本章研究赋范线性空间的对偶结构，引入自反空间的概念，并建立弱收敛与弱*收敛的理论框架，这是无限维空间中序列收敛性的重要推广。

定义 14.1 设 $X$ 是赋范线性空间，$X^*$ 是其对偶空间。$X^{} = (X^*)^*$ 称为 $X$ 的二次对偶空间（或双对偶空间）。 定义 14.2 定义映射 $J: X \to X^{}$ 如下：对 $x \in X$，$Jx \in X^{}$ 定义为 $$(Jx)(f) = f(x), \quad \forall f \in X^*$$ 称 $J$ 为自然嵌入映射（或典范嵌入）。 定理 14.1 自然嵌入 $J: X \to X^{}$ 是线性等距映射。

证明 线性性：对 $x, y \in X$，$\alpha, \beta \in \mathbb{K}$， $$(J(\alpha x + \beta y))(f) = f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = \alpha(Jx)(f) + \beta(Jy)(f)$$ 故 $J(\alpha x + \beta y) = \alpha Jx + \beta Jy$。

等距性：$\|Jx\| = \sup_{\|f\|=1} |(Jx)(f)| = \sup_{\|f\|=1} |f(x)| = \|x\|$（由Hahn-Banach推论）。 ∎

注 自然嵌入 $J$ 不一定是满射。当 $J$ 是满射时，$X \cong X^{}$，此时称 $X$ 为自反空间。 ===== 14.2 自反空间 ===== 定义 14.3 赋范线性空间 $X$ 称为自反空间，如果自然嵌入 $J: X \to X^{}$ 是满射，即 $X \cong X^{}$。 例 14.1 有限维赋范空间都是自反的。 证明 设 $\dim X = n$，则 $\dim X^* = n$，$\dim X^{} = n$。$J: X \to X^{}$ 是线性单射且维数相同，故是同构。 ∎ 例 14.2 $\ell^p$（$1 < p < \infty$）是自反空间。 证明 $(\ell^p)^{} = (\ell^q)^* = \ell^p$（其中 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$）。 ∎

例 14.3 $L^p[a,b]$（$1 < p < \infty$）是自反空间。

例 14.4 Hilbert空间是自反空间。

证明 由Riesz表示定理，$H^* \cong H$，故 $H^{} \cong H^* \cong H$。 ∎ 例 14.5 $\ell^1$、$\ell^\infty$、$L^1[a,b]$、$L^\infty[a,b]$、$C[a,b]$ 都不是自反空间。 定理 14.2 自反空间 $X$ 的闭子空间 $M$ 也是自反空间。 证明 设 $J_M: M \to M^{}$ 是自然嵌入，$J: X \to X^{}$。对 $\varphi \in M^{}$，定义 $\tilde{\varphi} \in X^{}$： $$(\tilde{\varphi})(f) = \varphi(f|_M), \quad \forall f \in X^*$$ 由 $X$ 自反，存在 $x_0 \in X$ 使得 $Jx_0 = \tilde{\varphi}$。需证 $x_0 \in M$。 若 $x_0 \notin M$，由Hahn-Banach定理，存在 $f \in X^*$ 使得 $f|_M = 0$ 但 $f(x_0) \neq 0$。于是 $$(Jx_0)(f) = f(x_0) \neq 0 = \varphi(0) = \tilde{\varphi}(f)$$ 矛盾。故 $x_0 \in M$，且可验证 $J_M x_0 = \varphi$。 ∎ 定理 14.3 自反空间 $X$ 是Banach空间。 证明 $X^{}$ 是Banach空间，$J(X) \subset X^{}$ 是闭子空间（等距同构），故 $X$ 完备。 ∎ 定理 14.4 (Pettis) 自反空间 $X$ 的对偶空间 $X^*$ 也是自反的。 证明 设 $\pi: X^* \to (X^*)^{} = X^{*}$ 是自然嵌入，$J: X \to X^{}$ 是 $X$ 的自然嵌入（满射）。对 $\psi \in X^{*}$，定义 $g \in X^*$： $$g(x) = \psi(Jx), \quad \forall x \in X$$ 需证 $\pi(g) = \psi$。对任意 $h \in X^{}$，由 $J$ 满射，$h = Jx$ 对某 $x \in X$，于是 $$(\pi(g))(h) = h(g) = (Jx)(g) = g(x) = \psi(Jx) = \psi(h)$$ ∎

