动量定理和动量矩定理从不同角度建立了质点系机械运动与外力作用之间的关系，但它们都是矢量形式，且只涉及外力。在许多工程实际问题中，不仅需要了解运动的变化，还需要了解能量的转化，特别是当系统的内力做功不为零时（如变形体、有摩擦的系统）。

动能定理从能量的角度研究机械运动，建立了动能的变化与力的功之间的关系。由于动能和功都是标量，动能定理形式简单，应用方便，是动力学中应用最广泛的定理之一。

定义：力在位移方向上的投影与位移大小的乘积称为功（Work）。

$$W = F \cos\theta \cdot s = \vec{F} \cdot \vec{s}$$

其中 $\theta$ 为力与位移方向的夹角。

功的单位为焦耳（J），$1 \text{ J} = 1 \text{ N·m}$。

元功： $$\delta W = \vec{F} \cdot d\vec{r} = F \cos\theta \cdot ds$$

总功： $$W = \int_{M_1}^{M_2} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{M_1}^{M_2} (F_x dx + F_y dy + F_z dz)$$

重力的功： $$W = mg(h_1 - h_2)$$

仅与起止位置的高度差有关，与路径无关。

弹性力的功： $$W = \frac{1}{2}k(\delta_1^2 - \delta_2^2)$$

仅与起止位置的变形量有关，与路径无关。

万有引力的功： $$W = Gm_1m_2(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1})$$

定轴转动刚体上力矩的功： $$W = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} M_z d\varphi$$

摩擦力的功：

动摩擦力：$W = -f_d F_N \cdot s$（与路径有关）

静摩擦力：一般不做功（无相对滑动）

定义：约束力做功之和为零的约束称为理想约束。

常见的理想约束：

• 光滑固定面
• 光滑铰链
• 不可伸长的柔索
• 纯滚动（静摩擦力不做功）
• 刚性连接的刚体系统

定义：质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能（Kinetic Energy）。

$$T = \frac{1}{2}mv^2$$

动能是标量，恒为正值，单位为 J。

$$T = \sum \frac{1}{2}m_i v_i^2$$

各点速度相同，都等于质心速度： $$T = \frac{1}{2}mv_C^2$$

$$T = \frac{1}{2}J_z\omega^2$$

由柯尼希定理： $$T = \frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2}J_C\omega^2$$

即平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和。

微分形式： $$d\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = \delta W$$

积分形式： $$\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = W_{12}$$

质点动能定理：质点动能的变化等于作用于质点的力所做的功。

微分形式： $$dT = \sum \delta W_i$$

积分形式： $$T_2 - T_1 = \sum W_{12}$$

质点系动能定理：质点系动能的变化等于作用于质点系的所有力（内力和外力）做功之和。

注意：与动量定理不同，内力做功一般不为零。

对于理想约束系统，约束力做功之和为零，只需计算主动力的功：

$$T_2 - T_1 = \sum W_{12}^{(A)}$$

定义：力在单位时间内所做的功称为功率（Power）。

$$P = \frac{\delta W}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}$$

对于转动： $$P = M_z \omega$$

单位为瓦特（W），$1 \text{ W} = 1 \text{ J/s}$。

由动能定理微分形式： $$\frac{dT}{dt} = \sum P_i$$

即：质点系动能对时间的变化率等于作用于质点系的所有力的功率之和。

有效功率（有用功率）： $$P_{有效} = P_{输入} - P_{损失}$$

机械效率： $$\eta = \frac{P_{有效}}{P_{输入}} \times 100\%$$

力场：质点在某空间内处处受到确定的力的作用，该空间称为力场。

势力场（保守力场）：力的功只与起止位置有关，与路径无关的力场。

势力：势力场中的力称为有势力或保守力。

常见的势力：重力、弹性力、万有引力。

定义：质点从某位置 $M$ 移动到选定的零势位置 $M_0$ 的过程中，有势力所做的功称为质点在 $M$ 位置的势能（Potential Energy）。

$$V = W_{M \to M_0}$$

重力势能（以 $h = 0$ 为零势面）： $$V = mgh$$

弹性势能（以弹簧原长为零势位置）： $$V = \frac{1}{2}k\delta^2$$

万有引力势能（以无穷远处为零势位置）： $$V = -\frac{Gm_1m_2}{r}$$

机械能：动能与势能之和。

$$E = T + V$$

若作用于质点系的力都是有势力（或虽有非势力但不做功），则：

$$T + V = \text{常量}$$

机械能守恒定律：在势力场中，质点系的机械能保持不变。

质量为 $m$ 的物体从高度 $h$ 处自由落下，撞击弹簧常数为 $k$ 的弹簧。求弹簧的最大压缩量。

解答：

初始状态：物体在高度 $h$ 处，速度为零。 $$T_1 = 0, \quad V_1 = mgh$$ （以弹簧原长位置为重力零势面，弹簧原长为弹性零势位置）

最终状态：弹簧最大压缩 $\delta_{max}$，物体速度为零。 $$T_2 = 0, \quad V_2 = -mg\delta_{max} + \frac{1}{2}k\delta_{max}^2$$

