运动学（Kinematics）是研究物体运动几何性质的科学，它描述物体的位置随时间变化的规律，而不考虑引起运动的原因（力）。运动学是动力学的基础，也是机构分析、机器人学、航天轨道设计等领域的重要工具。

点的运动学是研究点相对于参考系的位置随时间变化的规律。本章将介绍描述点运动的三种方法：矢量法、直角坐标法和自然法（弧坐标法）。

参考体：描述物体运动时所选定的作为参考的物体。

参考系：与参考体固连的坐标系。运动具有相对性，同一物体的运动在不同参考系中描述结果不同。

常用坐标系：

• 直角坐标系（笛卡尔坐标系）
• 极坐标系
• 柱坐标系
• 球坐标系
• 自然坐标系（密切坐标系）

瞬时：时间轴上的一个点，用 $t$ 表示。

时间间隔：两个瞬时之间的时间段，$\Delta t = t_2 - t_1$。

运动方程：描述点的位置随时间变化的数学表达式。

轨迹：点在空间运动时所经过的路径。

选取参考点 $O$ 为原点，点 $M$ 的位置用从 $O$ 指向 $M$ 的矢量 $\vec{r}$ 表示，称为位置矢量（矢径）。

$$\vec{r} = \vec{r}(t)$$

速度是描述点位置变化快慢和方向的物理量。

$$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}}$$

速度的方向沿轨迹的切线方向，指向运动方向。

加速度是描述速度变化快慢和方向的物理量。

$$\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \dot{\vec{v}} = \ddot{\vec{r}}$$

物理意义：加速度表示速度矢量的变化率，包含速度大小变化和方向变化两部分。

建立直角坐标系 $Oxyz$，点 $M$ 的位置由三个坐标确定：

$$x = f_1(t), \quad y = f_2(t), \quad z = f_3(t)$$

或写成矢量形式： $$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$

$$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\vec{i} + \frac{dy}{dt}\vec{j} + \frac{dz}{dt}\vec{k}$$

速度分量： $$v_x = \dot{x}, \quad v_y = \dot{y}, \quad v_z = \dot{z}$$

速度大小： $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2}$$

速度方向（方向余弦）： $$\cos(\vec{v}, x) = \frac{v_x}{v}, \quad \cos(\vec{v}, y) = \frac{v_y}{v}, \quad \cos(\vec{v}, z) = \frac{v_z}{v}$$

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \ddot{x}\vec{i} + \ddot{y}\vec{j} + \ddot{z}\vec{k}$$

加速度分量： $$a_x = \ddot{x} = \dot{v}_x, \quad a_y = \ddot{y} = \dot{v}_y, \quad a_z = \ddot{z} = \dot{v}_z$$

加速度大小： $$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$

当点在 $Oxy$ 平面内运动时，$z = 0$：

运动方程： $$x = f_1(t), \quad y = f_2(t)$$

速度： $$v_x = \dot{x}, \quad v_y = \dot{y}$$ $$v = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}$$

加速度： $$a_x = \ddot{x}, \quad a_y = \ddot{y}$$ $$a = \sqrt{\ddot{x}^2 + \ddot{y}^2}$$

在已知轨迹的情况下，可用弧坐标（自然坐标）描述点的位置。

在轨迹上任选一点 $O'$ 为参考点，规定正负方向，点 $M$ 的位置用弧长 $s$ 表示：

$$s = f(t)$$

在轨迹上动点 $M$ 处建立随点运动的正交坐标系：

切向单位矢量 $\vec{\tau}$：沿轨迹切线，指向弧坐标正向。

主法向单位矢量 $\vec{n}$：在密切平面内，垂直于切线，指向轨迹曲率中心。

副法向单位矢量 $\vec{b}$：$\vec{b} = \vec{\tau} \times \vec{n}$

曲率：描述轨迹弯曲程度的量 $$\kappa = \frac{1}{\rho} = \left|\frac{d\theta}{ds}\right|$$

曲率半径： $$\rho = \frac{ds}{d\theta}$$

对于平面曲线 $y = f(x)$： $$\rho = \frac{(1 + y'^2)^{3/2}}{|y''|}$$

$$\vec{v} = v\vec{\tau} = \frac{ds}{dt}\vec{\tau} = \dot{s}\vec{\tau}$$

速度大小：$v = |\dot{s}|$ 速度方向：沿切向，由 $\dot{s}$ 的正负决定指向。

$$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d(v\vec{\tau})}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec{\tau} + v\frac{d\vec{\tau}}{dt}$$

