第六章有限维赋范空间

6.1 引言

有限维赋范空间虽然维度有限，却具有丰富的结构。与无限维空间相比，有限维空间具有许多良好的性质：所有范数等价、单位球是紧的、线性算子必有界等。这些性质使得有限维空间成为理解无限维空间的起点和参照。

本章将深入研究有限维赋范空间的特性，包括范数等价性、Minkowski泛函等重要概念。

6.2 有限维空间的性质

6.2.1 范数等价性再讨论

证明（详细版）：设\$\\dim X = n\$，\$\\{e_1, \\ldots, e_n\\}\$是\$X\$的一组基。

对\$x = \\sum_{i=1}^n \\xi_i e_i\$，定义：

$$\\|x\\|_0 = \\left(\\sum_{i=1}^n |\\xi_i|^2\\right)^{1/2}$$

这是\$\\mathbb{K}^n\$上标准欧几里得范数通过同构诱导的范数。

第一步：证明任意范数\$\\|\\cdot\\|\$与\$\\|\\cdot\\|_0\$等价。

上界：由三角不等式和Cauchy-Schwarz：

$$\\|x\\| = \\left\\|\\sum_{i=1}^n \\xi_i e_i\\right\\| \\leq \\sum_{i=1}^n |\\xi_i| \\|e_i\\| \\leq \\left(\\sum_{i=1}^n |\\xi_i|^2\\right)^{1/2}\\left(\\sum_{i=1}^n \\|e_i\\|^2\\right)^{1/2} = M \\|x\\|_0$$

其中\$M = \\left(\\sum_{i=1}^n \\|e_i\\|^2\\right)^{1/2}\$。

下界：考虑单位球面\$S = \\{x : \\|x\\|_0 = 1\\}\$。定义：

$$f: S \\to \\mathbb{R}, \\quad f(x) = \\|x\\|$$

\$f\$连续：\$|f(x) - f(y)| = |\\|x\\| - \\|y\\|| \\leq \\|x - y\\| \\leq M\\|x - y\\|_0\$

\$S\$是\$\\mathbb{K}^n\$中的紧集（闭且有界）。由连续函数在紧集上达到最小值，存在\$x_0 \\in S\$使得：

$$m = f(x_0) = \\inf_{x \\in S} \\|x\\|$$

由于\$x_0 \\neq 0\$且范数正定，\$m = \\|x_0\\| > 0\$。

对任意\$x \\neq 0\$，\$x/\\|x\\|_0 \\in S\$，故：

$$\\left\\|\\frac{x}{\\|x\\|_0}\\right\\| \\geq m \\Rightarrow \\|x\\| \\geq m \\|x\\|_0$$

综上：\$m \\|x\\|_0 \\leq \\|x\\| \\leq M \\|x\\|_0\$。

6.2.2 有限维空间的拓扑性质

定理 6.2 有限维赋范空间\$X\$是Banach空间。

证明：\$X\$与\$\\mathbb{K}^n\$（某个\$n\$）代数同构。在\$\\mathbb{K}^n\$上取标准范数\$\\|\\cdot\\|_2\$，则\\¹⁾\\)。

习题 6.5 设\$C\$是线性空间\$X\$中的凸集，\$x_1, \\ldots, x_n \\in C\$，\$t_1, \\ldots, t_n \\geq 0\$，\$\\sum t_i = 1\$。证明\$\\sum_{i=1}^n t_i x_i \\in C\$（凸组合封闭）。

习题 6.6 证明：赋范空间中开球\$B(0, r)\$是凸的吸收集。

习题 6.7 设\$A = \\{(x,y) \\in \\mathbb{R}^2 : |x| + |y| \\leq 1\\}\$。求\$p_A²⁾\$并验证它是范数。

习题 6.8 设\$X\$是有限维赋范空间，\$T: X \\to X\$是线性双射。证明\$T^{-1}\$也是线性的且有界。

习题 6.9 证明：有限维赋范空间是自反的。

习题 6.10 设\$X\$是赋范空间，\$Y\$是有限维子空间。证明\$Y\$在\$X\$中是闭的。

6.7 补充阅读

Auerbach引理：有限维空间中存在“好的”基
John's椭圆定理：有限维空间中的最大体积椭球
Dvoretzky定理：高维空间中的欧几里得截面

本章小结

本章深入研究了有限维赋范空间：

有限维空间上所有范数等价，这是其最重要的性质
有限维Banach空间与\$\\mathbb{K}^n\$拓扑同构
有界闭集=紧集，这是有限维的特征性质
Riesz引理揭示了无限维空间的“厚度”
Minkowski泛函从几何角度刻画范数
有限维空间上的线性算子自动连续

