x)\\overline{g(x)}d\\mu(x)$$

例 9.4（连续函数空间）在\\(C[a,b]\\)上：

$$\\langle f, g \\rangle = \\int_a^b f(t)\\overline{g(t)}dt$$

这不是Hilbert空间（不完备）。

定理 9.1（Cauchy-Schwarz不等式）设\\((X, \\langle \\cdot, \\cdot \\rangle)\\)是内积空间。则对任意\\(x, y \\in X\\)：

$$|\\langle x, y \\rangle|^2 \\leq \\langle x, x \\rangle \\langle y, y \\rangle$$

等号成立当且仅当\\(x\\)与\\(y\\)线性相关。

证明：不妨设\\(y \\neq 0\\)。对任意\\(\\lambda \\in \\mathbb{K}\\)：

$$0 \\leq \\langle x - \\lambda y, x - \\lambda y \\rangle = \\langle x, x \\rangle - \\lambda \\langle y, x \\rangle - \\bar{\\lambda}\\langle x, y \\rangle + |\\lambda|^2\\langle y, y \\rangle$$

取\\(\\lambda = \\frac{\\langle x, y \\rangle}{\\langle y, y \\rangle}\\)：

$$0 \\leq \\langle x, x \\rangle - \\frac{|\\langle x, y \\rangle|^2}{\\langle y, y \\rangle}$$

即得结论。等号成立当且仅当\\(x = \\lambda y\\)。\\(\\square\\)

定义 9.2 在内积空间上定义：

$$\\|x\\| = \\sqrt{\\langle x, x \\rangle}$$

定理 9.2 上述定义的\\(\\|\\cdot\\|\\)是范数。

证明：

(N1) \\(\\|x\\| = \\sqrt{\\langle x, x \\rangle} \\geq 0\\)，且\\(\\|x\\| = 0 \\Leftrightarrow \\langle x, x \\rangle = 0 \\Leftrightarrow x = 0\\)

(N2) \\(\\|\\alpha x\\| = \\sqrt{\\langle \\alpha x, \\alpha x \\rangle} = \\sqrt{|\\alpha|^2\\langle x, x \\rangle} = |\\alpha|\\|x\\|\\)

(N3) 由Cauchy-Schwarz：

$$\\|x + y\\|^2 = \\langle x+y, x+y \\rangle = \\|x\\|^2 + 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2$$

$$\\leq \\|x\\|^2 + 2|\\langle x, y \\rangle| + \\|y\\|^2 \\leq \\|x\\|^2 + 2\\|x\\|\\|y\\| + \\|y\\|^2 = (\\|x\\| + \\|y\\|)^2$$

\\(\\square\\)

极化恒等式揭示了内积与范数之间的深刻联系：内积可以由范数恢复。

定理 9.3（极化恒等式）

(实情形) 若\\(\\mathbb{K} = \\mathbb{R}\\)：

$$\\langle x, y \\rangle = \\frac{1}{4}(\\|x+y\\|^2 - \\|x-y\\|^2)$$

(复情形) 若\\(\\mathbb{K} = \\mathbb{C}\\)：

$$\\langle x, y \\rangle = \\frac{1}{4}(\\|x+y\\|^2 - \\|x-y\\|^2 + i\\|x+iy\\|^2 - i\\|x-iy\\|^2)$$

证明（复情形）：

展开\\(\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2\\)

\\(\\|x-y\\|^2 = \\|x\\|^2 - 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2\\)

故\\(\\|x+y\\|^2 - \\|x-y\\|^2 = 4\\text{Re}\\langle x, y \\rangle\\)

同理，\\(\\|x+iy\\|^2 - \\|x-iy\\|^2 = 4\\text{Re}\\langle x, iy \\rangle = 4\\text{Im}\\langle x, y \\rangle\\)

组合即得结论。\\(\\square\\)