切向加速度： $$a_\tau = \frac{dv}{dt} = \dot{v} = \ddot{s}$$

表示速度大小的变化率。

法向加速度： $$a_n = \frac{v^2}{\rho}$$

表示速度方向的变化率，始终指向曲率中心。

全加速度： $$\vec{a} = a_\tau\vec{\tau} + a_n\vec{n}$$

$$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}$$

加速度与法向的夹角： $$\tan\beta = \frac{|a_\tau|}{a_n}$$

$$v = \text{常数}, \quad a = 0$$ $$s = s_0 + vt$$

$$a = \text{常数}$$ $$v = v_0 + at$$ $$s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$$ $$v^2 - v_0^2 = 2a(s - s_0)$$

$$v = \text{常数}, \quad a_\tau = 0, \quad a_n = \frac{v^2}{\rho}$$ $$\vec{a} = a_n\vec{n}$$

加速度只有法向分量，指向曲率中心。

$$a_\tau = \text{常数}$$ $$v = v_0 + a_\tau t$$ $$s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}a_\tau t^2$$

椭圆规的曲柄 $OC$ 以匀角速度 $\omega$ 绕 $O$ 转动，带动滑块 $A$、$B$ 分别在水平和铅垂导轨中运动。已知 $OC = AC = BC = L$，$CM = b$。求点 $M$ 的运动方程、速度和加速度。

解答：

运动方程：

设 $\varphi = \omega t$，则： $$x_M = (L + b)\cos\omega t$$ $$y_M = (L - b)\sin\omega t$$

轨迹方程（消去 $t$）： $$\frac{x^2}{(L+b)^2} + \frac{y^2}{(L-b)^2} = 1$$

点 $M$ 沿椭圆运动。

速度： $$v_x = \dot{x}_M = -(L+b)\omega\sin\omega t$$ $$v_y = \dot{y}_M = (L-b)\omega\cos\omega t$$

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \omega\sqrt{(L+b)^2\sin^2\omega t + (L-b)^2\cos^2\omega t}$$

加速度： $$a_x = \ddot{x}_M = -(L+b)\omega^2\cos\omega t = -\omega^2 x_M$$ $$a_y = \ddot{y}_M = -(L-b)\omega^2\sin\omega t = -\omega^2 y_M$$

$$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \omega^2\sqrt{x_M^2 + y_M^2} = \omega^2 \cdot OM$$

质点以初速度 $v_0$ 与水平方向成 $\alpha$ 角抛出，忽略空气阻力。求：

• (a) 运动方程和轨迹方程
• (b) 最大高度和射程
• © 落地时的速度和方向

解答：

建立坐标系：原点在抛出点，$x$ 轴水平，$y$ 轴铅垂向上。

加速度：$a_x = 0$，$a_y = -g$

(a) 运动方程

初始条件：$t = 0$ 时，$x = 0$，$y = 0$，$v_x = v_0\cos\alpha$，$v_y = v_0\sin\alpha$

$$v_x = v_0\cos\alpha$$ $$v_y = v_0\sin\alpha - gt$$

$$x = v_0\cos\alpha \cdot t$$ $$y = v_0\sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

轨迹方程（消去 $t$）： $$y = x\tan\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2$$

为抛物线。

(b) 最大高度和射程

最大高度（$v_y = 0$）： $$H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$$

射程（$y = 0$，$x \neq 0$）： $$L = \frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$$

当 $\alpha = 45°$ 时，射程最大：$L_{max} = \frac{v_0^2}{g}$

© 落地时速度和方向

落地时 $y = 0$，$t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$

$$v_x = v_0\cos\alpha$$ $$v_y = v_0\sin\alpha - g \cdot \frac{2v_0\sin\alpha}{g} = -v_0\sin\alpha$$

速度大小： $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = v_0$$

方向：与水平夹角为 $-\alpha$（对称）。

点沿半径 $R = 0.5 \text{ m}$ 的圆周运动，运动方程为 $s = 2t^2$（$s$ 单位为 m，$t$ 单位为 s）。求 $t = 1 \text{ s}$ 时的速度和加速度。

解答：

速度： $$v = \dot{s} = 4t$$ $$t = 1 \text{ s}: \quad v = 4 \text{ m/s}$$

加速度：

切向加速度： $$a_\tau = \dot{v} = \ddot{s} = 4 \text{ m/s}^2$$

法向加速度： $$a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(4t)^2}{0.5} = 32t^2$$ $$t = 1 \text{ s}: \quad a_n = 32 \text{ m/s}^2$$

全加速度： $$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = \sqrt{16 + 1024} = 32.25 \text{ m/s}^2$$

方向： $$\tan\beta = \frac{a_\tau}{a_n} = \frac{4}{32} = 0.125$$ $$\beta = 7.13°$$

点沿圆柱螺旋线运动，圆柱半径 $R$，螺距 $h$。已知点以匀速率 $v$ 运动。求加速度。

解答：

轨迹参数方程： $$x = R\cos\omega t$$ $$y = R\sin\omega t$$ $$z = \frac{h}{2\pi}\omega t = \frac{h\omega}{2\pi}t$$

