第四章度量空间上的映射

4.1 引言

本章研究度量空间之间的映射，特别是保持某种结构或性质的映射。连续映射是最基本的类型，它是拓扑学的核心概念。等距映射保持距离结构，是度量空间之间的“同构”。利普希茨映射是一类重要的映射，它不仅连续，而且具有更强的正则性。

理解这些映射的性质对于研究泛函分析中的算子理论至关重要。

4.2 连续映射

4.2.1 连续性的定义

定义 4.1（连续性）设\\¹⁾ < \\epsilon$$

(2) \$f\$在\$X\$上连续，如果\$f\$在\$X\$的每一点都连续。

(3) \$f\$一致连续，如果对任意\$\\epsilon > 0\$，存在\$\\delta > 0\$，使得对所有\$x_1, x_2 \\in X\$，当\$d_X(x_1, x_2) < \\delta\$时：

$$d_Y(f(x_1), f(x_2)) < \\epsilon$$

注记：一致连续性中\$\\delta\$仅依赖于\$\\epsilon\$，与点的位置无关；而普通连续性中\$\\delta\$可能依赖于\$\\epsilon\$和点\$x_0\$。

例 4.1 \$f(x) = x^2\$在\$\\mathbb{R}\$上连续但非一致连续。

证明：连续性显然。对\$\\epsilon = 1\$，假设存在\$\\delta > 0\$。取\$x = n\$，\$y = n + \\delta/2\$，则\$|x - y| = \\delta/2 < \\delta\$，但：

$$|f(y) - f(x)| = |y^2 - x^2| = |y+x||y-x| = (2n + \\delta/2)(\\delta/2) > n\\delta$$

当\$n\$足够大时，\$n\\delta > 1\$。

例 4.2 \$f(x) = \\sqrt{x}\$在\$[0, \\infty)\$上一致连续。

证明：\$|\\sqrt{x} - \\sqrt{y}| = \\frac{|x-y|}{\\sqrt{x} + \\sqrt{y}}\$。当\$|x-y| < \\delta\$时： - 若\$x, y \\geq 1\$，则\$|\\sqrt{x} - \\sqrt{y}| \\leq |x-y|/2 < \\delta/2\$ - 若\$x, y \\in [0, 2]\$，由Cantor定理，一致连续 - 综合得一致连续性

4.2.2 连续性的等价刻画

定理 4.1（连续性的等价条件）设\$f: X \\to Y\$，以下条件等价：

(1) \$f\$在\$x_0\$处连续；

(2) 对\$f(x_0)\$的任意邻域\$V\$，存在\$x_0\$的邻域\$U\$使得\$f(U) \\subseteq V\$；

(3) 对任意\$\\epsilon > 0\$，\$f^{-1}(B(f(x_0), \\epsilon))\$是\$x_0\$的邻域；

(4) 若\$x_n \\to x_0\$，则\$f(x_n) \\to f(x_0)\$。

定理 4.2（整体连续性的等价条件）设\$f: X \\to Y\$，以下条件等价：

(1) \$f\$在\$X\$上连续；

(2) 对\$Y\$的任意开集\$G\$，\$f^{-1}(G)\$是\$X\$的开集；

(3) 对\$Y\$的任意闭集\$F\$，\$f^{-1}(F)\$是\$X\$的闭集；

(4) 对任意\$A \\subseteq X\$，\$f(\\bar{A}) \\subseteq \\overline{f(A)}\$。

证明（\\²⁾ \\subseteq B(f(x_0), \\epsilon) \\subseteq G\\)，故\$B(x_0, \\delta) \\subseteq f^{-1}(G)\$，\$f^{-1}(G)\$开。

\\³⁾\\)是开集且含\$x_0\$。存在\$\\delta > 0\$使得\$B(x_0, \\delta) \\subseteq f^{-1}(B(f(x_0), \\epsilon))\$，即\$f(B(x_0, \\delta)) \\subseteq B(f(x_0), \\epsilon)\$。\$\\square\$

4.2.3 连续映射的性质

定理 4.3 连续映射的复合是连续的。即若\$f: X \\to Y\$和\$g: Y \\to Z\$都连续，则\$g \\circ f: X \\to Z\$连续。

定理 4.4（Cantor定理）紧度量空间上的连续映射是一致连续的。

证明：设\$f: K \\to Y\$连续，\$K\$紧。对\$\\epsilon > 0\$，对每个\$x \\in K\$，存在\$\\delta_x > 0\$使得\$f(B(x, \\delta_x)) \\subseteq B(f(x), \\epsilon/2)\$。