机械能守恒： $$mgh = -mg\delta_{max} + \frac{1}{2}k\delta_{max}^2$$

$$\frac{1}{2}k\delta_{max}^2 - mg\delta_{max} - mgh = 0$$

解得： $$\delta_{max} = \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2mghk}}{k}$$

（取正根）

均质圆柱质量 $m$，半径 $r$，从倾角 $\alpha$ 的斜面上无滑动滚下。求质心速度和加速度（下降高度 $h$ 时）。

解答：

初始状态：静止 $$T_1 = 0$$

下降高度 $h$ 时：

动能： $$T_2 = \frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2}J_C\omega^2 = \frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}mr^2 \cdot \left(\frac{v_C}{r}\right)^2$$ $$= \frac{3}{4}mv_C^2$$

力的功（只有重力做功）： $$W = mgh$$

动能定理： $$\frac{3}{4}mv_C^2 = mgh$$

$$v_C = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$$

加速度：

对时间求导： $$\frac{3}{2}mv_C a_C = mg v_C \sin\alpha$$

（注意 $\frac{dh}{dt} = v_C \sin\alpha$）

$$a_C = \frac{2}{3}g\sin\alpha$$

长 $L$、质量 $m$ 的均质链条放在光滑桌面上，有长度 $a$ 垂于桌边。链条从静止开始下滑，求链条完全离开桌面时的速度。

解答：

设某时刻垂下部分长度为 $x$，速度为 $v$。

动能： $$T = \frac{1}{2}mv^2$$

重力功（只有垂下部分的重力做功）：

垂下部分质量：$\frac{m}{L}x$ 重心位置：在桌面下 $-\frac{x}{2}$ 处

从 $x = a$ 到 $x = L$： $$W = \int_a^L \frac{m}{L}x \cdot g \cdot dx = \frac{mg}{2L}(L^2 - a^2)$$

动能定理： $$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{mg}{2L}(L^2 - a^2)$$

$$v = \sqrt{\frac{g(L^2 - a^2)}{L}}$$

习题 12.1 质量 $m = 2 \text{ kg}$ 的物体以初速度 $v_0 = 5 \text{ m/s}$ 沿倾角 $\alpha = 30°$ 的斜面上滑，摩擦因数 $f = 0.2$。求物体上滑的最大距离和返回底端时的速度。

习题 12.2 弹簧常数 $k = 2000 \text{ N/m}$，原长 $0.5 \text{ m}$，一端固定，另一端连接质量 $m = 5 \text{ kg}$ 的物体。将弹簧从原长拉伸到 $0.7 \text{ m}$ 后释放。求物体的最大速度。

习题 12.3 均质细杆长 $L$，质量 $m$，从水平位置静止释放，绕一端转动。求转到铅垂位置时的角速度。

习题 12.4 汽车质量 $m = 1500 \text{ kg}$，发动机功率 $P = 60 \text{ kW}$，以匀速 $v = 20 \text{ m/s}$ 行驶。求阻力的大小。

习题 12.5 均质圆柱质量 $m$，半径 $r$，用绳缠绕在圆柱上，绳端固定。圆柱从静止下落。求下落高度 $h$ 时质心的速度和绳的张力。

习题 12.6 小球质量 $m$，从半径为 $R$ 的光滑半圆柱顶端滑下。求小球脱离圆柱表面时的角度和此时的速度。

习题 12.7 证明：纯滚动时静摩擦力不做功。

习题 12.8 质量为 $m$、半径为 $r$ 的小球从半径为 $R$ 的固定大球顶端无滑动滚下。求小球脱离大球表面时的角度和速度。

习题 12.9 双摆系统：两摆长均为 $L$，质量均为 $m$，$O$ 处铰接，$A$ 处铰接。初始时 $OA$ 水平，$AB$ 铅垂向下。系统从静止释放，求 $OA$ 转到铅垂位置时 $A$ 点的速度。

习题 12.10 设计一个测量弹簧劲度系数的实验。要求：

• 基于能量守恒原理
• 给出详细的实验步骤和测量方法
• 分析误差来源

本章主要内容：

• 功：
  1. 变力功：$W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$
  2. 重力功：$W = mg(h_1 - h_2)$
  3. 弹性力功：$W = \frac{1}{2}k(\delta_1^2 - \delta_2^2)$

• 动能：
  1. 质点：$T = \frac{1}{2}mv^2$
  2. 平移刚体：$T = \frac{1}{2}mv_C^2$
  3. 定轴转动刚体：$T = \frac{1}{2}J_z\omega^2$
  4. 平面运动刚体：$T = \frac{1}{2}mv_C^2 + \frac{1}{2}J_C\omega^2$

• 动能定理：
  1. $T_2 - T_1 = \sum W_{12}$
  2. 理想约束下只需计算主动力的功

• 功率：
  1. $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = M\omega$
  2. 功率方程：$\frac{dT}{dt} = \sum P_i$

• 势能：
  1. 重力势能：$V = mgh$
  2. 弹性势能：$V = \frac{1}{2}k\delta^2$

• 机械能守恒：
  1. $T + V = \text{常量}$（势力场中）

应用要点：

• 正确计算动能和功
• 判断是否为理想约束
• 识别势力场，应用机械能守恒
• 注意内力的功

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