刚体的平面运动是工程中最常见的运动形式之一。当刚体运动时，若刚体内各点到某一固定平面的距离保持不变，则这种运动称为平面运动（Plane Motion）。例如，车轮沿直线轨道的滚动、曲柄连杆机构中连杆的运动、行星齿轮的运动等都是平面运动。

平面运动可以看作是平移和转动的合成，它比定轴转动复杂，但比一般的空间运动简单。本章将介绍分析平面运动的两种基本方法：基点法和瞬心法，并讨论平面运动刚体上各点的速度和加速度计算。

• 刚体上各点都在平行于某一固定平面的平面内运动
• 可用一个截面（平行于固定平面的平面与刚体的交面）的运动代表整个刚体的运动
• 运动方程有3个：2个平移参数 + 1个转动参数

定理：平面运动可分解为随同基点的平移和绕基点的转动。

证明：

在截面 $S$ 上任取一点 $A$（基点），则截面内任一点 $B$ 的位置可由 $\vec{r}_{AB}$ 确定。

$$\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{r}_{AB}$$

其中 $|\vec{r}_{AB}| = \text{常数}$，$\vec{r}_{AB}$ 只改变方向（绕 $A$ 转动）。

因此，$B$ 点的运动可看作：

• 随基点 $A$ 的平移
• 绕基点 $A$ 的转动

重要结论：平移与基点选择有关，转动与基点选择无关（角速度、角加速度相同）。

设基点为 $A$，则任一点 $B$ 的速度：

$$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}$$

其中：

• $\vec{v}_A$：基点 $A$ 的速度（平移部分）
• $\vec{v}_{BA}$：$B$ 相对于 $A$ 的速度（转动部分），$v_{BA} = AB \cdot \omega$，方向垂直于 $AB$

定理：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。

$$[\vec{v}_A]_{AB} = [\vec{v}_B]_{AB}$$

证明：

由 $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}$，向 $AB$ 方向投影：

由于 $\vec{v}_{BA} \perp AB$，故 $[\vec{v}_{BA}]_{AB} = 0$

因此： $$[\vec{v}_B]_{AB} = [\vec{v}_A]_{AB}$$

在平面运动的每一瞬时，截面（或其延伸部分）上总存在一点 $P$，其速度为零，该点称为瞬时速度中心，简称速度瞬心或瞬心。

方法1：已知一点速度 $v_A$ 和角速度 $\omega$

在垂直于 $v_A$ 的方向上，距 $A$ 点距离为 $AP = \frac{v_A}{\omega}$ 处。

方法2：已知两点的速度方向

分别过两点作速度的垂线，交点即为瞬心。

方法3：已知两点速度平行且垂直于两点连线

瞬心在两点连线与速度矢量端点连线的交点上。

方法4：纯滚动

瞬心在接触点处。

若以瞬心 $P$ 为基点，则任一点 $M$ 的速度：

$$v_M = PM \cdot \omega$$

方向垂直于 $PM$，指向与 $\omega$ 一致。

特点：

• 图形上各点速度的分布如同绕瞬心的定轴转动
• 瞬心的位置随时间变化
• 瞬心可以在图形外（在其延伸部分）

设基点为 $A$，则任一点 $B$ 的加速度：

$$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}$$

其中相对加速度 $\vec{a}_{BA}$ 包括：

• 相对法向加速度：$a_{BA}^n = AB \cdot \omega^2$，方向由 $B$ 指向 $A$
• 相对切向加速度：$a_{BA}^\tau = AB \cdot \alpha$，方向垂直于 $AB$

因此： $$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$$

与速度瞬心类似，也存在加速度瞬心（加速度为零的点）。但加速度瞬心一般不同于速度瞬心，且确定方法较复杂。

曲柄 $OA$ 长 $r$，以匀角速度 $\omega$ 转动，连杆 $AB$ 长 $L$，滑块 $B$ 沿水平导轨滑动。

速度分析：

基点 $A$：$v_A = r\omega$，方向垂直于 $OA$

由速度投影定理： $$v_A\cos\alpha = v_B\cos\beta$$

其中 $\alpha$、$\beta$ 分别为 $OA$、$AB$ 与水平线的夹角。

或由瞬心法：瞬心在 $OA$ 延长线与过 $B$ 点垂直于导轨的直线的交点。

加速度分析：

$$\vec{a}_B = \vec{a}_A^n + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$$

其中：

• $a_A^n = r\omega^2$，方向由 $A$ 指向 $O$
• $a_{BA}^n = L\omega_{AB}^2$，方向由 $B$ 指向 $A$
• $a_{BA}^\tau = L\alpha_{AB}$，方向垂直于 $AB$

