刚体（Rigid Body）是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变的物体。实际物体受力后都会产生变形，但当变形很小可以忽略不计时，可将物体抽象为刚体。

本章研究刚体的两种简单运动形式：平移（Translation）和定轴转动（Rotation about a Fixed Axis）。这两种运动是研究刚体复杂运动的基础。

如果在运动过程中，刚体上任意一条直线始终与初始位置保持平行，则这种运动称为平行移动，简称平移或平动。

直线平移：刚体上各点的轨迹为直线。

曲线平移：刚体上各点的轨迹为曲线（如汽车转弯时车身的运动）。

定理：刚体平移时，其上各点在任一瞬时具有相同的速度和相同的加速度。

证明：

设刚体上任意两点 $A$ 和 $B$，位置矢量为 $\vec{r}_A$ 和 $\vec{r}_B$，则： $$\vec{r}_B = \vec{r}_A + \vec{r}_{AB}$$

由于平移时 $\vec{r}_{AB}$ 为常矢量（大小方向均不变）： $$\vec{v}_B = \frac{d\vec{r}_B}{dt} = \frac{d\vec{r}_A}{dt} = \vec{v}_A$$

$$\vec{a}_B = \frac{d\vec{v}_B}{dt} = \frac{d\vec{v}_A}{dt} = \vec{a}_A$$

推论：研究刚体的平移，可以归结为研究刚体上任意一点（通常取质心）的运动。

如果在运动过程中，刚体内（或其延伸部分）有一条直线始终保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称定轴转动。不动的直线称为转轴。

过转轴作固定半平面 $P_0$ 和随刚体转动的半平面 $P$，两平面间的夹角 $\varphi$ 称为转角。

$$\varphi = f(t)$$

这就是刚体的转动方程。

符号规定：从转轴正向往负向看，逆时针为正，顺时针为负。单位为弧度（rad）。

角速度是描述刚体转动快慢和方向的物理量。

$$\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \frac{d\varphi}{dt} = \dot{\varphi}$$

符号规定：与转角一致，单位为 rad/s。

角加速度是描述角速度变化快慢的物理量。

$$\alpha = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\varphi}{dt^2} = \ddot{\varphi}$$

单位为 rad/s²。

符号规定：与角速度一致时为加速转动，相反时为减速转动。

匀速转动：$\omega = \text{常数}$ $$\varphi = \varphi_0 + \omega t$$

工程中常用转速 $n$（单位：r/min）表示转动快慢： $$\omega = \frac{2\pi n}{60} = \frac{\pi n}{30} \text{ rad/s}$$

匀变速转动：$\alpha = \text{常数}$ $$\omega = \omega_0 + \alpha t$$ $$\varphi = \varphi_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$$ $$\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\varphi - \varphi_0)$$

设点 $M$ 到转轴的距离为 $R$（转动半径），则点 $M$ 作圆周运动。

弧坐标形式： $$s = R\varphi$$

$$v = \frac{ds}{dt} = R\frac{d\varphi}{dt} = R\omega$$

速度方向：沿圆周切线，指向转动方向。

切向加速度： $$a_\tau = \frac{dv}{dt} = R\frac{d\omega}{dt} = R\alpha$$

方向：沿切线，指向与 $\alpha$ 一致。

法向加速度： $$a_n = \frac{v^2}{R} = R\omega^2$$

方向：指向圆心（转轴）。

全加速度： $$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = R\sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$$

方向： $$\tan\theta = \frac{|a_\tau|}{a_n} = \frac{|\alpha|}{\omega^2}$$

其中 $\theta$ 为全加速度与法向的夹角。

• 各点速度大小与转动半径成正比
• 各点加速度大小与转动半径成正比
• 各点全加速度与法向的夹角相同

两个齿轮啮合传动，接触点速度相等： $$v = R_1\omega_1 = R_2\omega_2$$

传动比： $$i_{12} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{z_2}{z_1}$$

其中 $z$ 为齿数。

外啮合时两齿轮转向相反，内啮合时转向相同。

假设皮带不可伸长，两轮缘速度相等： $$v = R_1\omega_1 = R_2\omega_2$$

传动比： $$i_{12} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{R_2}{R_1}$$

两轮转向相同。

定义角速度矢量 $\vec{\omega}$：

• 大小：$|\vec{\omega}| = |\omega|$
• 方向：沿转轴，按右手螺旋法则确定

$$\vec{\alpha} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}$$

对于定轴转动，转轴方向不变，则： $$\vec{\alpha} = \alpha\vec{k}$$

设转轴上任意一点 $O$ 为原点，点 $M$ 的矢径为 $\vec{r}$，则：

速度： $$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$

加速度： $$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{\alpha} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v} = \vec{\alpha} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})$$

