泛函分析:第十七章_紧算子的谱理论
第十七章 紧算子的谱理论
17.1 紧算子的定义与性质
定义 17.1（紧算子） 设 $X, Y$ 是Banach空间，$T: X \to Y$ 是线性算子。若 $T$ 将 $X$ 中的有界集映为 $Y$ 中的列紧集，则称 $T$ 为紧算子（或全连续算子）。
等价定义： 对 $X$ 中任意有界序列 $\{x_n\}$，$\{Tx_n\}$ 有收敛子列。
性质： 1. 紧算子是有界算子 2. 有限秩算子是紧算子 3. 紧算子全体构成 $\mathcal{B}(X,Y)$ 的闭子空间 4. 紧算子的值域是可分的
17.2 Riesz-Schauder理论
定理 17.1（Riesz-Schauder） 设 $X$ 是Banach空间，$T \in \mathcal{B}(X)$ 是紧算子，则： 1. $\sigma(T)$ 至多是可列集，$0$ 是唯一可能的聚点 2. 每个非零谱点都是特征值 3. 对应于非零特征值的特征子空间是有限维的
Fredholm择一定理： 设 $T$ 是紧算子，$\lambda \neq 0$，则方程 $(T - \lambda I)x = y$ 有解当且仅当 $y \perp N(T^* - \bar{\lambda}I)$。
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