在运动学中，对同一物体的运动可以从不同的参考系进行描述。例如，下雨时地面观察者看到雨点垂直下落，而行驶汽车中的观察者看到雨点斜向后方运动。这说明运动具有相对性——同一物体的运动在不同参考系中的描述是不同的。

本章研究点相对于不同参考系运动之间的关系，建立绝对运动、相对运动和牵连运动的概念，推导它们之间的速度关系和加速度关系。这是运动学中的重要理论，也是分析复杂机构运动的基础。

研究动点 $M$ 的运动，取两个参考系：

定参考系（定系）：固连于地球的参考系，记为 $Oxyz$。

动参考系（动系）：固连于运动物体上的参考系，记为 $O'x'y'z'$。

三种运动：

• 绝对运动：动点相对于定系的运动
• 相对运动：动点相对于动系的运动
• 牵连运动：动系相对于定系的运动（刚体运动）

• 绝对速度 $\vec{v}_a$：动点相对于定系的速度
• 相对速度 $\vec{v}_r$：动点相对于动系的速度
• 牵连速度 $\vec{v}_e$：某瞬时动系上与动点重合的点（牵连点）相对于定系的速度

类似定义绝对加速度 $\vec{a}_a$、相对加速度 $\vec{a}_r$、牵连加速度 $\vec{a}_e$。

定理：动点在某瞬时的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和：

$$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$$

设动点 $M$ 在定系中的位置矢量为 $\vec{r}$，在动系中的位置矢量为 $\vec{r}'$，动系原点 $O'$ 在定系中的位置矢量为 $\vec{r}_{O'}$。

则： $$\vec{r} = \vec{r}_{O'} + \vec{r}'$$

对时间求导： $$\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}_{O'}}{dt} + \frac{d\vec{r}'}{dt}$$

左边：$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}_a$（绝对速度）

右边第一项：$\frac{d\vec{r}_{O'}}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{r}'$ 的合成为牵连速度 $\vec{v}_e$

右边第二项在动系中求导为相对速度 $\vec{v}_r$

因此： $$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r}$$

• 该定理适用于任意形式的牵连运动（平移、转动或其他复杂运动）
• 三个速度矢量构成速度平行四边形
• 可求解两个未知量（大小或方向）

当牵连运动为平移时，动系的角速度 $\vec{\omega}_e = 0$。

定理： $$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r$$

绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。

当牵连运动为转动时，加速度合成定理需引入科氏加速度（Coriolis Acceleration）。

定理： $$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r + \vec{a}_C$$

其中科氏加速度： $$\vec{a}_C = 2\vec{\omega}_e \times \vec{v}_r$$

科氏加速度是由于：

• 牵连运动（转动）改变了相对速度的方向
• 相对运动改变了牵连速度的大小

两种相互影响产生的附加加速度。

大小： $$a_C = 2\omega_e v_r \sin\theta$$

其中 $\theta$ 为 $\vec{\omega}_e$ 与 $\vec{v}_r$ 的夹角。

特殊情况：

• 当 $\vec{v}_r \parallel \vec{\omega}_e$ 时，$a_C = 0$
• 当 $\vec{v}_r \perp \vec{\omega}_e$ 时，$a_C = 2\omega_e v_r$

方向：按右手法则，垂直于 $\vec{\omega}_e$ 和 $\vec{v}_r$ 所确定的平面。

正确选取动点和动系是应用合成运动理论的关键。

原则1：动点和动系应分别选取在两个不同的运动物体上。

原则2：相对运动轨迹应简单明了（直线或圆周）。

原则3：牵连运动应易于分析。

凸轮机构：

• 动点：从动件上与凸轮接触的点
• 动系：固连于凸轮

套筒滑杆机构：

• 动点：套筒中心（或销钉）
• 动系：固连于滑杆

摇杆滑块机构：

• 动点：滑块中心
• 动系：固连于摇杆

偏心轮半径 $R$，偏心距 $e$，以匀角速度 $\omega$ 绕 $O$ 轴转动，推动顶杆 $AB$ 沿铅垂导轨滑动。求当 $OC$ 与水平线成 $\varphi$ 角时，顶杆的速度和加速度。