\$\\{B(x, \\delta_x/2)\\}_{x \\in K}\$是\$K\$的开覆盖，有有限子覆盖\$\\{B(x_i, \\delta_{x_i}/2)\\}_{i=1}^n\$。取\$\\delta = \\min_{1 \\leq i \\leq n} \\delta_{x_i}/2\$。

当\$d(x, y) < \\delta\$时，存在\$i\$使得\$x \\in B(x_i, \\delta_{x_i}/2)\$。则：

$$d(y, x_i) \\leq d(y, x) + d(x, x_i) < \\delta + \\frac{\\delta_{x_i}}{2} \\leq \\delta_{x_i}$$

故\$x, y \\in B(x_i, \\delta_{x_i})\$，\$f(x), f(y) \\in B(f(x_i), \\epsilon/2)\$。因此：

$$d(f(x), f(y)) \\leq d(f(x), f(x_i)) + d(f(x_i), f(y)) < \\epsilon$$

\$\\square\$

定理 4.5 紧集上的连续实值函数必达到最大值和最小值。

证明：\$f(K)\$是\$\\mathbb{R}\$中的紧集，故有界闭。\$\\sup f(K) \\in f(K)\$，\$\\inf f(K) \\in f(K)\$。\$\\square\$

4.3 同胚映射

定义 4.2（同胚）设\$f: X \\to Y\$是双射。如果\$f\$和\$f^{-1}\$都连续，则称\$f\$为同胚映射，\$X\$和\$Y\$同胚。

注记：同胚是拓扑学的基本等价关系。同胚的空间具有相同的拓扑性质（开集、闭集、收敛性、紧性等）。

例 4.3 \\⁴⁾ = B(Tx, r)\\)；

(2) 闭球映为闭球：\$T(\\bar{B}(x, r)) = \\bar{B}(Tx, r)\$；

(3) Cauchy列映为Cauchy列；

(4) 收敛列映为收敛列。

证明：直接由定义验证。\$\\square\$

定理 4.8 设\$X\$完备，\$Y\$是度量空间，\$T: X \\to Y\$是等距映射。则\$T(X)\$是\$Y\$的完备子空间。

证明：设\$\\{y_n\\}\$\$\\subseteq T(X)\$是Cauchy列，\$y_n = Tx_n\$。由\$T\$等距，\$\\{x_n\\}\$是\$X\$中的Cauchy列。由\$X\$完备，\$x_n \\to x\$。由\$T\$连续，\$y_n = Tx_n \\to Tx \\in T(X)\$。\$\\square\$

4.5 利普希茨映射

4.5.1 利普希茨映射的定义

定义 4.4（利普希茨映射）设\\⁵⁾ \\leq L \\cdot d_X(x_1, x_2)$$

最小的这样的\$L\$称为利普希茨常数，记作\$\\text{Lip}(f)\$。

定义 4.5（压缩映射回顾）若\$\\text{Lip}(f) < 1\$，则\$f\$称为压缩映射。

注记： - 利普希茨映射必是一致连续的（取\$\\delta = \\epsilon/L\$） - 压缩映射是利普希茨映射的特殊情形 - 利普希茨常数\$\\text{Lip}(f)\$可定义为：

$$\\text{Lip}(f) = \\sup_{x_1 \\neq x_2} \\frac{d_Y(f(x_1), f(x_2))}{d_X(x_1, x_2)}$$

例 4.8 可微函数\$f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\$满足\$|f'(x)| \\leq L\$对所有\$x\$，则\$f\$是利普希茨映射，且\$\\text{Lip}(f) \\leq L\$。

证明：由中值定理，\$|f(x) - f(y)| = |f'(\\xi)| |x - y| \\leq L|x - y|\$。

例 4.9 投影映射\$\\pi_i: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}\$，\$\\pi_i(x_1, \\ldots, x_n) = x_i\$是利普希茨映射：

$$|\\pi_i(x) - \\pi_i(y)| = |x_i - y_i| \\leq \\left(\\sum_{j=1}^n |x_j - y_j|^2\\right)^{1/2} = d_2(x, y)$$

4.5.2 利普希茨映射的性质

定理 4.9

(1) 利普希茨映射的复合是利普希茨映射：

$$\\text{Lip}(g \\circ f) \\leq \\text{Lip}(g) \\cdot \\text{Lip}(f)$$

(2) 利普希茨映射的和是利普希茨映射（在适当条件下）。

证明：

(1) \$d(g(f(x)), g(f(y))) \\leq \\text{Lip}(g) \\cdot d(f(x), f(y)) \\leq \\text{Lip}(g) \\cdot \\text{Lip}(f) \\cdot d(x, y)\$

