本章研究赋范线性空间上有界线性算子的共轭（伴随）算子理论，建立二次对偶空间中的自然联系，并深入讨论紧算子的谱性质。

定义 15.1 设 $X, Y$ 是赋范线性空间，$T \in \mathcal{B}(X, Y)$。定义 $T$ 的共轭算子（或伴随算子）$T^*: Y^* \to X^*$ 如下： $$(T^* g)(x) = g(Tx), \quad \forall g \in Y^*, x \in X$$

即 $T^* g = g \circ T \in X^*$。

定理 15.1 对 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，有 $T^* \in \mathcal{B}(Y^*, X^*)$ 且 $\|T^*\| = \|T\|$。

证明 首先验证 $T^*$ 的线性：对 $g_1, g_2 \in Y^*$，$\alpha \in \mathbb{K}$， $$(T^*(g_1 + g_2))(x) = (g_1 + g_2)(Tx) = g_1(Tx) + g_2(Tx) = (T^*g_1)(x) + (T^*g_2)(x)$$ 类似验证齐次性。

有界性：$|(T^*g)(x)| = |g(Tx)| \leq \|g\| \cdot \|T\| \cdot \|x\|$，故 $\|T^*g\| \leq \|T\| \cdot \|g\|$，即 $\|T^*\| \leq \|T\|$。

反向不等式：对任意 $x \in X$，$\|x\| = 1$，由Hahn-Banach定理，存在 $g \in Y^*$，$\|g\| = 1$ 使得 $g(Tx) = \|Tx\|$。于是 $$\|Tx\| = g(Tx) = (T^*g)(x) \leq \|T^*g\| \cdot \|x\| \leq \|T^*\| \cdot \|g\| \cdot \|x\| = \|T^*\|$$ 故 $\|T\| \leq \|T^*\|$。 ∎

命题 15.2 共轭算子具有以下代数性质： (1) $(S + T)^* = S^* + T^*$ (2) $(\alpha T)^* = \alpha T^*$ (3) $(ST)^* = T^* S^*$（当复合有意义时） (4) 若 $T$ 可逆，则 $(T^{-1})^* = (T^*)^{-1}$ (5) $I^* = I$

定理 15.3 设 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，则 (1) $(\text{Im}T)^\perp = \ker T^*$ (2) $\overline{\text{Im}T} = (\ker T^*)_\perp$ (3) $(\text{Im}T^*)^\perp = \ker T$ (4) $\overline{\text{Im}T^*} \subset (\ker T)^\perp$

其中 $M^\perp = \{f \in Y^*: f(y) = 0, \forall y \in M\}$，$N_\perp = \{y \in Y: f(y) = 0, \forall f \in N\}$。

证明 (1) $g \in (\text{Im}T)^\perp \Leftrightarrow g(Tx) = 0, \forall x \in X \Leftrightarrow (T^*g)(x) = 0, \forall x \in X \Leftrightarrow T^*g = 0 \Leftrightarrow g \in \ker T^*$。

(3) $x \in (\text{Im}T^*)^\perp \Leftrightarrow (T^*g)(x) = 0, \forall g \in Y^* \Leftrightarrow g(Tx) = 0, \forall g \in Y^* \Leftrightarrow Tx = 0 \Leftrightarrow x \in \ker T$。

(2) 由双极定理，$\overline{\text{Im}T} = ¹⁾$ 相对紧。$S(B_W)$ 有界，$T$ 紧，故 $T(S(B_W))$ 相对紧。 ∎

推论 15.13 $\mathcal{K}(X)$ 是 $\mathcal{B}(X)$ 的闭双边理想。

定理 15.14 有限秩算子（值域有限维的有界算子）是紧算子。

证明 设 $\dim \text{Im}T < \infty$，则 $T(B_X)$ 是有限维空间中的有界集，故相对紧。 ∎

定理 15.15 设 $Y$ 完备，$T \in \mathcal{B}(X, Y)$。若存在有限秩算子列 $T_n$ 使得 $\|T_n - T\| \to 0$，则 $T \in \mathcal{K}(X, Y)$。

注 逆命题在 $Y$ 有Schauder基时成立。

定理 15.16 设 $H$ 是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H)$。则 $T$ 紧当且仅当存在有限秩算子列 $T_n$ 使得 $\|T_n - T\| \to 0$。

定理 15.17 设 $T \in \mathcal{K}(X, Y)$，则 $T^* \in \mathcal{K}(Y^*, X^*)$。

证明概要 证 $T^*(B_{Y^*})$ 完全有界。利用 $T(B_X)$ 完全有界，构造有限 $\varepsilon$-网。 ∎

定理 15.18 (Schauder) $T \in \mathcal{K}(X, Y)$ 当且仅当 $T^* \in \mathcal{K}(Y^*, X^*)$。

定理 15.19 设 $X$ 是无限维Banach空间，$T \in \mathcal{K}(X)$，则 (1) $0 \in \sigma(T)$（谱） (2) $\sigma(T) \setminus \{0\}$ 至多是可数集，且0是唯一可能的聚点 (3) 每个非零谱点都是特征值，对应有限维特征空间

证明 (1) 若 $0 \notin \sigma(T)$，则 $T$ 可逆，$I = T \cdot T^{-1}$ 紧，从而 $B_X$ 紧，$X$ 有限维，矛盾。