解答：

选取：

• 动点：轮心 $C$
• 动系：固连于顶杆 $AB$

分析运动：

• 绝对运动：以 $O$ 为圆心、$e$ 为半径的圆周运动
• 相对运动：沿顶杆底面的水平直线运动
• 牵连运动：顶杆的铅垂直线平移

速度分析：

绝对速度：$v_a = e\omega$，方向垂直于 $OC$（与 $OC$ 成 $90°$）

由速度合成定理：$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$

向铅垂方向投影： $$v_e = v_a \cos\varphi = e\omega\cos\varphi$$

这就是顶杆的速度（向上）。

加速度分析：

由于牵连运动为平移，科氏加速度为零。

绝对加速度：$a_a = e\omega^2$，方向由 $C$ 指向 $O$

由加速度合成定理：$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r$

向铅垂方向投影： $$a_e = a_a \sin\varphi = e\omega^2\sin\varphi$$

这就是顶杆的加速度。

水平杆 $AB$ 以匀速 $v$ 向右运动，通过套在摇杆 $OC$ 上的套筒 $C$ 带动摇杆绕 $O$ 转动。已知 $OC = L$，图示瞬时 $OC$ 水平，套筒 $C$ 到 $O$ 的距离为 $a$。求此瞬时摇杆的角速度和角加速度。

解答：

选取：

• 动点：套筒 $C$（或 $AB$ 上的点 $C$）
• 动系：固连于摇杆 $OC$

速度分析：

绝对速度：$v_a = v$（水平向右）

牵连速度：$v_e = a\omega$（垂直于 $OC$，即铅垂方向）

相对速度：$v_r$（沿 $OC$ 方向）

由 $v_a = v_e + v_r$，向水平和铅垂方向投影： $$v = v_r$$ $$0 = v_e = a\omega$$

得：$\omega = 0$

加速度分析：

牵连运动为转动，需考虑科氏加速度。

绝对加速度：$a_a = 0$（匀速运动）

牵连加速度（法向）：$a_e^n = a\omega^2 = 0$（因为 $\omega = 0$） 牵连加速度（切向）：$a_e^\tau = a\alpha$（垂直于 $OC$）

相对加速度：$a_r$（沿 $OC$ 方向）

科氏加速度：$a_C = 2\omega v_r = 0$（因为 $\omega = 0$）

由加速度合成定理，向铅垂方向投影： $$0 = a_e^\tau = a\alpha$$

得：$\alpha = 0$

注意：此特殊位置需要进一步分析邻近位置的极限，实际上：

由速度关系，当摇杆转过微小角度时： $$\tan\theta = \frac{v\Delta t}{a}$$

经过详细推导可得： $$\omega = \frac{v}{L}\sin\theta$$

图示位置（$\theta = 0$）时，$\omega = 0$，但角加速度不为零。

船相对水流以速度 $v_r$ 、与下游方向成 $\alpha$ 角航行。水流速度为 $v_e$ 向下游。求船相对于地面的速度（绝对速度）和航行轨迹。

解答：

选取：

• 动点：船
• 动系：固连于水流
• 定系：地面

速度分析：

牵连速度：$\vec{v}_e$（向下游） 相对速度：$\vec{v}_r$（与下游成 $\alpha$ 角）

绝对速度： $$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$$

若建立坐标系：$x$ 轴沿水流方向，$y$ 轴垂直于水流方向：

$$v_{ax} = v_e + v_r\cos\alpha$$ $$v_{ay} = v_r\sin\alpha$$

$$v_a = \sqrt{(v_e + v_r\cos\alpha)^2 + (v_r\sin\alpha)^2}$$

$$\tan\beta = \frac{v_r\sin\alpha}{v_e + v_r\cos\alpha}$$

其中 $\beta$ 为绝对速度与下游方向的夹角。

圆盘绕垂直于盘面的轴 $O$ 以匀角速度 $\omega$ 转动，滑块 $M$ 沿盘上的直槽以匀速 $v_r$ 向外运动。求当滑块距中心距离为 $r$ 时，滑块的绝对速度和绝对加速度。