定理 14.5 (Kakutani) 赋范线性空间 $X$ 自反当且仅当 $X$ 的单位闭球 $B_X = \{x: \|x\| \leq 1\}$ 是弱紧的。

在无限维赋范空间中，按范数收敛（强收敛）过于严格，很多序列不收敛。弱收敛是更弱的收敛概念。

定义 14.4 设 $X$ 是赋范线性空间，$\{x_n\} \subset X$，$x \in X$。称 $x_n$ 弱收敛到 $x$，记为 $x_n \rightharpoonup x$ 或 $w-\lim x_n = x$，如果对任意 $f \in X^*$， $$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x)$$

命题 14.6 强收敛蕴含弱收敛，即 $x_n \to x$（范数收敛）$\Rightarrow$ $x_n \rightharpoonup x$。

证明 $|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| \leq \|f\|\cdot\|x_n - x\| \to 0$。 ∎

命题 14.7 弱收敛的极限唯一。

证明 设 $x_n \rightharpoonup x$ 且 $x_n \rightharpoonup y$，则对所有 $f \in X^*$，$f(x) = f(y)$。由Hahn-Banach定理，$x = y$。 ∎

定理 14.8 若 $x_n \rightharpoonup x$，则 $\sup_n \|x_n\| < \infty$ 且 $\|x\| \leq \liminf_{n \to \infty} \|x_n\|$（弱下半连续性）。

证明 对 $Jx_n \in X^{}$，由一致有界原理，$\sup_n \|Jx_n\| = \sup_n \|x_n\| < \infty$。 对任意 $f \in X^*$，$\|f\| = 1$： $$|f(x)| = \lim_{n \to \infty} |f(x_n)| \leq \liminf_{n \to \infty} \|x_n\|$$ 取上确界得 $\|x\| \leq \liminf_{n \to \infty} \|x_n\|$。 ∎ 定理 14.9 有限维空间中，弱收敛等价于强收敛。 证明 设 $\dim X = k$，取基 $\{e_1, …, e_k\}$，对应坐标泛函 $f_1, …, f_k \in X^*$。若 $x_n \rightharpoonup x$，则 $f_j(x_n) \to f_j(x)$ 对所有 $j$ 成立，即坐标收敛，从而范数收敛。 ∎ 定理 14.10 (Mazur) 设 $X$ 是赋范线性空间，$C \subset X$ 是凸集，则 $C$ 的弱闭包等于范数闭包：$\overline{C}^w = \overline{C}$。 推论 14.11 若 $x_n \rightharpoonup x$，则存在 $\{x_n\}$ 的凸组合强收敛到 $x$。 ===== 14.4 弱*收敛 ===== 定义 14.5 设 $X$ 是赋范线性空间，$\{f_n\} \subset X^*$，$f \in X^*$。称 $f_n$ 弱*收敛到 $f$，记为 $f_n \stackrel{w^*}{\rightharpoonup} f$，如果对任意 $x \in X$， $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$ 注 弱*收敛是 $X^*$ 上的逐点收敛，而弱收敛是 $(X^*)^* = X^{}$ 上的逐点收敛。由于 $J(X) \subset X^{}$，弱*收敛比弱收敛更弱。 定理 14.12 (Banach-Alaoglu) 设 $X$ 是赋范线性空间，则 $X^*$ 的闭单位球 $B_{X^*} = \{f \in X^*: \|f\| \leq 1\}$ 是弱*紧的。 证明概要 将 $B_{X^*}$ 嵌入 $\prod_{x \in X} D_{\|x\|}$，其中 $D_r = \{z \in \mathbb{K}: |z| \leq r\}$。由Tychonoff定理，后者紧。$B_{X^*}$ 是闭子集（线性性条件），故弱*紧。 ∎ 定理 14.13 若 $X$ 可分，则 $B_{X^*}$ 是弱*序列紧的，即任何有界序列有弱*收敛子列。 定理 14.14 若 $X$ 自反，则 $B_X$ 是弱序列紧的，即任何有界序列有弱收敛子列。 ===== 14.5 Schauder基与自反性 ===== 定义 14.6 Banach空间 $X$ 的序列 $\{e_n\}$ 称为Schauder基，如果对任意 $x \in X$，存在唯一的标量序列 $\{a_n\}$ 使得 $$x = \sum_{n=1}^\infty a_n e_n$$ （级数按范数收敛）。 定理 14.15 若 $X$ 有Schauder基，则 $X$ 可分。 定理 14.16 $\ell^p$（$1 \leq p < \infty$）有Schauder基 $\{e_n\}$，其中 $e_n = (0,…,0,1,0,…)$。 定理 14.17 若 $X$ 有Schauder基 $\{e_n\}$，则 $X$ 自反当且仅当基 $\{e_n\}$ 是收缩基（shrinking）和有界完全基（boundedly complete）。 ===== 14.6 具体空间的弱收敛 ===== 定理 14.18 在 $\ell^p$（$1 < p < \infty$）中，$x^{(n)} \rightharpoonup x$ 当且仅当 $\sup_n \|x^{(n)}\|_p < \infty$ 且对每个 $k$，$x^{(n)}_k \to x_k$（坐标收敛）。 定理 14.19 在 $L^p[a,b]$（$1 < p < \infty$）中，$f_n \rightharpoonup f$ 当且仅当 $\sup_n \|f_n\|_p < \infty$ 且对每个可测集 $E$，$\int_E f_n \to \int_E f$。 定理 14.20 (Riesz) 在 $L^1[a,b]$ 中，$f_n \rightharpoonup f$ 当且仅当 $\sup_n \|f_n\|_1 < \infty$ 且 $\{f_n\}$ 等度绝对连续积分（一致可积性）。 ===== 14.7 例题与习题 ===== 例题 14.1 在 $\ell^2$ 中，$e_n \rightharpoonup 0$ 但 $e_n \not\to 0$（按范数）。 证明 对任意 $f \in (\ell^2)^* = \ell^2$，设 $f = y = (y_k)$，则 $f(e_n) = y_n \to 0$（因为 $y \in \ell^2$）。但 $\|e_n\|_2 = 1 \not\to 0$。 ∎ 例题 14.2 证明 $c_0$ 不是自反空间。 证明 $c_0^* = \ell^1$，$(c_0)^{} = (\ell^1)^* = \ell^\infty$。若 $c_0$ 自反，则 $c_0 \cong \ell^\infty$，但 $c_0$ 可分而 $\ell^\infty$ 不可分，矛盾。 ∎

