动量定理描述了质点系动量的变化与外力主矢之间的关系，但它不能描述质点系的转动效应。例如，绕质心转动的圆盘，其质心不动，动量为零，但显然外力对圆盘的运动有影响。

为了描述质点系的转动效应，需要引入动量矩（Angular Momentum）的概念。动量矩定理揭示了质点系动量矩的变化与外力矩之间的关系，是研究转动问题的基本工具。

定义：质点的动量对某固定点 $O$ 的矩称为质点对该点的动量矩（或角动量）。

$$\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$$

其中 $\vec{r}$ 为质点相对于 $O$ 点的矢径。

动量矩是矢量，方向由右手螺旋法则确定，单位为 kg·m²/s。

动量矩在某轴上的投影等于质点对该轴的动量矩：

$$L_z = [\vec{r} \times m\vec{v}]_z$$

对于平面运动，若取 $z$ 轴垂直于运动平面，则： $$L_z = mvd = mr^2\omega$$

其中 $d$ 为速度对转轴的矩臂，$r$ 为质点到转轴的距离。

对固定点的动量矩： $$\vec{L}_O = \sum \vec{r}_i \times m_i\vec{v}_i$$

对固定轴的动量矩： $$L_z = \sum m_i v_i d_i = \sum m_i r_i^2\omega$$

对于绕固定轴 $z$ 转动的刚体：

$$L_z = \sum m_i r_i^2 \omega = J_z \omega$$

其中 $J_z = \sum m_i r_i^2$ 为刚体对 $z$ 轴的转动惯量。

转动惯量（Moment of Inertia）是刚体转动惯性的度量。

对轴的转动惯量： $$J_z = \sum m_i r_i^2$$

对连续体： $$J_z = \int r^2 dm$$

单位为 kg·m²。

定义： $$\rho_z = \sqrt{\frac{J_z}{m}}$$

则： $$J_z = m\rho_z^2$$

细杆（长 $L$，质量 $m$，对过中心垂直轴）： $$J = \frac{1}{12}mL^2$$

细杆（对过一端垂直轴）： $$J = \frac{1}{3}mL^2$$

圆环（半径 $R$，质量 $m$，对中心轴）： $$J = mR^2$$

圆盘（半径 $R$，质量 $m$，对中心轴）： $$J = \frac{1}{2}mR^2$$

实心圆柱（半径 $R$，质量 $m$，对中心轴）： $$J = \frac{1}{2}mR^2$$

实心球（半径 $R$，质量 $m$，对直径）： $$J = \frac{2}{5}mR^2$$

$$J_z = J_{zC} + md^2$$

其中 $J_{zC}$ 为对过质心平行轴的转动惯量，$d$ 为两轴间的距离。

对于薄板，若 $x$、$y$ 轴在板面内，$z$ 轴垂直于板面： $$J_z = J_x + J_y$$

由牛顿第二定律： $$\frac{d}{dt}(\vec{r} \times m\vec{v}) = \vec{r} \times \vec{F}$$

即： $$\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{M}_O(\vec{F})$$

质点对固定点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的导数等于作用于质点的力对该点的矩。

$$\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \sum \vec{M}_O(\vec{F}_i^{(e)})$$

质点系对固定点的动量矩定理：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对该点的主矩。

投影形式（对固定轴）： $$\frac{dL_z}{dt} = \sum M_z(\vec{F}_i^{(e)})$$

若 $\sum \vec{M}_O(\vec{F}_i^{(e)}) = 0$，则 $\vec{L}_O = \text{常矢量}$

若 $\sum M_z(\vec{F}_i^{(e)}) = 0$，则 $L_z = \text{常量}$

对于定轴转动刚体： $$L_z = J_z \omega$$

代入动量矩定理： $$\frac{d}{dt}(J_z \omega) = \sum M_z$$

对于刚体，$J_z = \text{常量}$： $$J_z \frac{d\omega}{dt} = \sum M_z$$

或 $$J_z \alpha = \sum M_z$$

$$J_z \ddot{\varphi} = \sum M_z$$

• 与质点运动微分方程 $ma = F$ 形式相似
• $J_z$ 相当于质量 $m$（转动惯性的度量）
• $\alpha$ 相当于加速度 $a$
• $\sum M_z$ 相当于力 $F$

物理摆（复摆）： $$J_O \ddot{\theta} = -mgh\sin\theta$$

小角度时： $$\ddot{\theta} + \frac{mgh}{J_O}\theta = 0$$

周期： $$T = 2\pi\sqrt{\frac{J_O}{mgh}}$$

$$\vec{L}_C = \sum \vec{r}_i' \times m_i\vec{v}_{ir}$$

其中 $\vec{r}_i'$ 为质点相对质心的矢径，$\vec{v}_{ir}$ 为相对质心的速度。

$$\frac{d\vec{L}_C}{dt} = \sum \vec{M}_C(\vec{F}_i^{(e)})$$

结论：质点系相对质心的动量矩对时间的导数等于外力对质心的主矩。

对于平面运动的刚体，可以分解为：

• 随质心的平移
• 绕质心的转动

运动微分方程： $$m\ddot{x}_C = \sum F_x$$ $$m\ddot{y}_C = \sum F_y$$ $$J_C \ddot{\varphi} = \sum M_C$$