注记：极化恒等式说明：内积空间结构完全由其范数结构决定。

定理 9.4（平行四边形公式）在内积空间中，对任意\\(x, y\\)：

$$\\|x+y\\|^2 + \\|x-y\\|^2 = 2(\\|x\\|^2 + \\|y\\|^2)$$

证明：直接展开：

$$\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2$$

$$\\|x-y\\|^2 = \\|x\\|^2 - 2\\text{Re}\\langle x, y \\rangle + \\|y\\|^2$$

相加即得。\\(\\square\\)

几何意义：平行四边形对角线平方和等于四边平方和。

定理 9.5（Jordan-von Neumann定理）赋范空间\\(X\\)是内积空间（范数可由某内积诱导）当且仅当范数满足平行四边形公式。

证明概要：必要性已证。充分性：用极化恒等式定义内积，验证其满足内积公理。关键是用平行四边形公式验证可加性。

例 9.5 \\(l^p\\)（\\(p \\neq 2\\)）不是内积空间。

取\\(x = (1, 0, 0, \\ldots)\\)，\\(y = (0, 1, 0, \\ldots)\\)：

$$\\|x+y\\|_p^2 + \\|x-y\\|_p^2 = 2^{2/p} + 2^{2/p} = 2^{1+2/p}$$

$$2(\\|x\\|_p^2 + \\|y\\|_p^2) = 2(1 + 1) = 4$$

当\\(p \\neq 2\\)时，\\(2^{1+2/p} \\neq 4\\)。

习题 9.1 验证\\(\\mathbb{C}^n\\)上的标准内积满足内积公理。

习题 9.2 在内积空间中，证明：

$$\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + \\|y\\|^2 \\Leftrightarrow \\text{Re}\\langle x, y \\rangle = 0$$

习题 9.3 证明：若\\(\\|x+y\\|^2 = \\|x\\|^2 + \\|y\\|^2\\)对所有\\(x, y\\)成立，则内积空间是实的。

习题 9.4 设\\(\\{x_n\\}\\)是内积空间中的序列，\\(\\|x_n\\| \\to \\|x\\|\\)且\\(\\langle x_n, x \\rangle \\to \\|x\\|^2\\)。证明\\(x_n \\to x\\)。

习题 9.5 证明：内积\\(\\langle \\cdot, \\cdot \\rangle: X \\times X \\to \\mathbb{K}\\)是连续映射。

习题 9.6 设\\(T: X \\to Y\\)是内积空间之间的线性算子且保持内积（\\(\\langle Tx, Ty \\rangle = \\langle x, y \\rangle\\)）。证明\\(\\|Tx\\| = \\|x\\|\\)。

习题 9.7 证明Appolonius恒等式：

$$\\|z-x\\|^2 + \\|z-y\\|^2 = \\frac{1}{2}\\|x-y\\|^2 + 2\\left\\|z - \\frac{x+y}{2}\\right\\|^2$$

习题 9.8 设\\(X\\)是实内积空间，\\(x, y \\neq 0\\)。证明：\\(\\|x+y\\| = \\|x\\| + \\|y\\|\\)当且仅当\\(y = tx\\)（\\(t > 0\\)）。

习题 9.9 验证\\(C[0,1]\\)在上确界范数下不满足平行四边形公式。

习题 9.10 设\\(\\{e_1, \\ldots, e_n\\}\\)是内积空间中的规范正交集。证明对任意\\(x\\)：

$$\\sum_{i=1}^n |\\langle x, e_i \\rangle|^2 \\leq \\|x\\|^2$$

• 严格凸空间与一致凸空间
• 内积空间的特征刻画
• 数值半径与数值值域

本章介绍了内积空间的基础理论：

1. 内积公理定义了“角度”的概念，使空间具有欧几里得结构
2. Cauchy-Schwarz不等式是内积空间的基本不等式
3. 内积自然诱导范数，使内积空间成为赋范空间
4. 极化恒等式表明内积可由范数恢复
5. 平行四边形公式是内积空间的特征性质