解答：

选取：

• 动点：滑块 $M$
• 动系：固连于圆盘

速度分析：

牵连速度：$v_e = r\omega$（垂直于半径，沿转动方向） 相对速度：$v_r$（沿半径向外）

绝对速度： $$v_a = \sqrt{v_e^2 + v_r^2} = \sqrt{(r\omega)^2 + v_r^2}$$

方向与半径的夹角： $$\tan\theta = \frac{v_e}{v_r} = \frac{r\omega}{v_r}$$

加速度分析：

牵连加速度（法向）：$a_e^n = r\omega^2$（指向圆心） 相对加速度：$a_r = 0$（匀速） 科氏加速度：$a_C = 2\omega v_r$（垂直于半径，与转动方向相同）

绝对加速度： $$a_a = \sqrt{(r\omega^2)^2 + (2\omega v_r)^2} = \omega\sqrt{r^2\omega^2 + 4v_r^2}$$

方向： $$\tan\varphi = \frac{a_C}{a_e^n} = \frac{2v_r}{r\omega}$$

习题 7.1 车厢以加速度 $a = 2 \text{ m/s}^2$ 沿直线轨道行驶。车内一摆长为 $L = 1 \text{ m}$ 的单摆偏离铅垂线静止。求摆的偏角。若车厢以匀速运动，摆的状态如何？

习题 7.2 凸轮以匀角速度 $\omega$ 转动，推动从动杆 $AB$ 沿铅垂导轨滑动。凸轮轮廓为半径 $R$ 的圆，偏心距 $e$。求杆的速度和加速度（表示为转角 $\varphi$ 的函数）。

习题 7.3 直角杆 $OAB$ 以匀角速度 $\omega$ 绕 $O$ 转动，带动套在其上的小环 $M$ 沿水平直杆 $CD$ 滑动。已知 $OA = r$，图示瞬时 $OA$ 水平。求此时小环 $M$ 的速度和加速度。

习题 7.4 船相对水流以速度 $v_r = 6 \text{ m/s}$ 航行，水流速度 $v_e = 2 \text{ m/s}$。若要使船垂直横渡河流，船应如何定向？求船相对于地面的速度。

习题 7.5 图示机构中，曲柄 $OA$ 长 $r$，以匀角速度 $\omega$ 转动，通过套在摇杆 $O_1B$ 上的套筒 $A$ 带动摇杆转动。两轴距离 $OO_1 = L$。求摇杆的角速度和角加速度（表示为 $\varphi$ 的函数）。

习题 7.6 旋转起重机以角速度 $\omega = 0.5 \text{ rad/s}$ 绕铅垂轴转动，同时小车沿水平臂以速度 $v = 1 \text{ m/s}$ 向外运动。求当小车距转轴 $r = 5 \text{ m}$ 时，小车的绝对速度和绝对加速度。

习题 7.7 证明：当牵连运动为定轴转动时，若相对速度 $\vec{v}_r$ 与转轴平行，则科氏加速度为零。

习题 7.8 一质点在北半球纬度 $\lambda$ 处自由下落。考虑地球自转（角速度 $\omega$），证明质点落地时会向东偏转，并计算偏转距离（下落高度 $h$）。

习题 7.9 设计一个实验验证科氏加速度的存在。要求：

• 清晰的实验原理
• 可操作的实验装置
• 理论预测与实验结果的对比分析

习题 7.10 推导牵连运动为一般运动（平移加转动）时的加速度合成定理，证明科氏加速度项仍然成立。

本章核心内容：

• 基本概念：
  1. 定系、动系
  2. 绝对运动、相对运动、牵连运动
  3. 三种速度和加速度的定义

• 速度合成定理：

$$\vec{v}_a = \vec{v}_e + \vec{v}_r$$

1. 适用于任意牵连运动

• 加速度合成定理：
  1. 牵连运动为平移：$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r$
  2. 牵连运动为转动：$\vec{a}_a = \vec{a}_e + \vec{a}_r + \vec{a}_C$

• 科氏加速度：

$$\vec{a}_C = 2\vec{\omega}_e \times \vec{v}_r$$

1. 大小：$a_C = 2\omega_e v_r \sin\theta$
2. 方向：右手定则

• 动点和动系的选取：
  1. 动点和动系在不同物体上
  2. 相对轨迹应简单
  3. 牵连运动应易于分析

应用要点：

• 正确分析三种运动
• 准确确定牵连点
• 画好速度图和加速度图
• 注意科氏加速度的方向判定

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