滚轮半径 $R$，轮心 $O$ 以速度 $v_O$ 匀速运动。

纯滚动条件： $$v_O = R\omega$$

各点速度：

• 轮心 $O$：$v_O$（水平）
• 接触点 $P$：$v_P = 0$（瞬心）
• 最高点 $A$：$v_A = 2v_O$（水平）

各点加速度：

• 轮心 $O$：$a_O = 0$（匀速）
• 各点指向轮心的法向加速度：$a^n = R\omega^2 = \frac{v_O^2}{R}$

四连杆机构中，$OA = 0.2 \text{ m}$，$AB = 0.6 \text{ m}$，$O_1B = 0.3 \text{ m}$，$OO_1 = 0.4 \text{ m}$。曲柄 $OA$ 以 $\omega = 5 \text{ rad/s}$ 转动，图示瞬时 $OA \perp OO_1$，$O_1B \perp OO_1$。求此瞬时连杆 $AB$ 的角速度和角加速度，以及点 $B$ 的速度和加速度。

解答：

速度分析：

点 $A$ 速度：$v_A = OA \cdot \omega = 0.2 \times 5 = 1 \text{ m/s}$，方向垂直于 $OA$（水平向左）

连杆 $AB$ 的速度瞬心：过 $A$ 作 $v_A$ 的垂线（铅垂线），过 $B$ 作导轨的垂线（水平线），交点在 $O_1$ 处？不对，需要重新分析几何关系。

实际上，由于 $O_1B$ 可转动，瞬心应为过 $A$、$B$ 分别作速度垂线的交点。

由速度投影定理或瞬心法：

设连杆角速度为 $\omega_{AB}$，则： $$v_B = v_A + \omega_{AB} \cdot AB$$

根据几何关系（图示位置 $OA$ 铅垂，$AB$ 水平）：

$v_A$ 水平，$v_B$ 垂直于 $O_1B$。

由 $v_B$ 在 $AB$ 上的投影等于 $v_A$ 在 $AB$ 上的投影：

实际上图示位置 $AB$ 水平，$v_A$ 水平，故：

$v_B$ 在水平方向的分量等于 $v_A$。

若 $O_1B$ 与水平成 $60°$： $$v_B\cos60° = v_A$$ $$v_B = 2 \text{ m/s}$$

$\omega_{O_1B} = \frac{v_B}{O_1B} = \frac{2}{0.3} = 6.67 \text{ rad/s}$

连杆瞬心在 $A$ 点正下方无穷远处，即连杆此时作瞬时平移： $$\omega_{AB} = 0$$

加速度分析：

$$\vec{a}_B = \vec{a}_B^n + \vec{a}_B^\tau = \vec{a}_A^n + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$$

其中：

• $a_A^n = OA \cdot \omega^2 = 0.2 \times 25 = 5 \text{ m/s}^2$，水平向右
• $a_{BA}^n = AB \cdot \omega_{AB}^2 = 0$（因为 $\omega_{AB} = 0$）
• $a_B^n = O_1B \cdot \omega_{O_1B}^2 = 0.3 \times 44.4 = 13.3 \text{ m/s}^2$，方向由 $B$ 指向 $O_1$

向水平和铅垂方向投影求解…

半径为 $R$ 的滚轮在水平面上作纯滚动，轮心 $O$ 以匀加速度 $a_O$ 运动。求轮缘上最高点 $A$ 和接触点 $P$ 的加速度。

解答：

角加速度：

纯滚动条件：$a_O = R\alpha$ $$\alpha = \frac{a_O}{R}$$

点 $P$ 的加速度：

以 $O$ 为基点： $$\vec{a}_P = \vec{a}_O + \vec{a}_{PO}^n + \vec{a}_{PO}^\tau$$

其中：

• $a_O$（水平）
• $a_{PO}^n = R\omega^2 = \frac{v_O^2}{R}$（向上）
• $a_{PO}^\tau = R\alpha = a_O$（水平向左）

水平分量：$a_O - a_O = 0$ 铅垂分量：$a_{PO}^n = \frac{v_O^2}{R}$（向上）

$$a_P = \frac{v_O^2}{R}$$，方向向上。

点 $A$ 的加速度：

$$\vec{a}_A = \vec{a}_O + \vec{a}_{AO}^n + \vec{a}_{AO}^\tau$$

其中：

• $a_{AO}^n = R\omega^2 = \frac{v_O^2}{R}$（向下）
• $a_{AO}^\tau = R\alpha = a_O$（水平向右）