¹⁾

\\mathbb{K}^n, \\|\\cdot\\|_2)\\)完备。由范数等价，\$X\$完备。\$\\square\$ 定理 6.3 有限维赋范空间中，子集\$A\$是紧集当且仅当\$A\$是有界闭集。证明：（\$\\Rightarrow\$）紧集必有界闭（一般度量空间）。（\$\\Leftarrow\$）设\$A\$有界闭。取一组基，\$X\$与\$\\mathbb{K}^n\$同构。\$A\$对应\$\\mathbb{K}^n\$中的有界闭集，由Heine-Borel定理是紧集。\$\\square\$ 推论 6.1 有限维赋范空间的单位闭球是紧集。注记：这是有限维空间与无限维空间的本质区别。在无限维赋范空间中，单位闭球不是紧集。 定理 6.4 赋范空间\$X\$是有限维的当且仅当其单位闭球\$\\bar{B}_X = \\{x : \\|x\\| \\leq 1\\}\$是紧集。证明：（\$\\Rightarrow\$）已证。（\$\\Leftarrow\$）假设\$\\bar{B}_X\$紧但\$\\dim X = \\infty\$。归纳构造序列\$\\{x_n\\}\$使得\$\\|x_n\\| = 1\$且\$d(x_n, \\text{span}\\{x_1, \\ldots, x_{n-1}\\}) \\geq 1/2\$。这样的序列满足\$\\|x_m - x_n\\| \\geq 1/2\$（\$m \\neq n\$），无收敛子列，与\$\\bar{B}_X\$紧矛盾。\$\\square\$ ===== 6.3 Riesz引理 ===== 定理 6.5（Riesz引理）设\$Y\$是赋范空间\$X\$的真闭子空间。则对任意\$\\theta \\in (0, 1)\$，存在\$x_\\theta \\in X\$使得： $$\\|x_\\theta\\| = 1, \\quad \\inf_{y \\in Y} \\|x_\\theta - y\\| \\geq \\theta$$ 证明：取\$x \\in X \\setminus Y\$，令\$d = \\inf_{y \\in Y} \\|x - y\\|\$。由于\$Y\$闭，\$d > 0\$。对\$\\theta \\in (0, 1)\$，存在\$y_0 \\in Y\$使得： $$\\|x - y_0\\| \\leq \\frac{d}{\\theta}$$ 令\$x_\\theta = \\frac{x - y_0}{\\|x - y_0\\|}\$，则\$\\|x_\\theta\\| = 1\$。对任意\$y \\in Y\$： $$\\|x_\\theta - y\\| = \\left\\|\\frac{x - y_0}{\\|x - y_0\\|} - y\\right\\| = \\frac{\\|x - (y_0 + \\|x - y_0\\|y)\\|}{\\|x - y_0\\|}$$ 由于\$y_0 + \\|x - y_0\\|y \\in Y\$： $$\\|x_\\theta - y\\| \\geq \\frac{d}{\\|x - y_0\\|} \\geq \\frac{d}{d/\\theta} = \\theta$$ \$\\square\$ 注记：当\$\\dim X < \\infty\$时，\$\\theta\$可取为1（达到正交）。在无限维空间中，\$\\theta = 1\$一般不可达到。 ===== 6.4 Minkowski泛函 ===== ==== 6.4.1 凸集与吸收集 ===== 定义 6.1（凸集）设\$X\$是线性空间，子集\$C \\subseteq X\$称为凸集，如果对任意\$x, y \\in C\$和\$t \\in [0, 1]\$： $$tx + (1-t)y \\in C$$ 定义 6.2（吸收集）子集\$A \\subseteq X\$称为吸收集，如果对任意\$x \\in X\$，存在\$t > 0\$使得\$tx \\in A\$。等价地，\$X = \\bigcup_{t > 0} tA\$。 定义 6.3（对称集）子集\$A \\subseteq X\$称为对称的（或平衡的），如果对任意\$x \\in A\$和\$|\\alpha| = 1\$，有\$\\alpha x \\in A\$。 ==== 6.4.2 Minkowski泛函的定义 ===== 定义 6.4（Minkowski泛函）设\$A \\subseteq X\$是凸的、吸收的、包含原点的子集。定义Minkowski泛函（或规范函数）： $$p_A(x) = \\inf\\{t > 0 : x \\in tA\\} = \\inf\\{t > 0 : x/t \\in A\\}$$ 注记： - \$p_A(x)\$可理解为将\$A\$放大多少倍才能“包含”\$x\$ - 若\$A\$是单位球，则\$p_A(x) = \\|x\\|\$ 定理 6.6（Minkowski泛函的基本性质）设\$A\$是凸的、吸收的、含原点的子集，则： (1) \$p_A(x) \\geq 0\$（正定性）； (2) \$p_A(\\alpha x) = \\alpha p_A(x)\$对\$\\alpha \\geq 0\$（正齐次性）； (3) \$p_A(x + y) \\leq p_A(x) + p_A(y)\$（次可加性）； (4) 若\$A\$对称，则\$p_A(\\alpha x) = |\\alpha| p_A(x)\$。证明： (2) 对\$\\alpha > 0\$： $$p_A(\\alpha x) = \\inf\\{t > 0 : \\alpha x \\in tA\\} = \\inf\\{t > 0 : x \\in \\frac{t}{\\alpha}A\\}$$ $$= \\alpha \\inf\\{s > 0 : x \\in sA\\} = \\alpha p_A(x)$$ (3) 对\$\\epsilon > 0\$，存在\$s, t > 0\$使得： $$x \\in sA, \\quad p_A(x) \\leq s < p_A(x) + \\epsilon/2$$ $$y \\in tA, \\quad p_A(y) \\leq t < p_A(y) + \\epsilon/2$$ 由凸性： $$\\frac{x + y}{s + t} = \\frac{s}{s+t}\\cdot\\frac{x}{s} + \\frac{t}{s+t}\\cdot\\frac{y}{t} \\in A$$ 故\$x + y \\in (s + t)A\$，\$p_A(x + y) \\leq s + t < p_A(x) + p_A(y) + \\epsilon\$。由\$\\epsilon\$任意性得结论。\$\\square\$ ==== 6.4.3 范数的刻画 ===== 定理 6.7 设\$p\$是线性空间\$X\$上的泛函，满足： (1) \$p(x) \\geq 0\$，且\$p(x) = 0 \\Leftrightarrow x = 0\$； (2) \$p(\\alpha x) = |\\alpha| p(x)\$； (3) \$p(x + y) \\leq p(x) + p(y)\$。则\$p\$是\$X\$上的范数。 定理 6.8 设\$A\$是凸的、吸收的、对称的、有界的（不含整条直线）子集，且\$\\bigcap_{t > 0} tA = \\{0\\}\$。则\$p_A\$是范数，且： $$\\{x : p_A(x) < 1\\} \\subseteq A \\subseteq \\{x : p_A(x) \\leq 1\\}$$ ===== 6.5 有限维空间上的线性算子 ===== 定理 6.9 设\$X\$是有限维赋范空间，\$Y\$是任意赋范空间。则每个线性算子\$T: X \\to Y\$都有界（连续）。证明：设\$\\dim X = n\$，\$\\{e_1, \\ldots, e_n\\}\$是基。对\$x = \\sum_{i=1}^n \\xi_i e_i\$： $$\\|Tx\\| = \\left\\|\\sum_{i=1}^n \\xi_i Te_i\\right\\| \\leq \\sum_{i=1}^n |\\xi_i| \\|Te_i\\| \\leq M' \\sum_{i=1}^n |\\xi_i|$$ 其中\$M' = \\max_i \\|Te_i\\|\$。由有限维空间范数等价，存在\\(M