两重物质量分别为 $m_1$、$m_2$，用跨过滑轮的轻绳连接。滑轮质量为 $M$，半径为 $R$，视为均质圆盘。求重物的加速度和绳的张力。

解答：

系统动量矩（对滑轮轴）： $$L = m_1 v R + m_2 v R + J\omega = (m_1 + m_2)vR + \frac{1}{2}MR^2 \cdot \frac{v}{R}$$ $$= (m_1 + m_2 + \frac{M}{2})vR$$

外力矩（设 $m_1 > m_2$，$m_1$ 下降）： $$M_{ext} = m_1gR - m_2gR = (m_1 - m_2)gR$$

动量矩定理： $$(m_1 + m_2 + \frac{M}{2})R\frac{dv}{dt} = (m_1 - m_2)gR$$

加速度： $$a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2 + \frac{M}{2}}$$

绳张力（用质点动力学）：

对 $m_1$： $$m_1a = m_1g - F_{T1}$$ $$F_{T1} = m_1(g - a) = \frac{m_1(2m_2 + \frac{M}{2})g}{m_1 + m_2 + \frac{M}{2}}$$

对 $m_2$： $$F_{T2} = m_2(g + a) = \frac{m_2(2m_1 + \frac{M}{2})g}{m_1 + m_2 + \frac{M}{2}}$$

均质细杆长 $L$，质量 $m$，从水平位置静止释放，绕一端 $O$ 转动。求杆转到铅垂位置时的角速度和轴 $O$ 的约束力。

解答：

转动惯量： $$J_O = \frac{1}{3}mL^2$$

运动微分方程： $$J_O \ddot{\theta} = mg\frac{L}{2}\cos\theta$$

利用 $\ddot{\theta} = \dot{\theta}\frac{d\dot{\theta}}{d\theta}$，积分： $$\int_0^{\omega} \dot{\theta}d\dot{\theta} = \frac{3g}{2L}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta d\theta$$

$$\frac{1}{2}\omega^2 = \frac{3g}{2L}$$

$$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$$

约束力：

质心加速度： $$a_C^n = \frac{L}{2}\omega^2 = \frac{3g}{2}$$（向上） $$a_C^\tau = \frac{L}{2}\alpha = 0$$（铅垂位置 $\alpha = 0$）

由质心运动定理： $$ma_C^n = F_{Oy} - mg$$ $$F_{Oy} = mg + \frac{3mg}{2} = \frac{5mg}{2}$$

$$F_{Ox} = 0$$

习题 11.1 均质圆盘半径 $R = 0.2 \text{ m}$，质量 $m = 5 \text{ kg}$，绕中心轴转动。作用一恒力偶矩 $M = 10 \text{ N·m}$。求角加速度及从静止开始转动 $10$ 圈后的角速度。

习题 11.2 飞轮直径 $D = 1 \text{ m}$，质量 $m = 50 \text{ kg}$，视为均质圆盘。求对中心轴的转动惯量和回转半径。

习题 11.3 细杆长 $L$，质量 $m$，从铅垂位置自由倒下。求杆与铅垂线成 $\theta$ 角时的角加速度和角速度。

习题 11.4 质量为 $m$ 的人站在质量为 $M$、半径为 $R$ 的静止圆盘边缘，以相对圆盘速度 $v$ 沿边缘行走。求人相对地面移动的角度与圆盘转过的角度的关系。

习题 11.5 均质圆柱质量 $m$，半径 $r$，从倾角 $\alpha$ 的斜面上无滑动滚下。求质心加速度和摩擦力。

习题 11.6 杆 $AB$ 长 $L$，质量 $m$，$A$ 端用铰链固定，$B$ 端用绳系于固定点，杆水平静止。若突然剪断绳子，求此瞬时杆的角加速度和铰链 $A$ 的约束力。

习题 11.7 证明：平行轴定理 $J_z = J_{zC} + md^2$。

习题 11.8 半径为 $R$、质量为 $m$ 的均质圆盘以初角速度 $\omega_0$ 绕中心轴转动，放在摩擦因数为 $f$ 的水平面上。求圆盘停止所需的时间和转过的圈数。

习题 11.9 陀螺的进动：利用动量矩定理解释陀螺的进动现象，推导进动角速度与陀螺自转角速度、重力矩的关系。

习题 11.10 设计一个测量刚体转动惯量的实验。要求：

• 基于动量矩定理或摆动周期测量
• 可测量不规则形状刚体的转动惯量
• 给出测量原理、步骤和误差分析

本章主要内容：

• 动量矩：
  1. 质点：$\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$
  2. 定轴转动刚体：$L_z = J_z\omega$

• 转动惯量：
  1. $J_z = \sum m_i r_i^2 = \int r^2 dm$
  2. 平行轴定理：$J_z = J_{zC} + md^2$

• 动量矩定理：
  1. $\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \sum \vec{M}_O(\vec{F}^{(e)})$
  2. $\frac{dL_z}{dt} = \sum M_z(\vec{F}^{(e)})$

• 动量矩守恒：
  1. 若 $\sum \vec{M}_O = 0$，则 $\vec{L}_O = \text{常矢量}$

• 定轴转动微分方程：
  1. $J_z\alpha = \sum M_z$

• 平面运动微分方程：
  1. $m\ddot{x}_C = \sum F_x$
  2. $m\ddot{y}_C = \sum F_y$
  3. $J_C\ddot{\varphi} = \sum M_C$

应用要点：

• 正确计算转动惯量
• 明确转轴位置
• 区分绝对运动与相对运动
• 注意动量矩守恒的条件

上一章：第十章 动量定理 | 下一章：第十二章 动能定理