水平分量：$a_O + a_O = 2a_O$ 铅垂分量：$-\frac{v_O^2}{R}$（向下）

$$a_A = \sqrt{(2a_O)^2 + \left(\frac{v_O^2}{R}\right)^2}$$

定齿轮 $I$ 半径 $R$，行星齿轮 $II$ 半径 $r$，系杆 $OA$ 以角速度 $\omega_O$ 转动。求行星轮的角速度及其上点 $B$（在 $OA$ 延长线上）的速度。

解答：

接触点分析：

定齿轮中心 $O$，行星轮中心 $A$，$OA = R + r$。

接触点 $P$ 在两齿轮连心线上，速度为零。

行星轮运动：

行星轮的瞬心在 $P$ 点。

轮心 $A$ 的速度：$v_A = (R+r)\omega_O$

行星轮角速度： $$\omega_{II} = \frac{v_A}{r} = \frac{(R+r)\omega_O}{r}$$

转向与系杆相反。

点 $B$ 的速度：

$B$ 到瞬心 $P$ 的距离：$PB = 2r + R$

$$v_B = PB \cdot \omega_{II} = (2r+R) \cdot \frac{(R+r)\omega_O}{r}$$

习题 8.1 杆 $AB$ 长 $L$，$A$ 端沿水平面以匀速 $v$ 运动，$B$ 端沿铅垂墙面下滑。求当杆与水平面成 $45°$ 时，杆的角速度和 $B$ 端的速度。

习题 8.2 滚轮半径 $R = 0.3 \text{ m}$，在水平面上纯滚动，轮心速度 $v_O = 2 \text{ m/s}$，加速度 $a_O = 1 \text{ m/s}^2$。求轮缘上最高点、最前点和接触点的速度和加速度。

习题 8.3 曲柄 $OA$ 长 $r = 0.2 \text{ m}$，以 $\omega = 10 \text{ rad/s}$ 转动，连杆 $AB$ 长 $L = 0.6 \text{ m}$，滑块 $B$ 沿水平导轨运动。求当曲柄水平时，连杆的角速度和滑块的速度。

习题 8.4 四连杆机构中，$OA = O_1B = 0.3 \text{ m}$，$AB = 0.5 \text{ m}$，$OA$ 以 $\omega = 5 \text{ rad/s}$ 转动。求当 $OA \perp AB$ 时，$O_1B$ 的角速度和角加速度。

习题 8.5 图示机构中，杆 $AC$ 在导轨中以匀速 $v$ 平移，通过套在杆 $OB$ 上的套筒 $B$ 带动杆 $OB$ 转动。图示瞬时 $AC$ 水平，$OB$ 与水平成 $45°$，$OB = L$。求此时杆 $OB$ 的角速度和角加速度。

习题 8.6 半径为 $R$ 的车轮在半径为 $2R$ 的固定圆弧轨道上纯滚动。证明轮心速度 $v$ 与转角 $\varphi$ 的关系，并求轮缘上最高点的加速度。

习题 8.7 证明：平面运动刚体上，若某瞬时有两点速度相同，则该瞬时刚体作瞬时平移，各点速度相同。

习题 8.8 椭圆规尺 $AB$ 长 $L$，两端分别在相互垂直的导轨中滑动。$A$ 端以匀速 $v$ 运动。求尺上任意点 $M$（$AM = b$）的速度和加速度，并证明其轨迹为椭圆。

习题 8.9 设计一种测量平面运动刚体角速度的方法。要求：

• 基于运动学原理
• 可同时测量刚体上两点的速度
• 给出测量步骤和数据处理公式

习题 8.10 证明：平面运动刚体的速度瞬心轨迹（动瞬心迹和定瞬心迹）相切，且刚体的运动可以看作动瞬心迹沿定瞬心迹的无滑动滚动。

本章主要内容：

• 平面运动分解：
  1. 可分解为随基点的平移和绕基点的转动
  2. 平移与基点有关，转动与基点无关

• 基点法：
  1. 速度：$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{r}_{AB}$
  2. 加速度：$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}^n + \vec{a}_{BA}^\tau$

• 速度投影定理：
  1. $[\vec{v}_A]_{AB} = [\vec{v}_B]_{AB}$

• 瞬心法：
  1. 瞬心是速度为零的点
  2. 各点速度如同绕瞬心转动：$v = d \cdot \omega$
  3. 确定瞬心位置的方法

• 纯滚动：
  1. 条件：$v_O = R\omega$
  2. 接触点为瞬心

解题要点：

• 首先分析机构，确定运动形式
• 速度分析一般用瞬心法或基点法
• 加速度分析必须用基点法
• 注意纯滚动条件的应用

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