其中 $\omega$ 为角速度（待定）。

速度： $$\dot{x} = -R\omega\sin\omega t, \quad \dot{y} = R\omega\cos\omega t, \quad \dot{z} = \frac{h\omega}{2\pi}$$

$$v = \sqrt{R^2\omega^2 + \frac{h^2\omega^2}{4\pi^2}} = \omega R\sqrt{1 + \frac{h^2}{4\pi^2R^2}}$$

由已知 $v$，可求出： $$\omega = \frac{v}{R\sqrt{1 + \frac{h^2}{4\pi^2R^2}}}$$

加速度： $$\ddot{x} = -R\omega^2\cos\omega t, \quad \ddot{y} = -R\omega^2\sin\omega t, \quad \ddot{z} = 0$$

$$a = R\omega^2 = \frac{v^2}{R(1 + \frac{h^2}{4\pi^2R^2})}$$

加速度水平指向轴线，大小恒定。

习题 5.1 点的运动方程为 $x = 3t$，$y = 4t - 5t^2$（单位：m，s）。求：

• (a) $t = 0$ 和 $t = 1 \text{ s}$ 时的位置
• (b) 轨迹方程
• © $t = 1 \text{ s}$ 时的速度和加速度

习题 5.2 点沿半径 $R = 2 \text{ m}$ 的圆周运动，运动方程为 $s = \pi t^2$。求 $t = 2 \text{ s}$ 时的速度、切向加速度和法向加速度。

习题 5.3 杆 $OA$ 长 $L$，以匀角速度 $\omega$ 绕 $O$ 转动，带动套在水平杆 $BC$ 上的小环 $M$ 运动。求小环 $M$ 的速度和加速度（表示为杆 $OA$ 与铅垂线夹角 $\varphi$ 的函数）。

习题 5.4 点沿抛物线 $y^2 = 4x$（$x$、$y$ 单位为 m）运动，速度在 $x$ 轴上的投影恒为 $v_x = 2 \text{ m/s}$。求当 $x = 4 \text{ m}$ 时点的速度和加速度。

习题 5.5 椭圆规尺 $AB$ 长 $L$，两端分别在相互垂直的导轨中滑动。已知 $A$ 端以匀速 $v_A$ 向下运动。求尺上与 $A$ 端距离为 $b$ 的点 $M$ 的轨迹、速度和加速度。

习题 5.6 飞机在高度 $H = 2000 \text{ m}$ 处以速度 $v = 800 \text{ km/h}$ 水平飞行。当飞机经过地面目标 $O$ 正上方时，投放物资。求：

• (a) 物资的运动方程和轨迹
• (b) 投放点到目标的水平距离
• © 物资落地时的速度和方向（忽略空气阻力）

习题 5.7 点沿半径为 $R$ 的圆周作匀加速运动，初速度为零。证明：在相同时间内，切向加速度与总加速度的夹角相同。

习题 5.8 质点沿曲线 $y = \sin x$ 以速率 $v = k\sqrt{1 + \cos^2 x}$ 运动（$k$ 为常数）。证明加速度大小为常数，并求加速度的方向。

习题 5.9 设计一个测量曲线轨道曲率半径的实验方案。要求：

• 基于运动学原理
• 可测量火车轨道的曲率半径
• 给出测量原理、仪器配置和数据处理方法

习题 5.10 证明：对于任意曲线运动，加速度在切向和法向的投影分别为： $$a_\tau = \frac{dv}{dt}, \quad a_n = \frac{v^2}{\rho}$$ 并讨论当 $a_\tau = 0$ 和 $a_n = 0$ 时的运动特点。

本章主要内容回顾：

• 矢量法：
  1. 位置：$\vec{r} = \vec{r}(t)$
  2. 速度：$\vec{v} = \dot{\vec{r}}$
  3. 加速度：$\vec{a} = \ddot{\vec{r}}$

• 直角坐标法：
  1. 运动方程：$x = x(t)$，$y = y(t)$，$z = z(t)$
  2. 速度分量：$v_x = \dot{x}$，$v_y = \dot{y}$，$v_z = \dot{z}$
  3. 加速度分量：$a_x = \ddot{x}$，$a_y = \ddot{y}$，$a_z = \ddot{z}$

• 自然法：
  1. 运动方程：$s = s(t)$
  2. 速度：$v = \dot{s}$
  3. 切向加速度：$a_\tau = \ddot{s} = \dot{v}$
  4. 法向加速度：$a_n = \frac{v^2}{\rho}$

• 重要关系：
  1. $a_\tau$ 反映速度大小的变化
  2. $a_n$ 反映速度方向的变化
  3. 直线运动：$a_n = 0$
  4. 匀速曲线运动：$a_\tau = 0$

解题要点：

• 根据问题特点选择适当的方法
• 轨迹未知时用直角坐标法
• 轨迹已知且需明确加速度方向时用自然法
• 注意初始条件的应用

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