例题 14.3 设 $X$ 是自反Banach空间，$M \subset X$ 是闭凸子集。证明对任意 $x \in X$，存在 $y \in M$ 使得 $\|x - y\| = d(x, M)$（最佳逼近存在）。

证明 取 $\{y_n\} \subset M$ 使得 $\|x - y_n\| \to d(x, M) = d$。则 $\{y_n\}$ 有界，由自反性，存在弱收敛子列 $y_{n_k} \rightharpoonup y$。由Mazur定理，$y \in M$。由范数弱下半连续性： $$\|x - y\| \leq \liminf_{k \to \infty} \|x - y_{n_k}\| = d$$ 故 $\|x - y\| = d$。 ∎

习题

1. 证明：$x_n \rightharpoonup x$ 且 $f_n \to f$（在 $X^*$ 中）$\Rightarrow$ $f_n(x_n) \to f(x)$。

2. 设 $X$ 是自反Banach空间，证明 $X$ 的闭单位球是弱紧的。

3. 证明：$f_n \stackrel{w^*}{\rightharpoonup} f$ 且 $f_n \stackrel{w^*}{\rightharpoonup} g$ $\Rightarrow$ $f = g$。

4. 在 $\ell^1$ 中，证明 $e_n$ 弱收敛于0的充分必要条件是 $\ell^1$ 自反。由此得出 $\ell^1$ 不是自反的。

5. 设 $X$ 是Banach空间，$\{x_n\}$ 弱Cauchy（即对每个 $f \in X^*$，$\{f(x_n)\}$ 是Cauchy列）。证明 $\{x_n\}$ 有界。

6. 设 $X$ 是自反Banach空间，$T: X \to Y$ 是有界线性算子。证明 $T$ 将有界集映为相对弱紧集。

7. 证明：$L^\infty[0,1]$ 不是自反空间。

8. 设 $X$ 是赋范线性空间，$M \subset X^*$。证明 $M$ 是弱*闭的当且仅当 $M$ 是弱*序列闭的且范数有界的。

本章要点： - 自然嵌入 $J: X \to X^{}$ 是线性等距 - 自反空间：$X \cong X^{}$，具有优良的对称性 - 弱收敛：按泛函值收敛，比强收敛弱 - 弱*收敛：对偶空间上的逐点收敛 - Banach-Alaoglu定理：单位球弱*紧 - 自反空间中单位球弱序列紧

1. Brezis H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer. 2. Yosida K. Functional Analysis. Springer. 3. 夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 舒五昌. 实变函数论与泛函分析（下册）. 高等教育出版社.