\$\\square\$

定理 4.10 设\$K \\subseteq \\mathbb{R}^n\$是凸集，\$f: K \\to \\mathbb{R}^m\$可微。则：

$$\\text{Lip}(f) = \\sup_{x \\in K} \\|f'(x)\\|$$

其中\$f'(x)\$是Jacobi矩阵，\$\\|\\cdot\\|\$是算子范数。

4.5.3 应用：微分方程

Picard-Lindelöf定理：考虑初值问题：

$$\\frac{dy}{dx} = f(x, y), \\quad y(x_0) = y_0$$

若\$f\$在矩形区域\$R = \\{(x,y) : |x-x_0| \\leq a, |y-y_0| \\leq b\\}\$上连续，且关于\$y\$满足利普希茨条件：

$$|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \\leq L|y_1 - y_2|$$

则初值问题在\$|x - x_0| \\leq h\$（\$h = \\min\\{a, b/M\\}\$，\$M = \\max_R |f|\$）上存在唯一解。

证明概要：等价于积分方程：

$$y(x) = y_0 + \\int_{x_0}^x f(t, y(t))dt$$

定义\\⁶⁾dt\\)。证明\$T\$是适当空间上的压缩映射，应用不动点定理。\$\\square\$

4.6 一致同胚与拟等距

定义 4.6（一致同胚）映射\$f: X \\to Y\$称为一致同胚，如果\$f\$是双射且\$f\$和\$f^{-1}\$都一致连续。

定义 4.7（拟等距）映射\$f: X \\to Y\$称为拟等距（或粗等距），如果存在常数\$L \\geq 1\$和\$C \\geq 0\$，使得对所有\$x_1, x_2 \\in X\$：

$$\\frac{1}{L}d_X(x_1, x_2) - C \\leq d_Y(f(x_1), f(x_2)) \\leq L \\cdot d_X(x_1, x_2) + C$$

且\$f(X)\$在\$Y\$中是C-稠密的（即每个\$y \\in Y\$与\$f(X)\$的距离不超过\$C\$）。

注记：拟等距在大规模几何（geometric group theory）中很重要，它保持了空间的“大尺度”结构。

4.7 习题

习题 4.1 证明\$f(x) = \\frac{1}{x}\$在\\⁷⁾ \\leq \\text{Lip}(f) \\cdot \\text{diam}(A)$$

习题 4.6 设\$f_n: X \\to Y\$是一列连续映射，\$f_n \\rightrightarrows f\$（一致收敛）。证明\$f\$连续。

习题 4.7 证明\$C[0,1]\$（上确界范数）与\$C[a,b]\$等距同构。

习题 4.8 设\$f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}\$可微且\$|f'(x)| \\leq L\$。证明\$f\$是利普希茨映射且\$\\text{Lip}(f) \\leq L\$。

习题 4.9 构造一个连续但不是利普希茨的映射的例子。

习题 4.10 证明：紧度量空间上的双射连续映射是同胚映射。

4.8 补充阅读

Hölder连续映射：满足\$d(f(x), f(y)) \\leq L \\cdot d(x, y)^\\alpha\$（\$0 < \\alpha \\leq 1\$）
模 of continuity：量化连续性的精细工具
度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离

本章小结

本章系统研究了度量空间之间的各类映射：

连续映射是拓扑学的核心，有多种等价刻画
紧集上的连续映射具有一致连续性等重要性质
等距映射保持度量结构，是度量空间之间的“同构”
利普希茨映射具有更强的正则性，在微分方程中有重要应用
压缩映射原理依赖于利普希茨条件

¹⁾

X, d_X)\\)和\$(Y, d_Y)\$是度量空间，映射\$f: X \\to Y\$，\$x_0 \\in X\$。 (1) \$f\$在\$x_0\$处连续，如果对任意\$\\epsilon > 0\$，存在\$\\delta > 0\$，使得当\$d_X(x, x_0) < \\delta\$时： $$d_Y(f(x), f(x_0

²⁾

1) \\Leftrightarrow (2)\\)）： \$(1) \\Rightarrow (2)\$：设\$G\$是\$Y\$的开集，\$x_0 \\in f^{-1}(G)\$。则\$f(x_0) \\in G\$，存在\$\\epsilon > 0\$使得\$B(f(x_0), \\epsilon) \\subseteq G\$。由连续性，存在\$\\delta > 0\$使得\\(f(B(x_0, \\delta