其中：

• $\vec{\alpha} \times \vec{r} = \vec{a}_\tau$（切向加速度）
• $\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \vec{a}_n$（法向加速度）

图示提升重物装置中，鼓轮半径 $r = 0.2 \text{ m}$，轮 $A$ 半径 $R = 0.4 \text{ m}$，重物 $B$ 以匀速 $v_B = 2 \text{ m/s}$ 下降。求轮 $A$ 的角速度和角加速度，以及轮缘上点 $C$ 的速度和加速度。

解答：

鼓轮运动：

重物速度与鼓轮缘速度相等： $$v_B = r\omega_{鼓}$$ $$\omega_{鼓} = \frac{v_B}{r} = \frac{2}{0.2} = 10 \text{ rad/s}$$

由于 $v_B$ 为常数，$\alpha_{鼓} = 0$。

轮 A 运动：

设轮 $A$ 与鼓轮固连（同轴），则： $$\omega_A = \omega_{鼓} = 10 \text{ rad/s}$$ $$\alpha_A = \alpha_{鼓} = 0$$

点 C 的运动：

$$v_C = R\omega_A = 0.4 \times 10 = 4 \text{ m/s}$$

由于 $\alpha_A = 0$： $$a_{C\tau} = R\alpha_A = 0$$ $$a_{Cn} = R\omega_A^2 = 0.4 \times 100 = 40 \text{ m/s}^2$$

$$a_C = a_{Cn} = 40 \text{ m/s}^2$$

方向指向轮心。

图示搅拌机机构中，主动轮 $O_1$ 转速 $n = 950 \text{ r/min}$，$O_1A = O_2B = 0.25 \text{ m}$，$AB = O_1O_2$。求搅拌端点 $C$ 的速度和轨迹。

解答：

分析机构：

由于 $AB = O_1O_2$ 且 $AB \parallel O_1O_2$，杆 $AB$ 作平移。

计算角速度： $$\omega = \frac{\pi n}{30} = \frac{950\pi}{30} = 99.5 \text{ rad/s}$$

点 A 的速度： $$v_A = O_1A \cdot \omega = 0.25 \times 99.5 = 24.9 \text{ m/s}$$

点 C 的速度：

由于杆 $ABC$ 平移： $$v_C = v_A = 24.9 \text{ m/s}$$

轨迹：

点 $C$ 与点 $A$ 轨迹相同，为半径 $0.25 \text{ m}$ 的圆。

减速箱由四个齿轮组成：齿轮 $I$ 与电机相连，$z_1 = 20$；齿轮 $II$，$z_2 = 50$；齿轮 $III$ 与齿轮 $II$ 同轴，$z_3 = 25$；齿轮 $IV$ 为输出，$z_4 = 75$。电机转速 $n_1 = 1450 \text{ r/min}$。求输出转速 $n_4$。

解答：

第一级传动（齿轮 $I$ 与 $II$）： $$i_{12} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{z_2}{z_1} = \frac{50}{20} = 2.5$$ $$n_2 = \frac{n_1}{2.5} = \frac{1450}{2.5} = 580 \text{ r/min}$$

齿轮 $II$ 与 $III$ 同轴： $$n_3 = n_2 = 580 \text{ r/min}$$

第二级传动（齿轮 $III$ 与 $IV$）： $$i_{34} = \frac{n_3}{n_4} = \frac{z_4}{z_3} = \frac{75}{25} = 3$$ $$n_4 = \frac{n_3}{3} = \frac{580}{3} = 193.3 \text{ r/min}$$

总传动比： $$i_{14} = \frac{n_1}{n_4} = i_{12} \times i_{34} = 2.5 \times 3 = 7.5$$

飞轮半径 $R = 0.5 \text{ m}$，由静止开始以匀加速转动，经过 $10 \text{ s}$ 后转速达到 $n = 600 \text{ r/min}$。求：

• (a) 角加速度和转过的圈数
• (b) $t = 5 \text{ s}$ 时轮缘上点的速度和加速度

解答：

(a) 角加速度和转数

末角速度： $$\omega = \frac{\pi n}{30} = \frac{600\pi}{30} = 20\pi \text{ rad/s}$$

角加速度： $$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{20\pi - 0}{10} = 2\pi \text{ rad/s}^2 = 6.28 \text{ rad/s}^2$$