定理 15.20 (Riesz-Schauder) 设 $T \in \mathcal{K}(X)$，$\lambda \neq 0$。则 (1) $\dim \ker(T - \lambda I) < \infty$ (2) $\text{Im}(T - \lambda I)$ 闭 (3) $\dim \ker(T - \lambda I) = \dim \ker(T^* - \lambda I) = \text{codim Im}(T - \lambda I)$

例 15.1 设 $K \in C([a,b] \times [a,b])$，定义 $$(Tx)(s) = \int_a^b K(s,t)x(t)dt$$ 则 $T \in \mathcal{K}(C[a,b])$。

证明 由Arzelà-Ascoli定理，证 $T(B)$ 等度连续且有界。

$K$ 在紧集上一致连续，故对 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得 $|K(s_1,t) - K(s_2,t)| < \varepsilon/(b-a)$ 当 $|s_1 - s_2| < \delta$。于是 $$|(Tx)(s_1) - (Tx)(s_2)| \leq \int_a^b |K(s_1,t) - K(s_2,t)||x(t)|dt < \varepsilon \|x\|_\infty$$ 故 $T(B)$ 等度连续。显然有界，故相对紧。 ∎

例 15.2 Hilbert-Schmidt算子。设 $H = L^2[a,b]$，$K \in L^2([a,b]^2)$，则 $$(Tx)(s) = \int_a^b K(s,t)x(t)dt$$ 定义紧算子，且 $\|T\| \leq \|K\|_{L^2}$。

例题 15.1 设 $T: \ell^2 \to \ell^2$ 定义为 $T(x_1, x_2, …) = (x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, …)$。证明 $T$ 紧。

证明 令 $T_n(x_1, …) = (x_1, \frac{x_2}{2}, …, \frac{x_n}{n}, 0, 0, …)$，则 $T_n$ 有限秩。

$$\|(T - T_n)x\|^2 = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{|x_k|^2}{k^2} \leq \frac{1}{(n+1)^2}\sum_{k=n+1}^\infty |x_k|^2 \leq \frac{\|x\|^2}{(n+1)^2}$$ 故 $\|T - T_n\| \leq \frac{1}{n+1} \to 0$，$T$ 紧。 ∎

例题 15.2 设 $H$ 是Hilbert空间，$T \in \mathcal{B}(H)$ 紧，$\{e_n\}$ 是标准正交系。证明 $\|Te_n\| \to 0$。

证明 $e_n \rightharpoonup 0$（因为 $(e_n, y) = y_n \to 0$ 对 $y \in \ell^2$）。紧算子将弱收敛序列映为强收敛序列，故 $Te_n \to T(0) = 0$。 ∎

例题 15.3 证明恒等算子 $I: \ell^2 \to \ell^2$ 不是紧算子。

证明 标准基 $\{e_n\}$ 是有界序列，但 $\|e_n - e_m\| = \sqrt{2}$（$n \neq m$），无收敛子列，故 $\{Ie_n\} = \{e_n\}$ 不相对紧。 ∎

习题

1. 设 $T \in \mathcal{B}(X, Y)$，证明 $\|T^*\| = \|T\| = \|T^{}\|$。 2. 设 $T \in \mathcal{B}(H)$ 是自伴紧算子，证明存在单位向量 $x$ 使得 $|(Tx, x)| = \|T\|$。 3. 证明：$T \in \mathcal{K}(X, Y)$ 当且仅当对任意弱收敛序列 $x_n \rightharpoonup x$，有 $Tx_n \to Tx$。 4. 设 $T \in \mathcal{B}(\ell^2)$ 定义为 $T(x_n) = (x_{n+1})$（左移算子），求 $T^*$ 和 $T^\dagger$。 5. 设 $T \in \mathcal{K}(H)$，$S \in \mathcal{B}(H)$ 正规（$SS^\dagger = S^\dagger S$）。证明 $ST = TS$ 蕴含 $T = 0$ 或更弱的结论。 6. 设 $K \in L^2([0,1]^2)$，$K(s,t) = \overline{K(t,s)}$（Hermite核）。证明对应的积分算子 $T$ 是自伴紧算子。 7. 证明：Banach空间 $X$ 自反当且仅当对任意 $T \in \mathcal{K}(X)$，$T^*$ 紧。 8. 设 $T \in \mathcal{B}(H)$ 是正规算子，证明 $\|T^2\| = \|T\|^2$ 且 $r(T) = \|T\|$（谱半径等于范数）。 ===== 本章小结 ===== 本章核心内容： - 共轭算子：$T^*: Y^* \to X^*$，$\|T^*\| = \|T\|$ - 二次共轭：$T^{}$ 延拓 $T$ - Hilbert空间伴随：$(T^\dagger x, y) = (x, Ty)$ - 紧算子：将有界集映为相对紧集，构成闭理想 - 有限秩算子逼近紧算子（Hilbert空间） - 紧算子谱：非零谱点至多可数，都是特征值

1. Rudin W. Functional Analysis. McGraw-Hill. 2. Conway J.B. A Course in Functional Analysis. Springer. 3. 张恭庆, 林源渠. 泛函分析讲义. 北京大学出版社.