³⁾

2) \\Rightarrow (1)\\)：对\$x_0 \\in X\$和\$\\epsilon > 0\$，\$B(f(x_0), \\epsilon)\$是开集，故\\(f^{-1}(B(f(x_0), \\epsilon

⁴⁾

-1, 1)\\)与\$\\mathbb{R}\$同胚。同胚映射为\$f(x) = \\tan(\\frac{\\pi}{2}x)\$或\$f(x) = \\frac{x}{1-|x|}\$。 例 4.4 闭区间\$[a,b]\$与\$[c,d]\$同胚（线性映射）。但\$[0,1]\$与\$(0,1)\$不同胚（前者紧后者不紧）。 定理 4.6（同胚不变量）以下性质在同胚下保持不变： - 连通性 - 紧性 - 可分性 - 维数（适当定义下） ===== 4.4 等距映射 ===== ==== 4.4.1 等距映射的定义 ===== 定义 4.3（等距映射）设\$(X, d_X)\$和\$(Y, d_Y)\$是度量空间，映射\$T: X \\to Y\$称为等距映射（或保距映射），如果对任意\$x_1, x_2 \\in X\$： $$d_Y(Tx_1, Tx_2) = d_X(x_1, x_2)$$ 若\$T\$还是双射，则称\$X\$与\$Y\$等距同构。注记： - 等距映射必是单射 - 等距映射必是连续映射（实际上是同胚嵌入） - 等距同构的度量空间具有完全相同的度量结构 例 4.5 \$\\mathbb{R}^n\$上的平移\$T(x) = x + a\$是等距映射。 例 4.6 \$\\mathbb{R}^n\$上的正交变换是等距映射。 例 4.7 设\$X = l^2\$，\$e_n = (0, \\ldots, 0, 1, 0, \\ldots)\$（第\$n\$位为1）。映射\$T: l^2 \\to l^2\$，\$T(x_1, x_2, \\ldots) = (0, x_1, x_2, \\ldots)\$（右移算子）是等距映射但不是满射。 ==== 4.4.2 等距映射的性质 ===== 定理 4.7 等距映射\$T: X \\to Y\$将： (1) 开球映为开球：\\(T(B(x, r

⁵⁾

X, d_X)\\)和\$(Y, d_Y)\$是度量空间，映射\$f: X \\to Y\$称为利普希茨映射，如果存在常数\$L > 0\$，使得对所有\$x_1, x_2 \\in X\$： $$d_Y(f(x_1), f(x_2

⁶⁾

Ty)(x) = y_0 + \\int_{x_0}^x f(t, y(t

⁷⁾

0, 1]\\)上连续但非一致连续，在\$[a, \\infty)\$（\$a > 0\$）上一致连续。 习题 4.2 设\$f: X \\to Y\$连续，\$K \\subseteq X\$紧。证明\$f|_K\$（\$f\$在\$K\$上的限制）一致连续。 习题 4.3 证明度量空间\$X\$和\$Y\$等距同构当且仅当存在满射\$T: X \\to Y\$使得对所有\$x_1, x_2 \\in X\$，\$d_Y(Tx_1, Tx_2) = d_X(x_1, x_2)\$。 习题 4.4 设\$f: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}^n\$满足\$\\|f(x) - f(y)\\| = \\|x - y\\|\$对所有\$x, y\$且\$f(0) = 0\$。证明\$f\$是线性正交变换。 习题 4.5 设\$f: X \\to Y\$是利普希茨映射，\$A \\subseteq X\$。证明： $$\\text{diam}(f(A

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目录

第四章度量空间上的映射

4.1 引言

4.2 连续映射

4.2.1 连续性的定义

4.2.2 连续性的等价刻画

4.2.3 连续映射的性质

4.3 同胚映射

4.5 利普希茨映射

4.5.1 利普希茨映射的定义

4.5.2 利普希茨映射的性质

4.5.3 应用：微分方程

4.6 一致同胚与拟等距

4.7 习题

4.8 补充阅读

本章小结

目录

第四章 度量空间上的映射

4.1 引言

4.2 连续映射

4.2.1 连续性的定义

4.2.2 连续性的等价刻画

4.2.3 连续映射的性质

4.3 同胚映射

4.5 利普希茨映射

4.5.1 利普希茨映射的定义

4.5.2 利普希茨映射的性质

4.5.3 应用：微分方程

4.6 一致同胚与拟等距

4.7 习题

4.8 补充阅读

本章小结

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