 > 0\\)使得：

$$\\sum_{i=1}^n |\\xi_i| \\leq M

\\|x\\|$$ 故\$\\|Tx\\| \\leq M' M'' \\|x\\| = M\\|x\\|\$，\$T\$有界。\$\\square\$ 推论 6.2 有限维赋范空间上线性泛函都连续。 ===== 6.6 习题 ===== 习题 6.1 证明：在有限维赋范空间中，所有线性子空间都是闭的。 习题 6.2 设\$X\$是赋范空间，\$\\dim X = \\infty\$。用Riesz引理证明\$X\$的单位球面\$S_X\$不是紧集。 习题 6.3 证明：若赋范空间\$X\$中每个有界序列都有收敛子列，则\$X\$是有限维的。 习题 6.4 设\$A = \\{(x,y) \\in \\mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \\leq 1\\}\$。求Minkowski泛函\\(p_A((x,y

²⁾

x,y

张叶安的小站

目录

第六章有限维赋范空间

6.1 引言

6.2 有限维空间的性质

6.2.1 范数等价性再讨论

6.2.2 有限维空间的拓扑性质

6.7 补充阅读

本章小结

目录

第六章 有限维赋范空间

6.1 引言

6.2 有限维空间的性质

6.2.1 范数等价性再讨论

6.2.2 有限维空间的拓扑性质

6.7 补充阅读

本章小结

第六章有限维赋范空间