转角： $$\varphi = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2\pi \times 100 = 100\pi \text{ rad}$$

转数： $$N = \frac{\varphi}{2\pi} = 50 \text{ 圈}$$

(b) $t = 5 \text{ s}$ 时的运动参数

角速度： $$\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 2\pi \times 5 = 10\pi \text{ rad/s}$$

轮缘速度： $$v = R\omega = 0.5 \times 10\pi = 15.7 \text{ m/s}$$

切向加速度： $$a_\tau = R\alpha = 0.5 \times 2\pi = 3.14 \text{ m/s}^2$$

法向加速度： $$a_n = R\omega^2 = 0.5 \times (10\pi)^2 = 493.5 \text{ m/s}^2$$

全加速度： $$a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2} = \sqrt{9.86 + 243531} \approx 493.5 \text{ m/s}^2$$

习题 6.1 刚体绕定轴转动，运动方程为 $\varphi = 2t^2$（rad）。求 $t = 2 \text{ s}$ 时的角速度和角加速度。若刚体上一点距转轴 $0.5 \text{ m}$，求该点的速度和加速度。

习题 6.2 杆 $AB$ 长 $2 \text{ m}$，$A$ 端沿水平面以匀速 $v_A = 1 \text{ m/s}$ 向右运动，$B$ 端沿铅垂墙面下滑。求当杆与水平面成 $30°$ 时，$B$ 端的速度和杆的角速度。

习题 6.3 带轮传动系统中，主动轮直径 $D_1 = 0.2 \text{ m}$，转速 $n_1 = 1500 \text{ r/min}$；从动轮直径 $D_2 = 0.5 \text{ m}$。求从动轮转速和传动比。

习题 6.4 飞轮作匀减速转动，初始转速 $n_0 = 1200 \text{ r/min}$，经过 $5 \text{ min}$ 停止。求角加速度和停止前转过的圈数。

习题 6.5 图示机构中，曲柄 $OA$ 长 $r$，以匀角速度 $\omega$ 转动，带动连杆 $AB$ 和滑块 $B$ 运动，$AB = 2r$。求连杆 $AB$ 的运动性质，并分析滑块 $B$ 的运动。

习题 6.6 减速器由三级齿轮传动组成，各级传动比分别为 $i_1 = 4$，$i_2 = 5$，$i_3 = 3$。输入转速 $n_1 = 1440 \text{ r/min}$。求输出转速和总传动比。

习题 6.7 证明：刚体平移时，若某瞬时各点速度相同，则各点加速度也相同。

习题 6.8 图示曲柄滑块机构中，曲柄 $OA$ 长 $r$，连杆 $AB$ 长 $L$，曲柄以匀角速度 $\omega$ 转动。用解析法推导滑块 $B$ 的位移、速度和加速度公式（表示为曲柄转角 $\varphi$ 的函数）。

习题 6.9 设计一个测量刚体角速度和角加速度的实验方案。要求：

• 可同时测量转动和平移运动
• 给出测量原理、所需仪器和数据处理方法
• 分析测量误差来源

习题 6.10 讨论：当刚体同时具有平移和转动时，如何定义“纯滚动”？推导纯滚动条件，并分析轮子在水平面上纯滚动时轮缘各点的速度分布。

本章核心内容：

• 刚体平移：
  1. 定义：任一直线始终平行于初始位置
  2. 特点：各点轨迹相同（形状相同），同一瞬时各点速度、加速度相同
  3. 可简化为一个点的运动来研究

• 刚体定轴转动：
  1. 转动方程：$\varphi = f(t)$
  2. 角速度：$\omega = \dot{\varphi}$
  3. 角加速度：$\alpha = \dot{\omega} = \ddot{\varphi}$

• 转动刚体上各点的运动：
  1. 速度：$v = R\omega$
  2. 切向加速度：$a_\tau = R\alpha$
  3. 法向加速度：$a_n = R\omega^2$
  4. 全加速度：$a = R\sqrt{\alpha^2 + \omega^4}$

• 传动比：
  1. 齿轮：$i = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{z_2}{z_1} = \frac{R_2}{R_1}$
  2. 带轮：$i = \frac{R_2}{R_1}$

• 矢量表示：
  1. $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$
  2. $\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \vec{v}$

学习要点：

• 注意区分刚体整体运动参数（角速度、角加速度）与点的运动参数（速度、加速度）
• 理解平移与转动的本质区别
• 掌握传动比的计算方法

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